精品解析：湖南省衡阳市祁东鼎兴高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

高一月考数学试卷 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知复数（为虚数单位），设是的共轭复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数，若是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 已知为虚数单位，则复数可化简为（ ） A. B. C. D. 5. 若向量，则与的夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角、、所对的边分别为、、若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 不确定 7. 已知为虚数单位，在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 梯形 C. 平行四边形 D. 菱形 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 若复数z满足，则 B. 若复数z满足，则 C. 若复数z满足，则 D. 若复数､满足，则 10. 已知，，，点M满足且，则（ ） A. B. C. D. 11. 的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，对于，有如下命题，其中正确的有（ ） A. sin(B+C)=sinA B. cos(B+C)=cosA C. 若，则为直角三角形 D. 若，则为锐角三角形 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 13. 已知向量，，满足，，，则的最大值是______________. 14. 在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=120°，点D在边BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为________ 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位． （1）求的值； （2）记复数，求复数的模． 16. 在中，、、分别是角、、的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，且，求、的值． 17. 已知，. （1）若与的夹角为，求； （2）若与不共线，当为何值时，向量与互相垂直？ 18. 在中，角的对边分别为，若. （1）求角； （2）若的面积为，，求的周长. 19. 设复数，当取何实数时： （1）复数z为纯虚数； （2）在复平面上表示z的点位于第三象限； （3）表示z的点在直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一月考数学试卷 一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知复数（为虚数单位），设是的共轭复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出共轭复数，从而可求出其虚部 【详解】由，得， 所以的虚部是， 故选：B 2. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件利用向量垂直的坐标表示，求出即可计算作答. 【详解】向量，，，则，解得，即， 所以. 故选：A 3. 已知复数，若是纯虚数，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算结合纯虚数的定义即可得出答案. 【详解】解：是纯虚数， 则，解得. 故选：D. 4. 已知为虚数单位，则复数可化简为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的四则运算即可求解. 【详解】. 故选：A 5. 若向量，则与的夹角余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的坐标运算以及向量模的坐标运算即可求解. 【详解】由，， 则，， ， 设与的夹角余弦值为， 所以 . 故选：C 6. 在中，角、、所对的边分别为、、若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件切化弦，再利用正弦定理、余弦定理角化边即可计算判断作答. 【详解】在中，原等式化为：，由正弦定理得，， 即，由余弦定理得：，整理得， 则有，于是有或，是等腰三角形或直角三角形， 所以的形状是等腰三角形或直角三角形. 故选：C 7. 已知为虚数单位，在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】先化简复数得到复数为，即得解. 【点睛】解：， 所以该复数对应的点为，在第四象限. 故选：D 8. 在四边形中，对角线与交于点O，若，则四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 梯形 C. 平行四边形 D. 菱形 【答案】B 【解析】 【分析】由化简可得，结合向量共线定理判断四边形的形状. 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 四边形一定是梯形． 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 若复数z满足，则 B. 若复数z满足，则 C. 若复数z满足，则 D. 若复数､满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合复数的运算及性质，依次分析选项是否正确，即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于，若，则此时，但，所以错误； 对于，复数满足，令，，所以，所以是虚数，所以错误； 对于，设，则，若，必有，则，所以正确； 对于，若，，则，但，所以错误； 故选：． 10. 已知，，，点M满足且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用，将用表示，利用也将用表示，再通过平面向量基本定理可得；根据向量的线性运算可判断CD. 【详解】 ，三点共线且为中点， ，， ， 三点共线且为上靠近A的三等分点， ，， ， ， ，，A正确，B错误； ， C正确； ，D不正确. 故选：AC. 11. 的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，对于，有如下命题，其中正确的有（ ） A. sin(B+C)=sinA B. cos(B+C)=cosA C. 若，则为直角三角形 D. 若，则为锐角三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理与诱导公式判断A，B；利用余弦定理计算判断C，D作答. 【详解】依题意，中，，，A正确； ，B不正确； 因，则由余弦定理得：，而，即有，为直角三角形，C正确； 因，则，而，即有，为钝角三角形，D不正确. 故选：AC 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则_____________． 【答案】或. 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得出关于实数的等式，即可得解. 【详解】由复数表示的点的坐标为： ， 又该复数对应的点在虚轴上， 所以，解得或， 故答案为：或. 13. 已知向量，，满足，，，则的最大值是______________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，，根据已知条件可得，，整理可得，求得的范围即可求解. 【详解】设，，，，，， 则，， 整理得：，所以， 则，解得：， 所以， 故答案为：. 14. 在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=120°，点D在边BC上，且AD平分∠BAC，则AD的长为________ 【答案】##1.2 【解析】 【分析】根据面积公式得到，，，根据解得答案. 【详解】， ， ， ，即，解得. 故答案为：. 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位． （1）求的值； （2）记复数，求复数的模． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题知，即，再根据复数相等求解即可； （2）由（1）得，故，再求模即可. 【小问1详解】 解：知是关于的方程的一个根， 所以，即， 所以，解得. 所以 【小问2详解】 解：由（1）得复数， 所以 所以复数的模为 16. 在中，、、分别是角、、的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，且，求、的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得答案； （2）由余弦定理可得答案. 【小问1详解】 ，由正弦定理得 ， ，因为 ，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得 ， 所以，又因为，解得. 17. 已知，. （1）若与的夹角为，求； （2）若与不共线，当为何值时，向量与互相垂直？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合向量数量积运算与运算律计算求解即可； （2）根据解方程即可得答案. 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：∵向量与互相垂直， ∴，整理得，又，， ∴，解得. ∴当时，向量与互相垂直. 18. 在中，角的对边分别为，若. （1）求角； （2）若的面积为，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）、根据正弦定理和余弦定理求解即可； （2）、利用面积公式求出的值，化简求出的值，从而求出的周长. 【小问1详解】 , ,, 又，. 【小问2详解】 由（1）可知. ,, ,,, ,，. 的周长为. 19. 设复数，当取何实数时： （1）复数z为纯虚数； （2）在复平面上表示z的点位于第三象限； （3）表示z的点在直线上． 【答案】（1）复数不可能为纯虚数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由实部等于0，虚部不等于0可得； （2）由实部小于0，虚部小于0可得； （3）用实部代入，用虚部代入求解可得． 【小问1详解】 由为纯虚数，则该组条件无解，所以复数不可能为纯虚数； 【小问2详解】 由表示的点位于第三象限，则解得； 【小问3详解】 由表示的点在直线上，则，解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $