4.1—4.2多边形 平行四边形及其性质-2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

4.1—4.2多边形 平行四边形及其性质 一、多边形 定义：同一平面内，任意两条不在同一直线上的若干条线段首尾顺次相接所形成的图形。 要素：边、内角、外角、顶点、对角线。 性质： 边的数量决定多边形的类型，如三角形、四边形等。 从一个顶点出发可以引出的对角线数量等于顶点数减三。 多边形的内角和公式为(n-2)×180°，其中n为多边形的边数。 多边形的外角和总是360°。 二、平行四边形及其性质 定义：两组对边分别平行的四边形。 性质： 对边平行且相等。 对角相等，邻角互补。 对角线互相平分。 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心。 巩固课内例1:四边形的内角度数 1．一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形，如图，其中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了四边形的内角和，轴对称的性质，利用四边形的内角和可得，再根据轴对称的性质解答即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形左右对称， ∴， 故选：． 2．如图，在四边形中，，它的一个外角，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查多边形的内角和和外角，根据四边形的内角和为360度，求出的度数，根据外角的定义，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 3．四边形中，，． (1)如图1，若，试求出的度数； (2)如图2，若的角平分线交于点E，且，试求出的度数； (3)如图3，若和的角平分线交于点E，试求出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了多边形的内角和公式的求解原理，平行线的性质以及三角形的内角和定理，角平分线的定义，仔细分析图形是解题的关键． （1）根据四边形的内角和等于360°列式即可求解； （2）先根据平行线的性质求出与的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可； （3）先根据四边形的内角和等于求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后利用三角形的内角和定理列式即可求出的度数． 【详解】（1）∵，，， ∴， 解得； （2）∵，，， ∴， ， ∵是的角平分线， ∴， 在中，； （3）∵，， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴， 在中，． 巩固课内例2:多边形的内角和 1．一个多边形的每个内角都是，那么这个多边形的边数为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形内角和问题，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键：边形的内角和为． 设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得：， 解得：， 这个多边形的边数为， 故选：． 2．多边形的每个内角的度数都等于，则这个多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了多边形的内角和定理．边形的内角和为：．此类题型直接根据内角和公式计算可得． 根据多边形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故多边形是九边形． 故答案为：9． 3．如图，学校有一块五边形绿地，测量得，与互补，，分别延长，交于点． (1)求的度数． (2)求证：点到的距离与点到的距离相等． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查多边形的内角和，补角，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用四边形内角和公式得，再结合，，即可求解； （2）过点作于点，延长线于点，利用四边形内角和公式求得，则，可得，证明，即可得． 【详解】（1）解：∵四边形的内角和为， ∴， ∵与互补， ∴， 又∵， ∴， 解得：； （2）解：过点作于点，延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴， 即点到的距离与点到的距离相等． 巩固课内例3:平行四边形的性质——对角、对边相等 1．在平行四边形中，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形两对边分别平行，可知，根据两直线平行同旁内角互补可知，所以可得． 【详解】解：如下图所示， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ． 故选：B ． 2．在平行四边形中，，则的度数是 ． 【答案】/60度 【分析】根据平行四边形的邻角互补，得到，再根据，进行列式计算，即可得解．本题考查平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的对角相等，邻角互补，是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，四边形是平行四边形． (1)当时，求其余各内角的度数； (2)当，四边形的周长等于22时，求其余三边的长． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质： （1）平行四边形的两组对边分别平行，据此根据平行线的性质求解对应角的度数即可； （2）平行四边形两组对边分别相等，则可得到的长，再根据四边形周长计算公式求出的长即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形的周长为22， ∴， ∴． 巩固课内例4:平行线之间的距离处处相等 1．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质以及垂线段最短的性质，勾股定理等知识，设与交于点O，作于，首先利用勾股定理求出，当P与重合时，的值最小，的最小值，从而求解． 【详解】解：设与交于点O，作于．如图所示： 在中，， ∴为等腰直角三角形， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 当P与重合时，的值最小，则的值最小， 的最小值． 故选：C． 2．如图，点E、F是平行四边形的边上两点，点G是边上一点，若平行四边形的面积是，则与以及的面积之和为 ． 【答案】/10平方厘米 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等高三角形，掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质得出、、、、是等高三角形，设等高三角形的高为，进而推出阴影部分面积和空白部分面积相等，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 、、、、是等高三角形， 设等高三角形的高为， 则，， ， 四边形的面积是， ， 故答案为：． 3．如图，在中，是边上的一点，连接并延长，与的延长线相交于点． (1)若是的中点，求证：； (2)若于点，，且，，求与的距离． 【答案】(1)见解析 (2)与的距离是6． 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形． （1）由平行四边形的性质推出，，由平行线的性质得到，，而，由证明，得到，推出； （2）由平行四边形的性质推出，，，得到，由垂直的定义得到，求出，判定是等腰直角三角形，求出，得到，因此，判定是等腰直角三角形，求出，即可得到与的距离是6． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 是中点， ， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，，， ， 于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ∵， ， 作，垂足为， 则， 是等腰直角三角形， ， 与的距离是6． 巩固课内例5:平行四边形对角线互相平分 1．如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（    ） A． B．6 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理和平行四边形的性质．先根据勾股定理求出，再根据平行四边形的性质求出，再利用勾股定理求出． 【详解】解：，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故选：A． 2．如图，的对角线与相交于点．若，则的长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，平行四边形的性质，利用平行四边形的性质求解，再利用勾股定理求解，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：10． 3．如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)8 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理． （1）由平行四边形的性质得到，由，，可得，，证明，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据求出的长度，然后根据勾股定理求出的长度，即可根据平行四边形对角线互相平分求出的长度； （3）根据题意可求出，根据平行四边形的性质可求出、，然后根据勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明 ：四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：∵， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ； （3）解：， ， 四边形是平行四边形， ，， ∵， ， ． 类型一、多边形的内角和 1．如图，在五边形中，，、分别平分、，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义，解题时注意：多边形内角和（且n为整数）． 先根据五边形内角和求得，再根据角平分线求得，最后根据三角形内角和求得的度数． 【详解】解：∵在五边形中，， ∴， 又∵、分别平分、， ∴， ∴中，． 故选：C． 2．七边形的内角和为 ． 【答案】/900度 【分析】本题考查了多边形内角和，根据多边形的内角和公式即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．求出图形中x的值． 【答案】 【分析】本题考查的是多边形的内角和定理的应用，利用多边形的内角和公式建立方程求解即可． 【详解】解：由图可知， 解得． 类型二、多边形的外角和 1．石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的外角定理，根据多边形的外角和为即可求解，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 【详解】解：六边形的外角和为， 故选：． 2．如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转，再沿直线前进15米，又向左转⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是 米． 【答案】300 【分析】本题主要考查了多边形内角与外角，解题关键是理解小明每前进15米后向左转18°，当他第一次回到出发地A地时，走的路程形成正多边形． 根据题意判断小明每前进15米后向左转，当他回到出发地A地时，走过的路程形成正多边形，然后根据正多边形的外角和是，求出多边形的边数，从而求出答案即可． 【详解】解：由题意得：小明从A地出发，他第一次回到出发地A地时，走的路程形成正多边形，外角和为，每个外角的度数是， ∴多边形的边数为：， ∴一共走的路程为：（米）， 故答案为：300． 3．（1）如图，求出的度数． （2）如图，求出的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了三角形外角的性质、多边形的外角和定理、四边形的内角和定理等知识． （1）根据三角形外角的性质得到，，再用多边形外角和定理即可求解； （2）根据三角形外角的性质得到，再用四边形内角和为即可求解． 【详解】解：（1）∵是的外角， ∴， 同理， ∵三角形的外角和为， ∴， （2）∵是的外角，是的外角， ∴， ∵四边形内角和为， ∴ 类型三、多边形的对角线 1．过七边形的一个顶点可以画n条对角线，将它分成m个三角形，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查多边形的对角线，解题的关键是掌握：从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形．据此列式求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵过边形的一个顶点可以画出条对角线， ∴， ∴， ∴， ∴的值是． 故选：C． 2．已知一个正多边形每个内角都是，则这个正多边形共有 条对角线． 【答案】9 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，多边形的对角线，熟记多边形内角和定理以及多边形对角线条数的计算公式是解题的关键． 先根据正多边形内角和定理求出其边数，再根据多边形的对角线条数公式计算即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 根据题意得，， 解得：， ∴正六边形共有条对角线， 故答案为：9． 3．已知一个多边形的边数为． (1)若这个多边形的内角和是它的外角和的倍，求的值； (2)若过一个顶点的对角线有条，求这个边形对角线的总数． 【答案】(1) (2)这个边形对角线的总数为条 【分析】本题考查多边形内角和与外角和的综合及多边形对角线问题，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键． （1）根据多边形内角和为，外角和等于，列方程求出值即可； （2）根据从多边形的一个顶点最多有条对角线列方程求出值，根据多边形对角线总数为即可得答案． 【详解】（1）解：∵这个多边形的内角和是它的外角和的倍， ∴， 解得：． （2）解：∵过一个顶点的对角线有条， ∴， 解得：， ∴这个边形对角线的总数为（条）． 类型四、平行四边形的性质求长度 1．在中，平分，交边于E，，，则的长为（   ） A．12 B．7 C．2 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，首先求出，再根据平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，在中，与相交于点，，，将沿直线翻折后，点落在点处，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理等；由平行四边形的性质得，由折叠的性质得，由勾股定理即可求解；掌握平行四边形的性质，折叠的性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图， 四边形是平行四边形， ， 由翻折得： ， ， ， ， ； 故答案为：． 3．如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，平分，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）利用中点定义可得，再用平行四边形的性质可得，然后根据可证明； （2）首先求得，然后证得，进而得到． 【详解】（1）证明：是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，平行四边形的性质．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 类型五、平行四边形的性质求角度 1．如图，在平行四边形中，过点作的垂线交对角线于点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形性质和三角形内角和定理，熟记所学知识是解题关键．根据平行四边形的性质求出，再利用三角形内角即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图，在▱ABCD中，，以点A为圆心，为半径作弧，交于另一点F，再分别以点D，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点E，若，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作垂线，根据平行四边形的性质，推出，作图可知，三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， 由作图可知， ∴， ∴． 故答案为： 3．如图，在中，分别是边上的点，将沿进行折叠，使点落在边上的点处，点落在外的点处，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了根据折叠性质求解，平行四边形性质，三角形内角和，根据三角形内角和先求的度数，由折叠性质可知，再结合平行四边形性质即可求出结果． 【详解】解：， ． 由折叠性质可知， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ． 类型一、网格中的多边形 1．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 【答案】B 【分析】如图：连接和，可以发现，然后求得平行四边形的面积即可解答． 【详解】解：连接和，则 ．    故选：B． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转换成求平行四边形的面积是解答本题的关键． 2．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键． 3．如图，每个小正方形的边长都为1． (1)四边形的面积________； (2)四边形的周长________； (3)与有什么关系？请说明理由． 【答案】(1)12 (2) (3)相等，且垂直 【分析】（1）根据正方形的面积减去三个直角三角形的面积计算即可； （2）根据勾股定理计算即可； （3）先根据勾股定理的逆定理确定是直角三角形，可得答案． 【详解】（1）四边形的面积； 故答案为：12； （2）四边形的周长为 ； 故答案为：； （3）相等，且垂直． 理由：如图所示，连接． 根据勾股定理，得， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 所以，且． 【点睛】本题主要考查了勾股定理在网格中的应用，勾股定理逆定理，求不规则图形的面积等，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差是解题的关键． 类型二、正多边形的内角 1．如图，在正五边形中，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是正五边形的性质，熟记正五边形性质是解题的关键． 根据正五边形的性质的，，再利用等腰三角形的性质求出，进而可求出的度数． 【详解】解：五边形是正五边形， ，， ， ∴． 故选B． 2．一个正多边形的内角和为，则它的每一个内角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角，先利用内角和公式求出正多边形的边数，进而求出每一个内角的度数即可，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：设正多边形的边数为， 由题意得，， ∴， ∴正多边形是正五边形， ∴它的每一个内角为， 故答案为：． 3．如图，若正五边形和长方形按如图所示的方式叠放在一起，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了正多边形的内角和、直角三角形的性质等知识，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．先求出正五边形的内角度数，再根据直角三角形两锐角互余得到，即可求出答案． 【详解】解:∵正五边形的内角和为, ∴其每个内角为,即 ∴ ∵长方形的每个内角为即 ∴ ∴. 类型三、正多边形的外角 1．已知一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和，利用正多边形的外角和为，即可解答，熟知相关概念是解题的关键． 【详解】解：正多边形的边数是， 故答案为：C． 2．正六边形和正五边形的位置如图所示，其中点E，D，J在同一条直线上，则的度数为 ． 【答案】/48度 【分析】本题考查了正多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和是解题的关键； 根据正五边形和正六边形性质得出各外角度数，进而可得答案． 【详解】解：在正六边形和正五边形中， ， ， ， 故答案为：． 3．如图1，图2，在四边形中，是四边形的一个外角． (1)四边形的外角和为________度； (2)如图1，图2，已知． ①如图1，求证：； ②如图2，若，平分，交于点G，平分，且与相交于点F，试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)360 (2)①见解析；②．理由见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，多边形的外角和，邻补角，对顶角，角平分线的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用多边形的外角和定理即可作答； （2）①利用，是四边形，得到，再利用，即可证明； ②由①可知：，利用角平分线得到，进一步得到：，再利用，，证明，即． 【详解】（1）解：四边形的外角和为； 故答案为：360； （2）①证明：∵，是四边形， ∴， ∵， ∴； ②．理由如下， 假设和交于点H，如图， 由（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 类型四、平面镶嵌 1．用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有2个正三角形、a个正六边形，则a的值可能是（   ） A．4 B．3 C．1 D．2 【答案】D 【分析】此题考查了平面镶嵌，一元一次方程的应用，正多边形的组合能进行平面镶嵌，则位于同一顶点处的几个角之和为，据此列方程求解即可． 【详解】解：正三角形和正六边形内角分别为、， 根据题意可知， 解得． 故选：D． 2．如图是工人师傅用边长均为的两块正三角形和一块正方形地砖绕着点进行的铺设．若将一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面密铺，熟练掌握多边形内角和是解题的关键． 根据多边形的内角和求出，则通过计算多边形的外角即可得到答案． 【详解】解：∵正三角形的内角为，正方形的内角为， ∴， ∴这块正多边形地砖的边数是， 故答案为：． 3．簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决． (1)已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形______（填序号） ①正三角形 ②正四边形 ③正五边形 ④正六边形 (2)小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为______，并简要说明理由 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面镶嵌，熟练掌握平面图形的镶嵌是解题的关键：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌． （1）分别求出各多边形内角的度数，再由密铺的条件即可得出结论； （2）根据正六边形各内角的度数即可得出结论． 【详解】（1）解：①正三角形的内角是，，可以密铺，不符合题意； ②正四边形的内角是，，可以密铺，不符合题意； ③正五边形的内角是，，不能密铺，符合题意； ④正六边形的内角是，，可以密铺，不符合题意； 故答案为：③； （2）解：，理由如下： 由题意得，这个正六边形围成的图形是一个正多边形，由图可知，围成的这个正多边形的每个内角的度数是， ， 解得：， 故答案为：． 类型五、平行四边形的性质求周长 1．如图，在中，，点是边上一点，且平分，若，，，则的周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理的应用；根据平行四边形的性质，角平分线的定义得出，等角对等边可得，进而证明得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴； ∵ ∴ ∴, ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴的周长为， 故选：B． 2．如图，平行四边形的周长是，对角线相交于点，交于点，则的周长为 ．    【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、线段的中垂线的性质以及三角形周长等知识，熟练掌握平行四边形的性质解题的关键． 由四边形是平行四边形，则，，，故有，又，则垂直平分，所以，再根据周长公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵平行四边形的周长是， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴的周长 ， 故答案为：． 3．如图，在中，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，连接． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的周长为． 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由作图可知，垂直平分，由性质得，再根据等边对等角得，又四边形是平行四边形，则，通过平行线的性质可得，所以，从而得证； （）由四边形是平行四边形，可知，，然后由垂直平分线的性质可得，最后通过周长即可求解． 【详解】（1）证明：由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长 ， ∴的周长为． 类型六、平行四边形的性质求面积 1．如图，是平行四边形的对角线交点，为中点，交于点，若平行四边形的面积为8．则的面积是（　　）   A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的面积，可知，根据是中点，可知，最后根据平行四边形的对角线互相平分，推出是中点，从而得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形且面积为8 ， 又为中点 故选：C． 2．如图，在四边形中，，，，，若四边形内部有一点，使得四边形为平行四边形，且与四边形的面积比为，则四边形的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理， 熟练掌握知识点，正确添加辅助线，运用勾股定理是解题的关键． 延长交于，由平行四边形下的性质推出，，，得到，令，，求出的面积，四边形的面积，于是得到，推出，由勾股定理得到，求出，（舍去），得到的面积，即可求出四边形的面积为． 【详解】解：延长交于， 四边形是平行四边形， ，，， ， 令，， 的面积， 梯形的面积，的面积， 四边形的面积， 与四边形的面积比为， ， ， ， ， ，（舍去）， 的面积， 四边形的面积为． 故答案为：12． 3．如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、尺规作图等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由作图可知，，再由平行四边形的性质得，则，则，然后由等腰三角形的判定即可得出结论； （2）过点作，交的延长线于点；同（2）中方法证明，得，利用是直角三角形求出，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】（1）证明：由作图步骤可得，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作，交的延长线于点，如图； ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， 由作图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型一、多边形截角后的边数问题 1．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形． 【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，不可能是六边形． 故选：D． 2．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 3．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 【答案】(1)7 (2)边数可以是6或7或8，外角和仍然是 (3)每个内角比相邻的外角大，大． 【分析】（1）设这个多边形的边数为n．根据内角和比外角和多列方程求解即可； （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是； （3）求出每个内角和每个外角的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n．根据题意得， ， 解得， 答：这个多边形的边数是7． （2）7边形裁去一个角，它的边数可以是6或7或8，外角和仍然是． （3）若这个多边形是正七边形，则每个内角为，相邻的外角是， 则， ∴每个内角比相邻的外角大，大． 【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式与外角和定理是解题的关键． 类型二、多边形截角后的内角和问题 1．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的内角和公式，解题关键是多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少三种情况． 2．将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 【答案】5，6，7 【分析】本题考查了多边形内角和．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7． 故答案为：5，6，7． 3．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的2倍还大， (1)求这个多边形的边数； (2)若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？ 【答案】(1)8 (2)或或 【分析】本题考查多边形内角和、多边形外角和以及剪去一个角的问题，熟练掌握多边形的相关知识是解题的关键． （1）设多边形的一个外角为a，则与其相邻的内角为，根据平角定义可求出a的值，再利用多边形的外角和为，可求出多边形的个数； （2）剪掉一个角后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，因此分情况讨论，即可求出答案． 【详解】（1）解：设多边形的一个外角为a，则与其相邻的内角为， 由题意得，， 解得， 又多边形的外角和为， 多边形的外角个数为， 这个多边形的边数为8； （2）因为剪掉一个角后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变， 若剪掉一个角后，边数增加了1条，即变成九边形，则此时内角和为； 若剪掉一个角后，边数减少了1条，即变成七边形，则此时内角和为； 若剪掉一个角后，边数不变，即还是八边形，则此时内角和； 将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是或或． 类型三、多(少)算一个角问题 1．在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，即，根据题意先得出这个多加的内角为，然后再根据多边形内角和定理可得出：，求出n即可得出答案． 【详解】解：， ∴这个多加的内角为， 设这个多边形的边数为n， 根据多边形内角和定理可得出：， 解得：， 故选∶D 2．一个多边形，除了一个内角外其余各内角和为，则这个内角是 度． 【答案】80 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，设多边形的边数为x，根据多边形的内角一定大于0，且小于180度，因而内角和除去一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数要小，可以求出多边形的边数为14，再利用内角和公式即可得出结果． 【详解】解：设多边形的边数为x， 由题意得， 解得：， 多边形的边数是14， 则这个内角是， 故答案为80． 3．玛丽在进行一个的内角和计算时，求得的内角和为，当发现错误之后，她立即检查发现少加了一个内角．已知该边形的对角线有条，试求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了多边形的内角和公式和对角线公式熟记公式是解题的关键根据多边形的内角和公式．多边形的内角一定大于0度，小于度，据此求得m的值，继而根据对角线公式求出n的值，代入计算可得． 【详解】解∶设边形少加的度数为度．则 ， 即． ，， ， ． 边形的对角线条数为． ． 类型四、平行四边形中的证明边、角关系 1．如图，在平行四边形中，若点是的中点，点是上一动点，连接，，，并延长交于点，设，有以下结论：①当时，则；②当时，则；③若，则其中正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键． 由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质和三角形的面积关系依次判断可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 只有当时，， 错误， 当时，则， ， ， ， ， ， 故正确， 若，则，当不一定等于， 不一定成立，故错误， 故选：B． 2．在纸板上剪出一个平行四边形，作出其对角线的交点O．我们进行如图操作：用大头针把一根平放在平行四边形纸板上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置，如果设细木条与一组对边，的交点分别为点E，F，则下列结论：①；②；③；④．一定成立的是 （填写序号即可）． 【答案】①②④ 【分析】此题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据平行四边形的性质得到，，得到，然后证明出，进而判断即可． 【详解】∵四边形是平行四边形，其对角线的交点O ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，，故①②④正确； ∵和不一定平行 ∴和不一定相等，故③错误； 故答案为：①②④． 3．如图，以的边分别为边作等边三角形和等边三角形，连接． (1)证明； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定： （1）根据平行四边形对角相等，对边相等得到，再由等边三角形的性质可证明，则可证明，据此可证明结论； （2）根据平行四边形对边平行和平行线的性质结论三角形内角和定理可得到，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵都是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由平行四边形的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．四边形的外角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，多边形的外角和等于，多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则边形取个外角，无论边数是几，其外角和永远为．根据任意多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：任意多边形的外角和等于， 四边形的外角和为． 故选：D． 2．若一个多边形的内角和为，从这个多边形的一个顶点引出的对角线可将其分为个三角形，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查多边形的内角和 ，根据题意得到多边形的内角和为，列出等式计算即可． 【详解】解：从这个多边形的一个顶点引出的对角线可将其分为个三角形， 多边形的内角和为， 多边形的内角和为， ， ． 故选：A． 3．如图，在中，连接，且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．根据平行四边形的性质可得，推出，利用等面积法得到，由，，推出，得到，结合，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， , 故选：B． 4．命题“四边形的四个外角中至少有两个是钝角”是 ．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】假命题 【分析】本题主要考查了命题真假的判断，根据矩形的四个外角都是直角，没有钝角，说明此命题为假命题即可． 【详解】解：因为矩形的四个外角都是直角，所以四边形的四个外角中不一定有两个是钝角，故此命题为假命题． 故答案为：假命题． 5．已知一个多边形的内角和比外角和少，则此多边形为 ． 【答案】三角形 【分析】考查了多边形的内角和与外角和问题，设此多边形为边形，根据题意得出，求解即可． 【详解】解：设此多边形为边形， ∵多边形的内角和比外角和少， ∴， 解得， ∴此多边形为三角形， 故答案为：三角形． 6．如图，在中，，平分，交边于点E，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 由题意得，，则有，进而可得，然后可得，最后问题可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 7．已知一个多边形的内角和等于，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数为11 【分析】本题考查了多边形内角和，一元一次方程的应用，掌握多边形内角和公式是解题关键．设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得：，                 解得． 即这个多边形的边数为11． 8．已知一个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 【答案】12． 【分析】本题考查了多边形的外角和，内角与外角之间的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 设这个多边形的每个外角为，则每个内角为，依题意得，， 求出每个外角度数，再拿外角和除以每个外角度数即为边数． 【详解】解：设这个多边形的每个外角为，则每个内角为，依题意得，， 解得， ∴， ∴这个多边形的边数为12． 9．如图 (1)如图1，在中，平分交边于点E，已知，，则等于_______ ． (2)如图2，在中，若分别是的平分线，点E在边上，且，则的周长为__________． (3)如图3，已知四边形是平行四边形，，若分别是的平分线．求证： (4)在（3）的条件下，如果，则的长为_______． 【答案】(1)2 (2)12 (3)见解析 (4)1 【分析】（1）根据平行四边形的性质求出长，再根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出，则可求出长，即可解答； （2）由（1）得出，然后根据平行四边形的性质求出长，根据线段间的和差关系求出和的长度之和，从而求出的周长； （3）根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出，则可求出结合，则可得出； （4）由（3）求出和的长，结合，利用线段间的和差关系即可解答． 本题考查了平行四边形的性质以及角平分线的定义，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分交边于点E， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分交边于点E， ∴， ∴ 同理， ∴， ∴的周长． 故答案为：12． （3）证明：∵在中，， ． 又∵是的平分线 ∴， 同理可得 ∵ ； （4）解：由（3）可得，． ∵ 故答案为1． 10．【模型建立】如图1，在中，点E为边上一动点，连接．设，，的面积分别为，，．写出，，之间的数量关系，并用两种不同的方法证明； 【模型应用】 如图2，在中，，，，点E为边上的一动点，连接．过点B作．求的值； 【模型拓展】 如图3，点P为内一点（点P不在上），点E，F，G，H分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），写出的面积，并说明理由．（用含，的代数式表示） 【答案】[模型建立]详见解析 [模型应用] [模型拓展] 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和应用，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键． [模型建立]方法一，利用平行线间的距离相等，结合平行四边形面积公式和三角形的面积公式即可得解；方法二，如图1，过点作交于点，利用平行四边形对角线将平行四边形分为面积相等的两个三角形的性质，进行等量代换即可得解； [模型应用]如图2，过作交的延长线于点，连，由[模型建立]的结论可得出，再利用三角形面积公式即可得解； [模型拓展]如图3中，连接，利用前面的结论进行恒等变形即可得解． 【详解】[模型建立] 解：方法一，设平行四边形的高为（与之间的距离）， ∵平行四边形， ∴， ∴以为底，高就是平行四边形的高， ∴根据三角形面积公式可得， 同理可得，， ∵， ∴； 方法二，如图1，过点作交于点， ∵， ， ∴四边形和四边形都为平行四边形， ∴，， ∵， ∴； [模型应用] 解：如图2，过作交的延长线于点，连， ∵， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得，， ∵， ∴， 由得， ∴， ∵， ∴， ∴； [模型拓展] 如图3中，连接， 在中，点是的中点， 可设， 同理，， ， ， ， ∵， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1—4.2多边形 平行四边形及其性质 一、多边形 定义：同一平面内，任意两条不在同一直线上的若干条线段首尾顺次相接所形成的图形。 要素：边、内角、外角、顶点、对角线。 性质： 边的数量决定多边形的类型，如三角形、四边形等。 从一个顶点出发可以引出的对角线数量等于顶点数减三。 多边形的内角和公式为(n-2)×180°，其中n为多边形的边数。 多边形的外角和总是360°。 二、平行四边形及其性质 定义：两组对边分别平行的四边形。 性质： 对边平行且相等。 对角相等，邻角互补。 对角线互相平分。 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心。 巩固课内例1:四边形的内角度数 1．一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形，如图，其中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，它的一个外角，则的度数为 ． 3．四边形中，，． (1)如图1，若，试求出的度数； (2)如图2，若的角平分线交于点E，且，试求出的度数； (3)如图3，若和的角平分线交于点E，试求出的度数． 巩固课内例2:多边形的内角和 1．一个多边形的每个内角都是，那么这个多边形的边数为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 2．多边形的每个内角的度数都等于，则这个多边形的边数为 ． 3．如图，学校有一块五边形绿地，测量得，与互补，，分别延长，交于点． (1)求的度数． (2)求证：点到的距离与点到的距离相等． 巩固课内例3:平行四边形的性质——对角、对边相等 1．在平行四边形中，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．在平行四边形中，，则的度数是 ． 3．如图，四边形是平行四边形． (1)当时，求其余各内角的度数； (2)当，四边形的周长等于22时，求其余三边的长． 巩固课内例4:平行线之间的距离处处相等 1．如图，在中，，，，点为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 2．如图，点E、F是平行四边形的边上两点，点G是边上一点，若平行四边形的面积是，则与以及的面积之和为 ． 3．如图，在中，是边上的一点，连接并延长，与的延长线相交于点． (1)若是的中点，求证：； (2)若于点，，且，，求与的距离． 巩固课内例5:平行四边形对角线互相平分 1．如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（    ） A． B．6 C．7 D． 2．如图，的对角线与相交于点．若，则的长是 ． 3．如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为E，F． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，，当时，求的面积． 类型一、多边形的内角和 1．如图，在五边形中，，、分别平分、，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．七边形的内角和为 ． 3．求出图形中x的值． 类型二、多边形的外角和 1．石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 2．如图，小明从A地出发，沿直线前进15米后向左转，再沿直线前进15米，又向左转⋯⋯，照这样走下去，他第一次回到出发地A地时，一共走的路程是 米． 3．（1）如图，求出的度数． （2）如图，求出的度数． 类型三、多边形的对角线 1．过七边形的一个顶点可以画n条对角线，将它分成m个三角形，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．已知一个正多边形每个内角都是，则这个正多边形共有 条对角线． 3．已知一个多边形的边数为． (1)若这个多边形的内角和是它的外角和的倍，求的值； (2)若过一个顶点的对角线有条，求这个边形对角线的总数． 类型四、平行四边形的性质求长度 1．在中，平分，交边于E，，，则的长为（   ） A．12 B．7 C．2 D．24 2．如图，在中，与相交于点，，，将沿直线翻折后，点落在点处，那么的长为 ． 3．如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，平分，则的长为________． 类型五、平行四边形的性质求角度 1．如图，在平行四边形中，过点作的垂线交对角线于点，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在▱ABCD中，，以点A为圆心，为半径作弧，交于另一点F，再分别以点D，F为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线交于点E，若，则的度数为 ． 3．如图，在中，分别是边上的点，将沿进行折叠，使点落在边上的点处，点落在外的点处，若，求的度数． 类型一、网格中的多边形 1．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，以为半径的扇形经过平移到达扇形的位置，那么图中阴影部分的面积是（　　）．    A．8 B．6 C．6.5 D．7.5 2．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ． 3．如图，每个小正方形的边长都为1． (1)四边形的面积________； (2)四边形的周长________； (3)与有什么关系？请说明理由． 类型二、正多边形的内角 1．如图，在正五边形中，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．一个正多边形的内角和为，则它的每一个内角为 ． 3．如图，若正五边形和长方形按如图所示的方式叠放在一起，求的度数． 类型三、正多边形的外角 1．已知一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 2．正六边形和正五边形的位置如图所示，其中点E，D，J在同一条直线上，则的度数为 ． 3．如图1，图2，在四边形中，是四边形的一个外角． (1)四边形的外角和为________度； (2)如图1，图2，已知． ①如图1，求证：； ②如图2，若，平分，交于点G，平分，且与相交于点F，试判断与之间的位置关系，并说明理由． 类型四、平面镶嵌 1．用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有2个正三角形、a个正六边形，则a的值可能是（   ） A．4 B．3 C．1 D．2 2．如图是工人师傅用边长均为的两块正三角形和一块正方形地砖绕着点进行的铺设．若将一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是 ． 3．簪花结束后，小强和爸爸牵着妈妈的手，到蟳埔村参观游玩拍照纪念，精美的镂空窗花搭配蚵壳墙，极具泉州古民居特色，给小强一家留下来极其深刻的印象，在感叹泉州人民的勤劳与智慧的同时，聪明的小强发现有的窗花是由几种形状的正多边形组合镶嵌而成，具有很好的对称美，小强爸爸给他出了如下两个题目，请帮帮小强一起解决． (1)已知一扇窗户在某个结点处由两种边长相等的正多边形镶嵌而成，其中一种是等边三角形，另一个种不能是下列哪种形状的正多边形______（填序号） ①正三角形 ②正四边形 ③正五边形 ④正六边形 (2)小强发现某个花纹用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，小强猜想，如果用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为______，并简要说明理由 类型五、平行四边形的性质求周长 1．如图，在中，，点是边上一点，且平分，若，，，则的周长为（  ） A． B． C． D． 2．如图，平行四边形的周长是，对角线相交于点，交于点，则的周长为 ．    3．如图，在中，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，连接． (1)求证：是的平分线； (2)若，，求的周长． 类型六、平行四边形的性质求面积 1．如图，是平行四边形的对角线交点，为中点，交于点，若平行四边形的面积为8．则的面积是（　　）   A．2 B． C．1 D． 2．如图，在四边形中，，，，，若四边形内部有一点，使得四边形为平行四边形，且与四边形的面积比为，则四边形的面积为 ． 3．如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线，交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 类型一、多边形截角后的边数问题 1．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 3．已知一个多边形纸片的内角和比外角和多 (1)求这个多边形的边数． (2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和． (3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？ 类型二、多边形截角后的内角和问题 1．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 2．将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数可能是 ． 3．在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的2倍还大， (1)求这个多边形的边数； (2)若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？ 类型三、多(少)算一个角问题 1．在计算多边形内角和时，不小心多加了一个内角，结果为，则边数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．一个多边形，除了一个内角外其余各内角和为，则这个内角是 度． 3．玛丽在进行一个的内角和计算时，求得的内角和为，当发现错误之后，她立即检查发现少加了一个内角．已知该边形的对角线有条，试求的值． 类型四、平行四边形中的证明边、角关系 1．如图，在平行四边形中，若点是的中点，点是上一动点，连接，，，并延长交于点，设，有以下结论：①当时，则；②当时，则；③若，则其中正确的是（   ） A．① B．② C．③ D．②③ 2．在纸板上剪出一个平行四边形，作出其对角线的交点O．我们进行如图操作：用大头针把一根平放在平行四边形纸板上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动，拨动细木条，它可以停留在任意位置，如果设细木条与一组对边，的交点分别为点E，F，则下列结论：①；②；③；④．一定成立的是 （填写序号即可）． 3．如图，以的边分别为边作等边三角形和等边三角形，连接． (1)证明； (2)求的度数． 1．四边形的外角和是（   ） A． B． C． D． 2．若一个多边形的内角和为，从这个多边形的一个顶点引出的对角线可将其分为个三角形，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在中，连接，且，过点作于点，过点作于点，且，在的延长线上取一点，满足，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．命题“四边形的四个外角中至少有两个是钝角”是 ．（填“真命题”或“假命题”） 5．已知一个多边形的内角和比外角和少，则此多边形为 ． 6．如图，在中，，平分，交边于点E，若，则的长为 ． 7．已知一个多边形的内角和等于，求这个多边形的边数． 8．已知一个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的4倍多，求这个多边形的边数． 9．如图 (1)如图1，在中，平分交边于点E，已知，，则等于_______ ． (2)如图2，在中，若分别是的平分线，点E在边上，且，则的周长为__________． (3)如图3，已知四边形是平行四边形，，若分别是的平分线．求证： (4)在（3）的条件下，如果，则的长为_______． 10．【模型建立】如图1，在中，点E为边上一动点，连接．设，，的面积分别为，，．写出，，之间的数量关系，并用两种不同的方法证明； 【模型应用】 如图2，在中，，，，点E为边上的一动点，连接．过点B作．求的值； 【模型拓展】 如图3，点P为内一点（点P不在上），点E，F，G，H分别为各边的中点．设四边形的面积为，四边形的面积为（其中），写出的面积，并说明理由．（用含，的代数式表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$