第2章 特殊三角形拓展之最值篇题型过关专练（优质类型）-2025-2026学年浙教版八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】

第2章 特殊三角形拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、将军饮马 【解惑】如图，等边中，平分，点、分别为、上的点，且，，在上有一动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，垂直平分，点为直线上任意一点，则的最小值是 ． 3．已知在中，，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于E、D．作直线，点F为中点，点P为直线上任意一点，连接，．若，的面积为6，则的最小值为 ． 类型二、三点共线 【解惑】如图在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，，，， 点P在直线上方，的面积为3， 则的最大值为 ． 3．如图，已知在中，，，，，点为射线上的动点，则的最大值为 ． 类型三、周长最小——将军饮马 【解惑】如图，在中，，的周长是14，的垂直平分线分别交边于点E、D．若点F为的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，等腰的底边，面积为，点在边上，且，是的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 2．在等腰三角形中，，，E为上一点，，，交于点D，点F为直线上一点，则周长的最小值为 ． 3．如图，等腰三角形的底边的长为，面积为，腰的垂直平分线分别交，于点，．若为底边的中点，为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 类型四、周长最小——双对称 【解惑】如图，在等腰中，，点是的中点，分别是边上的动点，连接，则的周长最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【融会贯通】 1．如图，，点M，N分别是射线，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知，在的内部有一点，为上一动点，为上一动点，，则的周长最小值是 ． 3．如图，内部有一定点，若点分别是射线上异于点的动点． （Ⅰ）在射线上 （填“是”或“否”）存在点，使的周长有最小值； （Ⅱ）当周长的最小值是2时，则的度数是 ． 类型五、两动一定 【解惑】如图，在中，，，面积是10．的垂直平分线分别交，于点E，F．若点为上的动点，点P为上的动点，则的最小值是（   ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【融会贯通】 1．如图，等腰中，垂直平分，交于点．若点为上一动点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．13 2．如图，在中，，平分，交于点D，点M，N分别为，上的动点，若，的面积为6，则的最小值为 ． 3．如图，中，，，，平分．M、N分别是上的点，则的最小值是 ． 类型六、斜中最值 【解惑】如图，中，，线段的两个端点D、E分别在边上滑动，且，若点M、N分别是的中点，则的最小值为（　　）    A．2 B．3 C． D．4 【融会贯通】 1．如图，已知点P是平分线上的一点，，，M是的中点，．若点C是上一个动点，则的最小值为（　　）． A．6 B．5 C．4 D．3 2．如图，已知，且，，，点D、F分别在上滑动．点M是的中点，点N是的中点，则的最小值是 ． 3．如图，中，，，，点D在边上运动，以为边向右边作等边三角形，连接，则长度的最小值为 ． 类型七、数形结合最值 【解惑】代数式的最小值是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知均为正数，且，则的最小值是（   ） A． B．6 C． D． 2．已知，则A的最小值为 ． 3．阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长为15，进而解决问题． 类比如上方法，求的最小值为 ． 类型八、手拉手最值 【解惑】如图，在中，以为边作，，点与点A在的两侧，则下列结论中正确的是（   ） A．有最小值，也有最大值 B．没有最小值，也没有最大值 C．若，，则的最小值为8 D．若，，则的最大值为8 【融会贯通】 1．动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（ ） A．2 B． C． D． 2．如图，在中，点为的中点，为外的一动点并且满足，连若，则的最大值是 ． 3．如图，和为等腰直角三角形，将绕点顺时针旋转，连接，，点为直线，的交点．若，，则 ，在旋转过程中，的最大值为 ． 类型九、面积最大 【解惑】如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下个结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 【融会贯通】 1．如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（ ） A．8 B． C． D．6 2．如图，在中，，点D是上一动点（点D与点B不重合），连接，作B关于直线的对称点E，当点E在的下方时，连接，则面积的最大值为 ． 3．如图，中，，，，点为斜边上一任意点，连接，将点关于直线作轴对称变换得到点，连接，，则面积的最大值为 ． 类型十、其他最值 【解惑】如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，再以为直角边，为直角，在同侧作，点为中点，连接，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【融会贯通】 1．如图，是边长为6的等边三角形，点E在上且，点D是直线上一动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，连接的最小值是（　　） A． B． C．4 D．6 2．如图，在中，，为上一点，且为等边三角形，．点是边上的一个动点，连结，以为边在左侧作一个等边，连结．在整个运动过程中，的最小值是 ． 3．在解决“当时，求代数式的最小值”这个问题时，我们可以将看作是一个以和3为直角边的的斜边的长，再将延长至，使得，以为斜边构造如图所示的，则为的长．于是将问题转化为求的最小值．利用上述方法，这个代数式的最小值是 ；请运用此方法解决问题：当时，的最小值是 ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 特殊三角形拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、将军饮马 【解惑】如图，等边中，平分，点、分别为、上的点，且，，在上有一动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识．作点关于的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值为，然后根据等边三角形的性质可得是等边三角形，即可求得． 【详解】解：是等边三角形，平分， ，，为中点， ，， ， 作点关于的对称点，则，连接交于，如图， 则， 此时的值最小，最小值为， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 的最小值为． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题重点考查等边三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、轴对称-最短路线问题等知识，正确地画出图形找到的最小值时点H的位置是解题的关键． 作点关于的对称点，连接，则在上，与的交点为，此时最短，利用条件求解即可． 【详解】解： 是等边三角形，是边上的高， ，平分，， ， 作点关于的对称点，连接，则在上，与的交点为， ，， ， ， 又， 是等边三角形， ， 的最小值为． 故选：D． 2．如图，在中，，，垂直平分，点为直线上任意一点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称中最短路线的问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是找出点P的位置． 根据题意可知，点B关于直线的对称点为点，故当点P与点D重合时，有最小值，求出的长度即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴点B与点C关于直线对称， 设交于点D，如图， 当点P与点D重合时，的值最小，最小值为等于的长， ∴的最小值是． 故答案为： ． 3．已知在中，，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于E、D．作直线，点F为中点，点P为直线上任意一点，连接，．若，的面积为6，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】连接，交直线于点，连接，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，可知当点P与点重合时，，为最小值．由题意得为等腰三角形，则可得．根据三角形的面积公式可得，进而可得答案． 本题考查了线段垂直平分线的基本作图，等腰三角形的性质，轴对称性质的应用，三角形面积公式，熟练掌握基本作图，轴对称性质是解题的关键． 【详解】解：连接，交直线于点，连接， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，可知当点P与点重合时，，为最小值．由题意得，点F为中点， 故． 根据题意，得 解得， 故的最小值为4． 故答案为：4． 类型二、三点共线 【解惑】如图在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，三角形的内角和等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．作点关于的对称点，连接，可以得到，即可得到当点在同一直线上时，有最大值，此时，根据题意得到，根据即可求出的度数． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， 则， 此时， 当点在同一直线上时，有最大值， 此时， 当的最大值是时， ， ， ， 由题意得和关于对称， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故选B． 【融会贯通】 1．如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，则此时点P就是使的值最大的点，连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可推出是等边三角形，进而即可得到结论． 【详解】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，连接， ∴， ∴， ∴点P就是使的值最大的点， 已知为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，在四边形中，，，，，， 点P在直线上方，的面积为3， 则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称—最短路径问题，三角形的面积，勾股定理，解直角三角形等知识，过点P作于H．过点P作直线，作点B关于直线l的对称点，连接交直线l于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长． 【详解】解：如图，过点P作于H． ∵的面积为3， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴过点P作直线，作点B关于直线l的对称点，则，连接交直线l于，此时的值最大，即的值最大，最大值为线段的长． 过点D作于K． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 3．如图，已知在中，，，，，点为射线上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键在于找出的最大值情况． 将线段沿射线翻折，得到线段，连接，，由轴对称性质可知，，进而得到，结合，三角形三边关系，推出当三点共线时，的最大值为，最后结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：将线段沿射线翻折，得到线段，连接，， ，，，， 由轴对称性质可知，， ， ， ， 当三点共线时，的最大值为， ， 的最大值为； 故答案为：． 类型三、周长最小——将军饮马 【解惑】如图，在中，，的周长是14，的垂直平分线分别交边于点E、D．若点F为的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据线段垂直平分线性质得，周长，再根据等腰三角形的性质以及勾股定理求出，，即可得出答案． 【详解】解：如图所示．连接，         ∵是的垂直平分线， ∴， ∴周长． 连接， ∵，点F是的中点， ∴， ∴的周长是14，， ∴，， ∴ ∴周长的最小值是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，根据轴对称求线段和最小值等，判断周长的最小值是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，等腰的底边，面积为，点在边上，且，是的垂直平分线，若点在上运动，则周长的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，过点作于点H．证明，求出可得结论． 【详解】解：连接，，过点作于点H． ∵等腰的底边，面积为， ， ∴， ∵， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线解决问题． 2．在等腰三角形中，，，E为上一点，，，交于点D，点F为直线上一点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段最值，平行线的性质，等腰三角形、等边三角形判定与性质，直角三角形性质，勾股定理，二次根式的化简等知识，正确作出辅助线是解决线段最值问题的关键． 延长至，使得于点，延长至点，使得，当点、、三点共线时，由两点之间线段最短可知，最短．由为等腰三角形、，可推出，从而知．连接，可证为等边三角形，，在中用勾股定理计算，然后即可求解． 【详解】解：延长至，使得于点，延长至点，使得，如图所示： ， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即当点、、三点共线时，由两点之间线段最短可知，最短， 且最小值为， ∵，， ∴， 过于，则，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，则， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴周长的最小值为， 故答案为：； 3．如图，等腰三角形的底边的长为，面积为，腰的垂直平分线分别交，于点，．若为底边的中点，为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的周长最值问题，结合等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及中点的相关属性进行分析． 连接交于点，连接，依据要三线合一的性质可证明为底边上的高线，依据三角形的面积为可求得的长，由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当A、M、D在一条直线上时，有最小值，由此可解． 【详解】解：如图，连接交于点，连接． 是等腰三角形，D是的中点，， ，， ， 解得． 是线段的垂直平分线， ， ， 当点M位于点处时，取得最小值，最小值为的长度． 的周长为， 其最小值为． 故答案为：． 类型四、周长最小——双对称 【解惑】如图，在等腰中，，点是的中点，分别是边上的动点，连接，则的周长最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握运用轴对称求最值的方法成为解题的关键． 由等腰直角三角形的性质可得、，如图：作D关于直线的对称点，作D关于直线的对称点，则；进而得到当共线时，的周长最小，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵等腰中，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 如图：作D关于直线的对称点，作D关于直线的对称点， ∴， ∴，， 由的周长为，则当共线时，的周长最小， ∵，， ∴． 故选A． 【融会贯通】 1．如图，，点M，N分别是射线，上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、于点、，连接、，则可得；再证明，从而可得出是等边三角形，由等腰三角形的“三线合一“性质可得，求得的值，由，可得的值，设，则，，由勾股定理可得方程，解得x的值，再乘以2即可． 【详解】解：设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，，，分别交、于点、，连接、，如图所示： ∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D， ∴，，；，，， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当M在点，N在点时，最小，即的周长最小， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴， 即当的周长取最小值时，的长为． 故选：B． 2．如图，已知，在的内部有一点，为上一动点，为上一动点，，则的周长最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的判定和性质，分别作点关于，的对称点，， 连接，分别交，于点、点 ，连接、，由轴对称可得，，，，，，进而得到，，由此推导出为等边三角形，即可求解，解题的关键是根据轴对称找到最短的路线． 【详解】解：如图所示，分别作点关于，的对称点，， 连接，分别交，于点、点 ，连接、，则此时的周长最小， 连接、， ∵点关于对称， ∴，，， 同理可得，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长， 根据两点之间，线段最短，可知此时的周长最小， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 3．如图，内部有一定点，若点分别是射线上异于点的动点． （Ⅰ）在射线上 （填“是”或“否”）存在点，使的周长有最小值； （Ⅱ）当周长的最小值是2时，则的度数是 ． 【答案】 是 30 【分析】本题考查了轴对称称最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题． （Ⅰ）作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，利用轴对称的性质得，利用两点之间线段最短判断此时周长最小为； （II）由（Ⅰ）可得是等边三角形，进而可得的度数． 【详解】解：（I）在射线上是存在点，，使的周长有最小值；作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，连接，，此时周长最小为． 故答案为：是； （II）如图，∵周长最小为， 根据轴对称的性质，得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， 故答案为：30． 类型五、两动一定 【解惑】如图，在中，，，面积是10．的垂直平分线分别交，于点E，F．若点为上的动点，点P为上的动点，则的最小值是（   ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短、垂线段最短，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当点共线，且时，的值最小，最小值为的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，连接，    ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 由两点之间线段最短、垂线段最短可知，当点共线，且时，的值最小，最小值为的长， ∵在中，，面积是10， ∴此时， ∴， 即的最小值是5， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，等腰中，垂直平分，交于点．若点为上一动点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据题意，结合“将军饮马”问题的求解方法步骤，利用对称性求解即可得到答案．本题考查动点最值问题-将军饮马问题，涉及中垂线性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，熟练掌握将军饮马问题求动点最值的方法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 垂直平分，交于点， ， ， 根据点到直线的距离最短是垂线段长，可知当三点共线，时，有最小值， 等腰中，，，点为的中点， 由等腰三角形“三线合一”可知，，，则， 当三点共线，时，有最小值，为， 故选：． 2．如图，在中，，平分，交于点D，点M，N分别为，上的动点，若，的面积为6，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了轴对称，最短路线，垂线段的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，首先连接，过点A作于点H，再根据等腰三角形的性质得是线段的垂直平分线，从而得，则，然后根据“垂线段最短”得，据此可得出当点M在线段上时，为最小，最小值为线段的长，最后根据三角形的面积求出即可． 【详解】解：连接，过点A作于点H，如图： ∵，平分， ∴且平分， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 根据“垂线段最短”得：， 即当点M在线段上时，为最小，最小值为线段的长， ∵的面积为6，， ∴， ∴， ∴的最小值为3． 故答案为：3 3．如图，中，，，，平分．M、N分别是上的点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，垂线段最短，勾股定理等等，在上截取，连接，易证明，得到，则，故当三点共线，且时，最小， 即此时最小，最小值即为的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，最小， 即此时最小，最小值即为的长， ∴此时， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 类型六、斜中最值 【解惑】如图，中，，线段的两个端点D、E分别在边上滑动，且，若点M、N分别是的中点，则的最小值为（　　）    A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质．如图，连接，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值，根据三角形斜边中线的性质求得，，即可求得的最小值． 【详解】解：如图，连接，则当C，M，N三点在同一条直线上时，取最小值，    ∵，，，点M、N分别是的中点， ∴， ∴的最小值为． 故选：B 【融会贯通】 1．如图，已知点P是平分线上的一点，，，M是的中点，．若点C是上一个动点，则的最小值为（　　）． A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据垂线段最短可得：当时，的值最小，先利用角平分线的定义可得，再利用角平分线的性质可得，然后在中，利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而利用含30度角的直角三角形的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图： ∵垂线段最短， ∴当时，的值最小， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 在中，M是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，度角所对的直角边等于斜边的一半，角平分线的性质，垂线段最短，解题的关键是找出最小时，点C的位置． 2．如图，已知，且，，，点D、F分别在上滑动．点M是的中点，点N是的中点，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查三角形三边关系，直角三角形斜边的中线，全等三角形的性质，关键是由三角形三边关系定理得到．连接，由勾股定理求出，由全等三角形的性质推出，由直角三角形斜边中线的性质推出，，由三角形三边关系定理得到，即可得到的最小值． 【详解】解：连接， ，，， ， ， 点M是的中点，点N是的中点，， ，， 由三角形三边关系定理得到：， 的最小值是 故答案为： 3．如图，中，，，，点D在边上运动，以为边向右边作等边三角形，连接，则长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】取中点H，连接，由“”可知，可得，由垂线段最短可得当时，有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，取中点H，连接， ∵，点H是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，当时， ∵， ∴有最小值为， ∴的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 类型七、数形结合最值 【解惑】代数式的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最短路径问题，勾股定理，理解转化思想是解题的关键． 先根据两点之间的距离公式，把代数式转化为最短路径问题，再根据勾股定理求解． 【详解】解：∵ ∴代数式表示点到和的距离的和，点是轴上的动点， 如图所示，作关于轴的对称点，连接，就是所求的最短路径， ∴ ∴代数式的最小值是． 故选：B． 【融会贯通】 1．已知均为正数，且，则的最小值是（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是构造图形，作于点B，于点C，交延长线于点E，，，，，，根据矩形的性质得出，，根据勾股定理得出，，根据两点之间线段最短，求出结果即可． 【详解】解：构图如下，其中于点B，于点C，交延长线于点E，，，，，， 则四边形是矩形，，， 由勾股定理可知：， ， ∵， ∴的最小值为， 在中，， 由勾股定理，得， ∴的最小值是． 故选A． 2．已知，则A的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是根据代数式的几何意义，利用数形结合思想转化为求最值问题．构造长方形，，，在上取点，使，则，延长至点，使，则可以看作两直角边分别是和5的的斜边长，可以看作两直角边分别是和3的的斜边长，则的最小值，即是的最小值，当、、三点共线时，最小，即A最小，最小值为，求解即可． 【详解】解：如图，构造长方形，，，在上取点，使，则， 延长至点，使， 则可以看作两直角边分别是和5的的斜边长，可以看作两直角边分别是和3的的斜边长， 则的最小值，即是的最小值， 当、、三点共线时，最小，即A最小，最小值为， 此时， 故答案为：． 3．阅读理解：勾股定理是几何学中的明珠，结合数形结合思想，经常在解决最值问题时起到化腐朽为神奇的作用． 例题：求代数式的最小值． 解决问题时，我们可以如图构造图形，中，，，，则，延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，，则，由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长，最后过点E作的垂线，垂足为点F，利用勾股定理即可求出的长为15，进而解决问题． 类比如上方法，求的最小值为 ． 【答案】10 【分析】借鉴已知解题方法，构造，和，令，，，，则长即为的最小值． 本题考查矩形的性质，线段的最值和勾股定理，利用类比思想，借鉴题目的求解方法是解题的关键． 【详解】解：如图构造图形，中，，，， 则， 延长至点D，使，过点D作的垂线，在下方的垂线上截取，连接，， 则， 由两点之间线段最短可知，最小值即为线段的长， 过点E作的垂线，垂足为点F， 根据勾股定理得， ∴的最小值为10． 故答案为：10． 类型八、手拉手最值 【解惑】如图，在中，以为边作，，点与点A在的两侧，则下列结论中正确的是（   ） A．有最小值，也有最大值 B．没有最小值，也没有最大值 C．若，，则的最小值为8 D．若，，则的最大值为8 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接，由勾股定理可得，再证明可得，然后再根据三角形的三边关系确定的最大值即可解答． 【详解】解：如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 当A，D，E三点共线时，有最大值， 的最大值，故选项D正确． 故选D． 【融会贯通】 1．动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，利用全等三角形的判定定理准确找出图中的全等三角形是解题的关键． 如图，分别连接，，作，交的延长线于，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到、；再证明，则，利用等腰三角形的三线合一性质得到，从而得到，，，四点共圆，利用圆中最长的弦为直径得到当取最大值时，则等于直径，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，分别连接，，作，交的延长线于， 和是等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， 点为中点， ， ， ， ，，，四点共圆， 当取最大值时，则等于直径， 为直径， ， 四边形为矩形， ， ， 点在上， 于， ，两点重合，此时为中点，， ． ， ． 故选：C． 2．如图，在中，点为的中点，为外的一动点并且满足，连若，则的最大值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，中位线，直角三角形斜边中线，根据三角形的三边关系得出三点共线时最大是解题关键． 先利用勾股定理求出长度，再利用直角三角形斜边中线定理，进行求解即可． 【详解】解：如图所示，当点在同一条直线上时，最大， ∵， ∴， ∵，，点为的中点， ∴， ∴， 故答案为：10． 3．如图，和为等腰直角三角形，将绕点顺时针旋转，连接，，点为直线，的交点．若，，则 ，在旋转过程中，的最大值为 ． 【答案】 45 / 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，，得出，根据求出结果即可；根据，且当、A、D三点共线时等号成立，得出． 【详解】解：∵和为等腰直角三角形， ∴，，，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； ∵将绕点顺时针旋转，，且当、A、D三点共线时等号成立， 又∵，， ∴的最大值为：． 故答案为：45；． 类型九、面积最大 【解惑】如图，已知在菱形中，，、分别是射线和上的两个点，，以下个结论：①；②是等边三角形；③；④，，若，则面积的最大值为．其中正确的个数有(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查菱形性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，面积最值问题，作出正确的辅助线及熟练掌握图形判定性质是解决本题的关键．连接，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明，根据全等三角形的性质，进而判断①②③，根据垂线段最短，当正三角形的边与垂直时，边最短，进而计算，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 四边形为菱形，， ，， 和为等边三角形， ，， ，即 又 在和中 ， ，；故①正确 是等边三角形，故②正确； 四边形为菱形， ， ，故③正确； ④由“垂线段最短”可知：当正三角形的边与垂直时，边最短 的面积会随着的变化而变化，且当最短时，正三角形的面积会最小， 又，正三角形的高为 的面积则此时的面积就会最大． ，故④正确； ∴正确的结论为：①②③④． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（ ） A．8 B． C． D．6 【答案】A 【分析】取的中点，连接，得出，进而证明得出，结合已知条件得出，进而可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴当时，取得最大值，即的最大值是． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，等腰三角形性质与判定，垂直平分线的性质与判定，得出是解题的关键． 2．如图，在中，，点D是上一动点（点D与点B不重合），连接，作B关于直线的对称点E，当点E在的下方时，连接，则面积的最大值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称性质、垂线段最短、三角形的面积等知识，能得出当时面积最大是解答的关键． 在点的运动过程中，点，关于对称，，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当时，点到的距离最大，的面积最大．在中利用面积公式求出，再求，可得的面积． 【详解】解：在点的运动过程中，点，关于对称， ， 点在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 当时，点到的距离最大， 的面积最大． ， ． ． ． 故答案为：4． 3．如图，中，，，，点为斜边上一任意点，连接，将点关于直线作轴对称变换得到点，连接，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称，垂线段最短，作交的延长线于点H，则，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：作交的延长线于点H，则． ∵点B关于直线作轴对称变换得到点 E， ∴， ∴． 故答案为：． 类型十、其他最值 【解惑】如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，再以为直角边，为直角，在同侧作，点为中点，连接，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】连接，，过点作交直线于点，利用直角三角形斜边中线定理得到，根据等边三角形的性质得到，，得出垂直平分，进而得出，利用含30度角的直角三角形得到，最后利用垂线段最短即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接，，过点作交直线于点， ∵在中，，点为中点， ∴， ∵等边， ∴，， ∵，， ∴垂直平分， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为4． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的判定、垂线段最短，添加适当的辅助线证出平分是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，是边长为6的等边三角形，点E在上且，点D是直线上一动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到线段，连接的最小值是（　　） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】过点E作交于M，在的延长线上取点N，使，连接交于H，则可得，从而，从而易得，即点F在直线上运动；过点A作于G，当F与G重合时，取得最小值，利用含角直角三角形的性质即可求得最小值． 【详解】解：如图，过点E作交于M，在的延长线上取点N，使，连接交于H； 则； 由题意知，， ∴； ∵， ∴， ∴，； 设直线交于点H； ∵是等边三角形， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴，， 由勾股定理得：， ∴，； ∵， ∴， 即，即点F在垂直于的直线上运动； 过点A作于G，当F与G重合时，取得最小值， 在中，， 则， 即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，确定点F的运动路径是解题的关键． 2．如图，在中，，为上一点，且为等边三角形，．点是边上的一个动点，连结，以为边在左侧作一个等边，连结．在整个运动过程中，的最小值是 ． 【答案】1 【分析】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等，理解题意，作出辅助线，确定运动轨迹是解题关键． 连接，证明，可得，由此得出在整个运动过程中，最小时，最小，根据点到直线，垂线段最短，可知，当时，最短，进一步证明当时，、、三点共线，求出此时，，即最小值为1，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∴，即， ∵、为等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴在整个运动过程中，最小时，最小， 根据点到直线，垂线段最短， 当时，最短，如图3所示，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴当时，、、三点共线， ∵， ∴， ∴，即最小值为1，故最小值为1． 故答案为：． 3．在解决“当时，求代数式的最小值”这个问题时，我们可以将看作是一个以和3为直角边的的斜边的长，再将延长至，使得，以为斜边构造如图所示的，则为的长．于是将问题转化为求的最小值．利用上述方法，这个代数式的最小值是 ；请运用此方法解决问题：当时，的最小值是 ． 【答案】 16 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质， 先根据三点共线时最小，再根据等腰直角三角形的性质得出答案；将原式整理为，画出图形，我们将看作是一个以x和为直角边的的斜边长，再将延长至C，使得，以为斜边构造的，则为的长，将问题转化为求的最小值，然后根据直角三角形的性质和勾股定理可得答案． 【详解】解：当点A，P，D三点共线时最小， 此时， ∴， ∴， 根据勾股定理，得，， 则， ∴． 这个代数式得最小值是； 根据题意，得， 如图所示，我们将看作是一个以x和为直角边的的斜边长，再将延长至C，使得，以为斜边构造的，则为的长，将问题转化为求的最小值. 当点A，P，D三点共线时最小， 此时，则， ∴， 根据勾股定理，得， 即， 解得则， ∴. 在中，， ∴， ∴． 这个代数式得最小值是16． 故答案为：；16． 6 学科网（北京）股份有限公司 $