山东省临沂第一中学校本部2024-2025学年高二下学期3月阶段性检测数学试卷

临沂一中校本部2023级阶段性检测 数学 2025.3 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.) 1.某同学逛书店，发现3本喜欢的书，决定至少买其中一本，则有()种购书方法」 A.3 B.6 C.7 D.9 2.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象 称为衰变.假设、在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间 (单位：年)满足函数关系：M(0=600×20,则铯137含量M在一30时的瞬间变化率 (单位：太贝克年)为( A.-10lm2 B.300lm2 C.-300lm2 D.300 3,已知函数f)=?x+:+x+1在R上不存在极值点，则实数t的取值范围是( A.(-1,1) B.[-1,] C.(-o,-1]U,+o)D.(-o,-1)U0,+o) 4.某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春“雨水“惊蛰“春分“清明谷雨” 六张知识展板放置在六个并列的文化橱窗里，要求“立春和“春分”两块展板相邻，且“清明” 和“惊蛰两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为() A.24 B.48 C.144 D.240 5.函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则() f(x A.-1是函数f(x)的极小值点 B.3是函数∫(x)的一个极值点 C.f(x)在x=0处的切线的斜率大于0 D.f(x)的单减区间为(-l,+o) 6.已知函数∫(x)=x+32+bx+a2在x=-1处取得极值0，则'(1)=() A.6 B.12 C.24 D.12或24 7.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为(x),且当x<0时， 2/(x)+f'(x)<0,则不等式(x-2024)2∫(x-2024)-f(-1)<0的解集为() A.(-0,2025) B.(2023,+0)C.(2023,2025) D.(-∞，2023)U(2025,+0) 8.当x>0时，ae2≥nx恒成立，则a的取值范围为() ae ]层网c时 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.) 9.已知数字0,1,2,3,4，由它们组成四位数，下列说法正确的有() A.组成可以有重复数字的四位数有500个 B.组成无重复数字的四位数有96个 C.组成无重复数字的四位偶数有66个 D,组成无重复数字的四位奇数有28个 10.下列结论正确的是() A.∑2C=3"meN) B.若(2x-1)°=a。+ax+a2x2+…+ax°，x∈R,则展开式中各项的二项式系数的和为1 展开式中x的系数为40 D.3被5除所得的余数是1 11. x-3e,x20 已知函数f()=1+4x-3,x<0 则() A.f(x)在区间(0,3)上单调递增 B.∫(x)极大值点仅有一个 C.∫(x)无最大值，有最小值 D.当a∈[3,4]时，关于x的方程f(x)=a共有3个实根 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有车站数是 13.已知多项式(x+(2x-3=a,c-1+a2k-1j+a,-1)+a,k-1)+a,←-1a。, 则a+a+a5=- 14.设m,n∈N,m≤10，n≤10，函数f(x)=e-2x(c是自然对数的底数，c≈2.718)， 从有序实数对(m,)中随机抽取一对，使得∫(x)恰有两个零点的概率为 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计 划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程， ()现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门 共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数： (2)计划安排A、B、C、D、E五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教 师至少任教一门课程，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程 安排的种数. 16.5分)已知函数f=a-式。 求函数了倒在店个]上的最大值和最小值： (2)诺不等式∫(x)>(2-a)x有解，求实数a的取值范围. 17.(15分)已知在 ax2 0 2 的展开式中满足a>0,且常数项为5， 4,求： ()二项式系数最大的项 (②)系数绝对值最大的是第几项； (3)从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项，求共有多少种 不同的取法 1&7分)已知函最树=m-血，x[登引 (I)当a=。时，讨论f()的单调性： (2)若f(x)有两个极值点，记极大值和极小值分别为M,m,证明：M-m<2. 19.(17分)已知函数/()=4x-alax-2,其中a为正实数 (1)若函数y=f(x)在x=1处的切线斜率为2，求a的值： (2)求函数y=f(x)的单调区间： (3)若函数y=(x)有两个极值点，x,求证：∫(，)+f(x2)<6-l血a. 临沂一中校本部2023级数学阶段性检测 参考答案 愿号 2 3 6 7 9 10 11 答案 D C D B AB ACD BC 12.12 13.9 14. 0035 15.解：(1)第一步，将甲和乙的相同课程选好，有C种情况： 2分 第二步，再将甲和乙的不同课程选好，有C写种情况；4分 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的选法C写种情况：6分 因此，所有选课种数为Cg×C号××C写=360.7分 (2)①当A只任教1科时：先排A任教科目，有C种：再从剩下5科中排B的任教 科目，有C种；接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有 CA种；所以当A只任教1科时，共有CCCA=5×5× 4×3 ×3×2×1=900种9分 2×1 ②当A任教2科时：先选A任教的2科有C中，这样6科分为4组共有 CA=XX4x3x2x1=240种， .…12分 综上，A不任教“围棋”的课程安排方案有900+240=1140种. 13分 16解：(1)因为函数f(x)=lx-】x 所以r6闪=上x1上6k>0), 2分 令f"(x)=0,则x=1或x=-1(舍去)… 3分 当x<1时，(>0，当1<x<4时，k0, 所以函数冈在上单调递增，在化4)上单调造减。 4分 所以当x=1时，八)取得最大值，最大值为)=号 5分 又f)=g2-g/A=22-8, f-0=-32-g+8>3-g8>0,所以f}, 所以当x=4时，f(x)取得最小值，最小值为f(4)=2血2-8,7分 故/)在[上的最大值为-片，最小值为21n2-88分 (2)易知f(x的定义域为(0，+0），9分 故不等式f(少>(2-a)x2可化为2-a<- x22 10分 记8)-受-片，则原不等式有解可转化为2-。<8，。 ….11分 马得g--2,xe0时g>0,e+时.g创k0, 所以函数g(x)在(0，V同上单调递增，在(WG,+o)上单调递减， 13分 故g以=8个同-石}，所以2-a<名月 …14分 .51 解得a>22e 所以实数a的取值范围为 15分 17解。)根据展开武的通项可得=(-旷份c宁 2分 令20-k=0,解得k=8 3分 即=8时，常数项巧=(-G-华，解得a=1 4分 所以二项式系数最大的项-c(：三， 5分 2 系数绝对值最大的项等价于+) 系数最大的项： 6分 c8c” 设第k+1项系数最大， 则 8分 aG"c 3219 即 3s22' 44410分 又k∈Z,所以k=7, 10 即第8项系数最大，也即 x21 2 展开式中第8项系数绝对值最大…11分 (3)令20-=m,m后Z,解得k=0246.思10， 即展开式中的有理项共有6项，无理项有5项： 13分 所以从展开式中的所有项中任取三项，取出的三项中既有有理项也有无理项的取法共有 CC+C2Cg=135种： 15分 18.解：1)当a=2时，f()=x-simx, 则f(X)=号-co8x,… 1分 当受5xs-骨或导≤x≤受时，f八)20：当骨<x<骨时，f0,3分 3 所以函数网在（司引上单调减，在[司和利司引 上单调递增…4分 2)由f闭=a-，x[引 得f'()=a-cosx, 5分 因为函数f(x)有两个极值点，所以方程∫'(x)=a一cosx=0有两个不相等的实根， 设为为，为2且x<为2， 6分 因为函数y=Cosx在xe 2'2 时的图象关于y轴对称， 所以x+x2=0,即cos为=cosx2=ae(0,), 48分 当xe（受时，f(>0(y单调递增：当xe)时，了)<0， 单调递减：当x,哥引时，了>0，()单调道增， 10分 所以，，x2分别是函数的极大值点和极小值点， 即M=f(g)=a此1-$inxm=f(化2)=匹2-sinX2,11分 又为+2=0，即x2=-名， 则M-m=a此-sinx-(a2-sinx3）=2(a码-si血】，12分 又cos无=a∈(0,1)，则M-m=2(名c0s无-sinx）,13分 设()=26cos-smx).受<5<0， 则公()小=-2xsin名<0，即函数4()在(-受0上单调递诚。 …15分 所以()<4(}-2，即M-m<2 417分 19.解：(Q)因为f(x)=4x-alnx- -2,所以了儿=4-gx,l分 则f'(0)=3-a=2,所以a的值为1. …2分 a四∫（闪=4-g-x=-4x+口，函数y=f)的定义域为(0，o),…3分 1若16-4a≤0，即a≥4，则f'(x)≤0，此时f(x)的单调减区间为(0，+∞)；5分 2若16-4a>0,即0<a<4,则f'(x)=0的两根为2±√4-a, 此时f(x)的单调减区间为(0,2-4-a,(2+4-a,+∞)， 单调增区间为(2-4-a,2+4-a. 7分 (3)由(2)知，当0<a<4时，y=f(x)有两个极值点，x,且五+x=4,x=a9分 因为r儿6)+fG)=4--2+4%-ai-2 =4(+x)alh()g2+4 =16-alna-2(4-2a）-4=4+a-la 11分 要证f(:)+f(x)<6-lna,只需证alna-a-lna+2>0. 12分 构造函数g(y)=r-x-lnx+2,则g()=1+lnx-1-上=lx- ,13分 8()在(0,4)上单调递增，又g()=-1<0,g(2)=n2->0, 2 且g(x)在定义域上不间断， 由零点存在定理，可知g()=0在(1,2)上唯一实根，且“ 1 14分 则g(x)在(0，)上递减，(0,4)上递增，所以g(x)的最小值为g().…15分 因为--+21,23 当无e2习时，5*号(2》则86)0，所以82s)》>0恒院立.一16分 alna-a-lna+2>0,f(x)+f(x2)<6-lna得证… 17分