精品解析：湖南省多校联考2024-2025学年八年级下学期作业（一）数学试题

湖南省2025年八年级（下）作业（一） 数学（湘教版） 考生注意： 1.本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，时量120分钟，满分120分． 2.请在答题卡上作答，答在试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各组线段能构成直角三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故选项A不符合题意； B、，故选项B符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：B． 2. 如图，某研究性学习小组为测量学校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选一点，利用仪器测得，，．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形的性质，先利用直角三角形的性质得出度数，进而利用直角三角形中所对直角边是斜边的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴． 故选：D． 3. 两个直角三角形如图放置，则与的度数之和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形的两锐角互余的性质与平行线的性质与判定．首先根据直角三角形的两锐角互余，求得与的度数，由，可得，可求得的度数，问题则可得解． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4. 若是直角三角形，且，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据，且，则，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 即 故选：D． 5. 如图，在中，，的平分线交于点D，，则点D到的距离是（ ） A. 6 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过作于，根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵，的平分线交于点D，， ∴， ∴点D到的距离是3； 故选C． 【点睛】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到的距离即为长是解决的关键． 6. 如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是( ) A. AC＝AD B. AC＝BC C. ∠ABC＝∠ABD D. ∠BAC＝∠BAD 【答案】A 【解析】 【分析】由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的条件为一对直角边相等，即BC=BD或AC=AD. 【详解】解： 需要添加条件为：BC= BD或AC= AD,理由为: 若添加的条件为：BC= BD 在Rt△ABC与Rt△ABD中,   ∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL) ; 若添加的条件为：AC=AD 在Rt△ABC与Rt△ABD中, ∴Rt△ABC≌Rt△ABD( HL). 故选：A. 【点睛】本题考查了利用HL公理判定直角三角形全等，熟练运用HL公理是解题的关键 7. 如图，在中，CD是斜边AB上的中线，若，则的度数为（ ） A. 26° B. 48° C. 52° D. 64° 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上中线定理得出CD＝AD，求出∠DCA＝∠A，根据三角形的外角性质求出求出即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线， ∴BD＝CD＝AD， ∴∠A＝∠DCA＝26°， ∴∠BDC＝∠A+∠DCA＝26°+26°＝52°． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质，能求出BD＝CD＝AD和∠DCA的度数是解此题的关键． 8. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高十丈，末折抵地，去根九尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高十丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根9尺．若设折断处离地面的高度为x尺，则可以列出关于x的方程为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设折断处离地面的高度为x尺，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺， 由题意得，， 故选：C． 9. 嘉淇在折幸运星时将一张长方形的纸条折成了如图所示的样子（内部有一个正五边形），则∠1的度数为（ ） A 36° B. 54° C. 60° D. 72° 【答案】D 【解析】 【分析】根据正五边形每个内角为108°，根据长方形纸片对边平行，再根据两直线平行，同旁内角互补可求解． 【详解】∵折的图形为正五边形， ∴∠2= =108°， 又∵长方形纸片对边平行， ∴∠1+∠2=180°， ∠1=180°-∠2=180°-108°=72° 故选D． 【点睛】本题考查折纸中角的度数，熟练掌握正五边形每个内角的度数，平行线的性质是解决本题的关键． 10. 如图，，平分，下列结论∶① 平分；②；③；④．其中正确的有（ ） A. ①③ B. ③④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． 根据平行线的性质及各角之间的等量代换得出，再由角平分线及等量代换可判断①；根据全等三角形的判定和性质可判断②和④；利用三角形面积的关系可判断③，即可得出结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 平分， ， ∴ 平分，故①正确； 在上截取，连接， 在和中， ∴ ， 在和中， ，， 故②不正确，④正确； ， ∴， 故③正确； 故选：C． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 一个三角形的三个内角的度数的比为，这个三角形是______三角形 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形类别，解答此题应明确三角形的内角度数的和是，求出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型． 【详解】解：， 这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 12. 正十边形一个外角的度数是________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角．根据正n多边形的外角公式求解即可． 【详解】解：正十边形的一个外角的大小是， 故答案为：． 13. 如图，是的高，．若，则的度数是______． 【答案】##32度 【解析】 【分析】根据同角的余角相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的高，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了余角的性质，熟练掌握同角（或等角）的余角相等是解题的关键． 14. 如图，中，，，BD是的平分线，,______________． 【答案】 【解析】 分析】利用已知条件求出，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，BD是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查角平分线，等角对等边，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是求出，，再利用勾股定理求解． 15. 如图，在数轴上，以单位长度为边长画正方形，以正方形对角线长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴，首先求出正方形对角线的长度，再根据点A在数轴上的位置，确定点A表示的数，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键． 【详解】∵正方形的边长为1， ∴正方形对角线的长度， ∴点A表示． 故答案为：． 16. 2002年在北京石开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．如图，弦图是由四个能够重合的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若，，则小正方形的面积为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理．利用勾股定理求得的长，再利用小正方形面积计算即可求解． 【详解】解：在，，，， ∴， ∴小正方形面积， 故答案为：4． 17. 如图，，点是的平分线上一点，交于点，于点，若，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线可知，根据，可知，可得等腰三角形，过点作于，可得矩形，在中，根据特殊角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵点是的平分线上一点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，且， ∴， 如图所示，过点作于， ∵，， ∴， ∴，且， ∴四边形是矩形，则， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角平分线，特殊四边形，特殊角的直角三角形的综合，掌握角平分线的性质，矩形的性质，特殊角的直角三角形中所对直角边是斜边的一半是解题的关键． 18. 如图，在中，，，线段的两个端点分别在边上滑动，且．若分别是的中点，则的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，明确在同一直线上时，取最小值是解题的关键．根据三角形斜边中线的性质求得，，由当在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为3． 【详解】解：如图，连接， 中，， ，点分别是的中点， ， 当在同一直线上时，取最小值， 的最小值为：． 故答案为：3． 三、解答题：本题共2小题，共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知一个多边形的内角和比外角和的4倍还多，求这个多边形的边数． 【答案】11 【解析】 【分析】考查了多边形内角与外角，任何多边形的外角和都是360度，不随边数的变化而变化．设这个多边形的边数是n，依题意得，解方程即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，依题意得， ， ， ， ∴这个多边形的边数是11． 20. 如图，在四边形ABCD中，AD⊥BD，BC＝4，CD＝3，AB＝13，AD＝12，求证：∠C＝90°． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据勾股定理的逆定理，即可证明CD⊥BC． 【详解】证明：∵AD⊥BD，AB＝13，AD＝12， ∴BD＝5． 又∵BC＝4，CD＝3， ∴CD2+BC2＝BD2． ∴∠C＝90° 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 四、解答题：本题共2小题，共16分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 如图，已知中，点是底边的中点， ，，垂足分别是， （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由等边对等角可得，再证明即可求证； （）由得，再证明为等边三角形的，根据等边三角形的性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵点是底边的中点， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵点是底边的中点， ∴， ∵，， ∴为等边三角形的， ∴的周长． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB． （1）求∠B的度数： （2）求证：BC＝3CE． 【答案】（1）∠B=30°；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质得到∠ECF＝∠CAF，求得∠CAD＝2∠DCB，由CD是斜边AB上的中线，得到CD＝BD，推出∠CAB＝2∠B，于是得到结论； （2）根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵AE⊥CD， ∴∠AFC＝∠ACB＝90°， ∴∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠ECF＝90°， ∴∠ECF＝∠CAF， ∵∠EAD＝∠DCB， ∴∠CAD＝2∠DCB， ∵CD是斜边AB上的中线， ∴CD＝BD， ∴∠B＝∠DCB， ∴∠CAB＝2∠B， ∵∠B+∠CAB＝90°， ∴∠B＝30°； （2）∵∠B＝∠BAE＝∠CAE＝30°， ∴AE＝BE，CE＝AE， ∴BC＝3CE． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用直角三角形的性质进行边角关系的推导． 五、解答题：本题共2小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 如图，一架5米长的梯子AB斜靠在一面墙上，梯子底端B到墙底的垂直距离BC为3米． （1）求这个梯子的顶端A到地面的距离AC的值； （2）如果梯子的顶端A沿墙AC竖直下滑1米到点D处，求梯子的底端B在水平方向滑动了多少米？ 【答案】（1）4（2）1 【解析】 【分析】（1）在直角三角形ABC中，利用勾股定理即可求出AC的长； （2）首先求出CD的长，利用勾股定理可求出CE的长，进而得到BE=CE-CB的值． 【详解】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+CB2=AB2， 即AC2+32=52， 所以AC=4（米）， 即这个梯子顶端A到地面的距离AC为4米； （2）DC=4-1=3（米），DE=5=m， 在Rt△DCE中，由勾股定理得DC2+CE2=DE2， 即32+CE2=52， 所以CE=5（米）， BE=CE-CB=4-3=1（米）， 即梯子的底端B在水平方向滑动了1米． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变这一关系进行求解是解题的关键． 24. 如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）可先根据已知条件证明，得到，再结合,，根据角平分线判定定理，即可证明； （2）先证明，得到，所以，结合条件，代入即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵, ∴, 又∵ ∴ ∴ 又∵, ∴点在的角平分线上 ∴平分 （2）解：∵ ∴ 又∵，， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 【点睛】本题考查角平分线的判定定理，直角三角形的全等判定，正确理解题意是解题关键． 六、综合与实践：本题共2小题，共20分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 25. 著名的“赵爽弦图”如图（1）所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则． （1）图（2）为美国第20任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图（2）推导勾股定理． （2）如图（3），在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米． 【答案】（1）见解析 （2）千米 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，完全平方公式，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据股定理列方程，解得即可得到结果； 【小问1详解】 解：∵， ， ∴， 即； 小问2详解】 解：设千米，则千米． 在中，，即， 解得：， 即千米，（千米）． ∴新路比原路短千米． 26. 在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G． （1）若∠BAC=50°，求∠AEB的度数； （2）求证：∠AEB=∠ACF； （3）试判断线段EF、BF与AC三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）20°；（2）证明见解析；（3）EF2+BF2=2AC2．理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的旋转得出∠ABE=∠AEB，求出∠BAE，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出∠BAF=∠CAF，根据SAS推出△BAF≌△CAF，根据全等得出∠ABF=∠ACF，即可得出答案； （3）根据全等得出BF=CF，求出∠CFG=∠EAG=90°，根据勾股定理求出EF2+BF2=EF2+CF2=EC2，EC2=AC2+AE2=2AC2，即可得出答案． 【详解】（1）∵AB=AC，△ACE是等腰直角三角形， ∴AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB， 又∵∠BAC=50°，∠EAC=90°， ∴∠BAE=50°+90°=140°， ∴∠AEB=（180°-140°）÷2=20°； （2）∵AB=AC，D是BC的中点， ∴∠BAF=∠CAF． 在△BAF和△CAF中 ， ∴△BAF≌△CAF（SAS）， ∴∠ABF=∠ACF， ∵∠ABE=∠AEB， ∴∠AEB=∠ACF； （3）∵△BAF≌△CAF， ∴BF=CF， ∵∠AEB=∠ACF，∠AGE=∠FGC， ∴∠CFG=∠EAG=90°， ∴EF2+BF2=EF2+CF2=EC2， ∵△ACE是等腰直角三角形， ∴∠CAE=90°，AC=AE， ∴EC2=AC2+AE2=2AC2， 即EF2+BF2=2AC2． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，有一定的难度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省2025年八年级（下）作业（一） 数学（湘教版） 考生注意： 1.本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，时量120分钟，满分120分． 2.请在答题卡上作答，答在试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各组线段能构成直角三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 如图，某研究性学习小组为测量学校与河对岸工厂之间的距离，在学校附近选一点，利用仪器测得，，．据此，可求得学校与工厂之间的距离等于（ ） A. B. C. D. 3. 两个直角三角形如图放置，则与的度数之和等于（ ） A. B. C. D. 4. 若是直角三角形，且，则必有（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，的平分线交于点D，，则点D到的距离是（ ） A. 6 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是( ) A AC＝AD B. AC＝BC C. ∠ABC＝∠ABD D. ∠BAC＝∠BAD 7. 如图，在中，CD是斜边AB上的中线，若，则的度数为（ ） A. 26° B. 48° C. 52° D. 64° 8. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高十丈，末折抵地，去根九尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高十丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根9尺．若设折断处离地面的高度为x尺，则可以列出关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 嘉淇在折幸运星时将一张长方形的纸条折成了如图所示的样子（内部有一个正五边形），则∠1的度数为（ ） A. 36° B. 54° C. 60° D. 72° 10. 如图，，平分，下列结论∶① 平分；②；③；④．其中正确有（ ） A. ①③ B. ③④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 一个三角形的三个内角的度数的比为，这个三角形是______三角形 12. 正十边形一个外角的度数是________． 13. 如图，是的高，．若，则的度数是______． 14. 如图，中，，，BD是的平分线，,______________． 15. 如图，在数轴上，以单位长度为边长画正方形，以正方形对角线长为半径画弧，与数轴交于点，则点表示的数为______． 16. 2002年在北京石开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．如图，弦图是由四个能够重合的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若，，则小正方形的面积为________． 17. 如图，，点是平分线上一点，交于点，于点，若，则______________． 18. 如图，在中，，，线段的两个端点分别在边上滑动，且．若分别是的中点，则的最小值为________． 三、解答题：本题共2小题，共12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知一个多边形的内角和比外角和的4倍还多，求这个多边形的边数． 20. 如图，在四边形ABCD中，AD⊥BD，BC＝4，CD＝3，AB＝13，AD＝12，求证：∠C＝90°． 四、解答题：本题共2小题，共16分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 如图，已知中，点是底边的中点， ，，垂足分别是， （1）求证：； （2）若，，求的周长． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB． （1）求∠B度数： （2）求证：BC＝3CE． 五、解答题：本题共2小题，共18分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 如图，一架5米长的梯子AB斜靠在一面墙上，梯子底端B到墙底的垂直距离BC为3米． （1）求这个梯子的顶端A到地面的距离AC的值； （2）如果梯子的顶端A沿墙AC竖直下滑1米到点D处，求梯子的底端B在水平方向滑动了多少米？ 24. 如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF． （1）求证：AD平分∠BAC； （2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长． 六、综合与实践：本题共2小题，共20分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 25. 著名的“赵爽弦图”如图（1）所示，若其中四个全等的直角三角形中，较短的直角边为a，较长的直角边为b，斜边为c，则大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a，b，斜边为c，则． （1）图（2）为美国第20任总统加菲尔德“总统证法”，请你利用图（2）推导勾股定理． （2）如图（3），在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米． 26. 在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G． （1）若∠BAC=50°，求∠AEB的度数； （2）求证：∠AEB=∠ACF； （3）试判断线段EF、BF与AC三者之间的等量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $