精品解析：河北省邢台市临西县翰林高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2024-2025学年下学期高一年级第二次质量检测 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列量中是向量的为（ ） A. 频率 B. 拉力 C. 体积 D. 距离 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量与数量的意义直接判断即可. 【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小，又有方向，所以拉力是向量. 故选：B 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的加减法的几何意义，即可求得答案. 【详解】由题意可得, 故选：D 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 4. 设都是单位向量,且,则向量,的夹角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等式将移到另一端,两边同时平方,由都是单位向量可求出,的夹角. 【详解】解析:由,可知,故,∴. 设,的夹角为,即,又,∴. 故选::A 5. 已知向量，，且与的夹角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，进而得，再根据求解即可. 【详解】解：因为，所以， 所以， 所以. 故选：C 6. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则（ ） A. 120° B. 45° C. 60° D. 30° 【答案】A 【解析】 【分析】应用余弦定理结合角的范围计算求解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 由余弦定理得． 因为，所以， 故选：A． 7. 如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（接近点），点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可推得，，，进而根据平面向量数量积的运算求解即可得出结果. 【详解】由已知，，，， 所以. 由已知是的中点，所以， ，. 所以， ， 所以，. 故选：B. 8. 已知向量，，且，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算和平行关系得到的关系，再利用基本不等式的推论即可得解. 【详解】由题意得，,， 因为，所以，即. 所以，即，当且仅当，时等号成立. 所以的最大值为2. 故选：B. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在中，分别是的中点，则（ ） A. 与共线 B. 与共线 C. 与共线 D. 与共线 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量共线概念即可求解结果． 【详解】对于A，因为与不平行，且不在同一条直线上，所以与不共线，A错； 对于B，因为D，E分别是AB，AC的中点，则与平行，故与共线，B正确； 对于C，因为与不平行，且不在同一条直线上，所以与不共线，C错； 对于D，因为D是AB的中点，所以，所以与共线，D正确． 故选：BD 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，且与共线，则 B. 若，，且，则与不共线 C. 若、、三点共线，则向量都是共线向量 D. 若向量，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据共线向量的性质判断即可. 【详解】对于A，或 时，比例式无意义，故A错误； 对于B，若，， 与共线，则一定有，故B正确； 对于C，若、、三点共线，则，，在一条直线上，则，，都是共线向量，故C正确； 对于D，若向量，且，则，即，故D正确. 故选：. 11. 在中，内角所对的边分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为或 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用正弦定理即可得解；对于B，利用小边对小角判断得的范围，再利用三角函数的平方关系即可得解；对于C，利用余弦定理即可得解；对于D，利用三角形面积公式即可得解. 【详解】对于A，因为，，， 所以由，得，解得，故A正确； 对于B，因为，所以，故， 因为，所以，故B错误； 对于C， 由，得，解得或， 经检验，与都满足要求，故C错误； 对于D，当时，； 当时，； 所以的面积为或，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________． 【答案】 【解析】 【详解】分析：（解法1）根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；（解法2）换元，令c＝a－b，结合数量积的运算律运算求解． 详解：（解法1）因为|a＋b|＝|2a－b|，即（a＋b）2＝（2a－b）2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0.因为|a－b|＝，即（a－b）2＝3，则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝. （解法2）设c＝a－b，则|c|＝，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋b.由题意可得：（c＋2b）2＝（2c＋b）2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝. 【考查意图】模与夹角的运算． 13. 已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则______________________. 【答案】 【解析】 【分析】首先设向量，根据条件，结合数量积公式，即可求解. 【详解】设.因为，所以. 因为， 所以， 化简得，解得，， 所以，. 因为 是与 轴平行的向量，故舍去， 所以. 故答案为：. 14. 在中，内角，，的对边分别为，，，若 ， ，，则______，__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据正弦定理解三角形即可得解. 【详解】在 中， ， ， 所以， 在 中，由正弦定理可得 所以，. 故答案为：1；. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是平面上两个不共线的向量，且. （1）若，方向相反，求的值； （2）若，，三点共线，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由，方向相反，则存在负数使得，再根据向量相等即可求出的值； （2）由三点共线，则存在存在，使得，再根据向量相等即可求出的值． 【小问1详解】 由题意知，，则存在，使得， 即， 整理，得. 由，是不共线的向量， 得 解得 或 又，方向相反，则，， 故的值为2. 【小问2详解】 由题意得,. 由，，三点共线得，存在，使得， 即，整理得. 由，是不共线的向量， 得 解得 或 综上，或. 16. 设，，，为平面内的四点，且，，. （1）若，求点的坐标； （2）设向量，若与平行，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算以及相等向量、共线向量的坐标运算即可得解. 【小问1详解】 设点，则,. 因为， 所以，即得. 所以点的坐标为. 【小问2详解】 由题意得， 所以，. 因为，所以， 解得. 17. 已知向量，. （1）求； （2）已知，且，求向量与向量的夹角. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量减法的坐标表示求出，再借助坐标计算向量的模； （2）利用向量的数量积运算律转化求出向量的数量积，再结合已知向量的模求出夹角. 【小问1详解】 由题知，，， 所以， 所以. 【小问2详解】 由题知，，， 设向量与向量的夹角为， 所以，即， 解得，因为，所以 所以向量与向量的夹角为. 18. 在中，分别是角的对边，且． （1）求角B的大小； （2）若，，求a的值． 【答案】（1）（2）1或3 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简已知的等式,再利用两角和的正弦函数公式及诱导公式化简后,由不为0,即可得到的值,根据B的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数； （2）利用余弦定理得到,配方后把b,及的值代入,列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值． 【详解】解：（1）由正弦定理得,得 , 代入, 即, 化简得：, , , , ,, 又∵角B为三角形的内角,； （2）将,,, 代入余弦定理,得 , , 或． 【点睛】本题主要考查了正弦与余弦定理以及三角函数和差角公式的运用,属于中等题型. 19. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年下学期高一年级第二次质量检测 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 下列量中是向量的为（ ） A. 频率 B. 拉力 C. 体积 D. 距离 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 设都是单位向量,且,则向量,的夹角等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，且与的夹角，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则（ ） A. 120° B. 45° C. 60° D. 30° 7. 如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（接近点），点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，，且，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在中，分别是的中点，则（ ） A. 与共线 B. 与共线 C. 与共线 D. 与共线 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，，且与共线，则 B. 若，，且，则与不共线 C. 若、、三点共线，则向量都是共线向量 D. 若向量，且，则 11. 在中，内角所对的边分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为或 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________． 13. 已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则______________________. 14. 在中，内角，，的对边分别为，，，若 ， ，，则______，__________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是平面上两个不共线的向量，且. （1）若，方向相反，求的值； （2）若，，三点共线，求的值. 16. 设，，，为平面内的四点，且，，. （1）若，求点的坐标； （2）设向量，若与平行，求实数的值. 17. 已知向量，. （1）求； （2）已知，且，求向量与向量的夹角. 18. 在中，分别是角的对边，且． （1）求角B的大小； （2）若，，求a的值． 19. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $