精品解析：青海省西宁市大通县朔山中学2024-2025学年高二下学期第一次阶段检测数学试卷

大通县朔山中学2024-2025学年度第二学期第一次阶段检测 高二数学 考查内容：高中数学选择性必修二 第五章一元函数的导数及其应用第一节导数的概念及其应用 第二节导数的运算 第三节导数在研究函数中的应用 第六章计数原理第一节分类加法计数原理与分步乘法计算原理 时间：120分钟总分：150分 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导即可得解. 【详解】由可得，故， 故选：C 2. 曲线在点处的切线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导可得导数值，即可得斜率求解. 【详解】由可得，故，故，则倾斜角为， 故选：D 3. 用分步乘法计数原理计算：书架上有5本不同的数学书和4本不同的物理书，从中任取1本数学书和1本物理书，共有多少种取法？（ ） A. 9 B. 20 C. 40 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理计算即得 【详解】从5本不同的数学书和4本不同的物理书中任取1本数学书和1本物理书，取法共有种. 故选：B. 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递减. 【详解】因为，则， 由可得， 因此，函数的单调递减区间为. 故选：A. 5. 设函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先令，求出点坐标，再求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程. 【详解】函数的图象与轴相交于点， 令，解得，所以， 又，则， 所以在点处的切线方程为，即， 故选：B. 6. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解方程即得解. 【详解】，所以，解得． 故选：A． 7. 已知函数在处有极大值，则（ ） A. 2 B. 6 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求导，由函数在处有极大值可得，则c值可求，再带入验证即可得答案. 【详解】由题意得， 因为函数在处有极大值， 所以，解得或， 当时，， 时，，此时函数在递增， 时，，此时函数在递减， 时，，此时函数在递增， 此时是函数的极小值点，不满足题意； 当时，， 时，，此时函数在递增， 时，，此时函数在递减， 时，，此时函数在递增， 此时是函数的极大值点，满足题意； 故选：B. 8. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导即可得解. 【详解】由可得， 故， 故， 故选：A 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用导数的四则运算法则以及复合函数的求导法则即可. 【详解】A ：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C正确； D：，故D正确. 故选：CD 10. 下列问题中，适合用分步乘法计数原理解决的是（ ） A. 从5本不同的书中选3本送给同学 B. 3个班级分别从4种课外活动中选择1种 C. 密码锁由3个数字组成，每位数字可从0到9选择 D. 从甲、乙、丙3人中选1人担任组长和1人担任副组长 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据排列组合的求解，以及分步乘法计算原理的求解即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 从5本不同的书中选3本，是组合问题，共有方法，故A不符合， 对于B，每个班级可以从4种活动中选择一种，共有种方法，故B符合， 对于C,每个数字都有10种选择，共有种方法，故C符合， 对于D，先从甲、乙、丙3人中选1人担任组长，余下2人中选1人担任副组长，共有种方法，故D符合， 故选：BCD 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 在处取得极小值 C. 在区间上单调递减 D. 图象在处的切线斜率为6 【答案】ABC 【解析】 【分析】求导得，利用列表法求出单调区间和极值点，由此判断A、B、C；求出即得切线的斜率可判断D； 【详解】函数的定义域为R. 导函数. 令，解得：或.列表得： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的单调增区间为，；单调减区间为；故C正确， 在处取得极大值，在处取得极小值.故A、B正确， 又，所以函数在点处的切线斜率为，故不正确. 故选：ABC. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数，则__________. 【答案】405 【解析】 【分析】先求出函数的导函数，再代入计算即可. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：405. 13. 曲线在点处的切线与直线垂直，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】由直线垂直可得切线斜率为，再对曲线求导，根据导数的几何意义有，即可求a值. 【详解】由题设知：处的切线的斜率为，而， ∴，可得. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中过点作直线，分别与轴的正半轴、y轴的正半轴交于点.当直线的斜率为__________时，的面积最小，最小面积是__________. 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】设，，则，将代入得，利用基本不等式可求出，从而求得的最小面积及此时直线的斜率. 【详解】设，， 则，将代入得， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， ∴， ， 所以直线的斜率为，的面积最小值为. 故答案为：①；②. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知函数，求函数的图象在点处的切线方程. （2）求曲线在点处的切线方程 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）（2）利用导数的几何意义及点斜式求解切线方程. 【详解】（1）由可得，故， 故处的切线方程为，即， （2）由可得，故， 故点处的切线方程为，即. 16. 已知函数 （1）求函数的极值 （2）求函数在上的最大值与最小值 【答案】（1）时有极大值为，时有极小值为 （2）时有最大值为4，时有最小值为 【解析】 【分析】（1）对求导，得出的单调性，即可求出函数的极值； （2）根据（1）知在的单调性，即可求出函数的最大值与最小值； 【小问1详解】 根据题意可得，令，则，． 和上，，在、上单调递增． 上，，在上单调递减． 当时，有极大值，极大值为． 当时，有极小值，极小值为． 【小问2详解】 由（1）可知，在区间上单调减，在区间上单调增．且，， 故在上最大值为，最小值为． 17. 已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）求在区间上的最小值. 【答案】（1）①当时，在上为增函数；②当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；③当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）当时，的最小值为；当时，的最小值头；当时，的最小值为． 【解析】 【分析】(1)根据导函数的零点个数即大小分类讨论可得； (2)利用(1)中结论讨论函数在上的单调性，由单调性可得最小值. 【小问1详解】 根据题意，函数，其导数． ①当时，，则在上为增函数； ②当时，令，解得或，则的单调递增区间为和，单调递减区间为； ③当时，令，解得或，则的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）可得，当或，． ①当，即时，在上单调递增，此时在区间上的最小值为； ②当，即时，在上单调递减，在内单调递增，此时在区间上的最小值为； ③当，即时，在上单调递减，此时在区间上的最小值为． 综上可得：当时，的最小值为；当时，的最小值头；当时，的最小值为． 18. 利用函数的单调性，证明下列不等式. （1） （2） （3） 【答案】（1） 设. 因为，当且仅当时，， 所以函数在内单调递增. 所以，当时，，即. （2） 设，则. 令，解得. 当时，，函数在区间上单调递增； 当时，，函数在区间上单调递减. 所以，当且仅当时，取得最小值. 所以，当时，，即. （3） 设，则.令，解得. 当时，在区间内单调递增； 当时，在区间上单调递减. 所以，当且仅当时，取得最大值. 所以，当时，. 因此，当时，. 由（1）可知，当时，. 综上，. 【解析】 【分析】（1）构造函数，即可求导判断单调性求解， （2）构造函数，即可求导判断单调性求解， （3）构造函数，即可求导判断单调性求解， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在单调递减； 当，在单调递减，在单调递增. （2）. 【解析】 【小问1详解】 的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 （ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大通县朔山中学2024-2025学年度第二学期第一次阶段检测 高二数学 考查内容：高中数学选择性必修二 第五章一元函数的导数及其应用第一节导数的概念及其应用 第二节导数的运算 第三节导数在研究函数中的应用 第六章计数原理第一节分类加法计数原理与分步乘法计算原理 时间：120分钟总分：150分 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 曲线在点处的切线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 3. 用分步乘法计数原理计算：书架上有5本不同的数学书和4本不同的物理书，从中任取1本数学书和1本物理书，共有多少种取法？（ ） A. 9 B. 20 C. 40 D. 60 4. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数的图象与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在处有极大值，则（ ） A. 2 B. 6 C. 1 D. 8. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列问题中，适合用分步乘法计数原理解决的是（ ） A. 从5本不同的书中选3本送给同学 B. 3个班级分别从4种课外活动中选择1种 C. 密码锁由3个数字组成，每位数字可从0到9选择 D. 从甲、乙、丙3人中选1人担任组长和1人担任副组长 11. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 在处取得极小值 C. 在区间上单调递减 D. 图象在处的切线斜率为6 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知函数，则__________. 13. 曲线在点处的切线与直线垂直，则________. 14. 在平面直角坐标系中过点作直线，分别与轴的正半轴、y轴的正半轴交于点.当直线的斜率为__________时，的面积最小，最小面积是__________. 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （1）已知函数，求函数的图象在点处的切线方程. （2）求曲线在点处的切线方程 16. 已知函数 （1）求函数的极值 （2）求函数在上的最大值与最小值 17. 已知函数，． （1）求函数的单调区间； （2）求在区间上的最小值. 18. 利用函数的单调性，证明下列不等式. （1） （2） （3） 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $