精品解析：江苏省无锡市大桥实验学校2024-2025学年高一下学期3月阶段性检测数学试题

高一数学练习20250319 姓名： 一、单选题 1. 在中，，，若点满足，以作为基底，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，将和分别用和，和表示，代入方程即可求解. 【详解】   如图，因，则，即， 解得：. 故选：A. 2. 已知，与同向的单位向量为，，，的夹角为120°，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量在向量方向上的投影向量的定义表达式计算即得. 【详解】向量在向量方向上的投影向量为. 故选：D. 3. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形ABCD-EFGH的边长为2，P是正八边形ABCD-EFGH八条边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据的位置进行分类讨论，根据向量数量积运算求得正确答案. 【详解】设， 当与重合时，； 当在线段（除）、线段、线段，线段，线段（除）点上运动时， ，所以， 当与重合时，，所以， 以为原点，、分别为轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知，， 则， 直线的方程为，直线的方程为，直线的方程为， 当在线段（除）上运动时，设， 所以， 当在线段上运动时，设， 所以， 当在线段（除）上运动时，设， 所以. 综上所述，的最小值为. 故选：C 4. 在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可得，根据条件求得的值，根据与的大小判断角的大小，从而判断三角形的解的个数． 【详解】由正弦定理可得，若A成立，，，，有， ∴，∴，故三角形有唯一解． 若B成立，，，，有，∴，又， 故，故三角形无解． 若C成立，，，，有 ，∴，又， 故，故可以是锐角，也可以是钝角，故三角形有两个解． 若D 成立，，，，有，∴，由于，故为锐角，故三角形有唯一解． 故选：C． 5. 在△ABC中，设，那么动点M的轨迹必通过△ABC的（ ） A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心 【答案】C 【解析】 【分析】设的中点是，根据题意化简可得，即可确定的轨迹. 【详解】设的中点是， ， 即，所以， 所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心， 故选：C. 6. 已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件结合两角和的正切公式及诱导公式可求出角，再利用正弦定理可得，结合角的范围可得，从而可求出面积的取值范围 【详解】因为， 所以. 因为，所以. 由正弦定理得. 由于为锐角三角形， 故，. 所以. 所以. 所以. 故选：D. 7. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理、两角和的正弦公式，结合诱导公式进行求解判断即可. 【详解】因为， 所以 ， 所以 则，即，故. 因为，， 所以， 当时，所以或. 若，则. 若，则. 当时，（舍去）， 因此的形状为直角三角形. 故选：C 8. 如图，在等腰中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合图形中线段对应向量的线性关系，可得，又，且，，可得关于的函数关系式，由二次函数的性质即可求的最小值. 【详解】在等腰中，已知则，因为别是边的点，所以，而，左右两边平方得，又因为，所以，因为，即，所以当时，的最小值为，即的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：应用集合图形中线段所代表向量的线性关系表示出，结合已知条件转化为关于的函数关系式，利用二次函数的性质求解最小值. 二、多选题 9. 已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若是锐角三角形，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若是等边三角形，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质可判断A，由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B，由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C，利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断D. 【详解】对于A，因为是锐角三角形，所以，所以，即，故A正确； 对于B，由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，由及正弦定理化边为角，可知，即，因为为的内角，所以，所以是等腰三角形，故C正确； 对于D，由是等边三角形，所以，所以，由正弦定理，故D正确. 故选：ACD. 10. 如图直线l过△ABC的重心G（三条中线的交点），与边AB、AC交于点P、Q，且，，直线l将△ABC分成两部分，分别为△APQ和四边形PQCB，其对应的面积依次记为和，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】本题首先可根据是的重心得出，然后根据、得出，再然后根据、得出，最后根据基本不等式得出，即可得出结果. 【详解】因为是的重心，所以， 因为，，所以， 因为、、三点共线，所以，，A错误，B正确， 因为，， 所以，，， 因为，，所以， 即，，当且仅当时取等号， 故，C正确，D错误. 故选：BC. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若非零向量，且，则为等边三角形 B. 已知，且四边形为平行四边形，则 C. 已知正三角形的边长为，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为1 D. 已知向量，则与夹角的范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用单位向量以及向量数量积的定义可判断A；利用向量的加法运算可判断B；利用向量的加、减运算可判断C；由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，由向量夹角定义可判断D. 【详解】A，因为非零向量，所以的平分线与垂直， 为等腰三角形，又，所以， 所以为等边三角形，故A正确； B，, ， 在平行四边形中，有， 所以原式，故B错误； C，设正三角形内切圆半径， 由面积相等可得， 解得，令的中点为，从而, 则，, 两式平方作差可得, 即，若要使最大，只需最大 由于为的中点，也为圆与的切点，所以的最大值为， 所以，故C正确； D，设，， 所以，， 所以， 即在以为圆心，为半径的圆上， 如图： ，所以， 当与圆在下方相切时，与夹角最小，此时为， 当与圆在上方相切时，与夹角最大，此时为， 所以与夹角的范围是，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题考查了向量的数量积定义、向量的加减法以及向量的夹角，解题的关键是是将向量问题转化为平面几何问题，利用圆的性质求解，考查了转化思想、数学运算、数学建模，此题是向量的综合题目. 三、填空题 12. 某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为，则塔高__________m. 【答案】 【解析】 【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在中，由正切函数的定义即可求得，由此解答即可. 【详解】因为在中，，，， 所以， 由正弦定理得，即，解得， 在中，，所以， 故塔高. 故答案为：. 13. 如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为___________ 【答案】. 【解析】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，求得，设，令，得出，利用数量积的运算得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意得 在中，由余弦定理得， 所以，所以， 由，所以， 在中，由余弦定理得， 所以，所以， 在中，，所以为等边三角形， 所以，所以， 设，由题意令，即， 解得，所以， 所以， 设，可得其对称轴为，且开口向上， 所以时，取得最小值，即的最小值为. 故答案为：. 14. 如图，某商场内有一家半圆形时装店，其平面图如图所示，O是圆心，直径MN为24米，P是弧的中点．一个时装塑料模特A在OP上，．计划在弧上设置一个收银台B，记，其中 （1）则_________（用表示）： （2）若越大，该店店长在收银台B处的视线范围越大，则当店长在收银台B处的视线范围最大时，AB的长度为________米． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和两角和的余弦公式求解即可； （2）换元后，构造函数，再由二次函数的性质求出最大值，根据余弦定理求解长度即可. 【详解】（1）因为是P是弧的中点，所以. 因为，所以，则米. 由题意知，在中，设，则， 由，得， 则，则. 故答案为： （2）设. 令，则. 令， 当，即，取得最大值. ，即的最大值为. 因为函数在上单调递增，所以当取得最大值时，也取得最大值， 店长在收银台B处的视线范围最大，此时. 故当视线范围最大时，米. 故答案为： 【点睛】本题属于解三角形问题和二次函数最值问题的结合，解题难点在于正确换元构造函数，再利用二次函数的性质求最值.另外，正余弦定理和三角恒等变换等知识也必须熟练掌握，才能很好理解和计算本题. 四、解答题 15. 在中，，，分别是内角，，的对边，已知，，. （1）求的面积； （2）若是边上一点，且，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用正弦定理将角化边，即可得到，再利用余弦定理求出，最后根据面积公式计算可得； （2）首先求出，即可得到，，再根据，利用余弦定理得到方程，解得即可； 【小问1详解】 解：因为，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，所以，又，所以，所以 【小问2详解】 解：由（1）可知，解得，因为，所以，，由，即，所以，解得 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）, 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将角化边可得，再利用余弦定理即求； （2）由题可得，再根据三角形为锐角三角形，得到角的取值范围，进而即可求出的取值范围. 【小问1详解】 由，得 ，即， ∴，又， ∴； 【小问2详解】 ∵， 又为锐角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故的取值范围为. 17. 已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行． （1）甲船航行3小时到达C处，求AC； （2）在A海岛西偏南方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由． 【答案】（1）海里； （2） 甲船能沿DE方向航行前往救援，理由如下： 如图所示，延长，过点A向正东方向作交的延长线于点D，连接，过点A作 交于点F， 在中，(海里)， 在中， (海里)， ， 由余弦定理得 ， 所以(海里)， 所以， 因此甲船能沿方向航行前往救援. 【解析】 【分析】（1）在中使用余弦定理即可求得答案. （2）先根据题目所给的条件作图，在中，由求得长度，在中，先根据余弦定理求得长度，再利用等面积法求得长度，即可判断. 【小问1详解】 由题意得，海里，海里，， 在中，由余弦定理得 ， 所以，(海里). 【小问2详解】 略 18. 如图，，是单位圆上的相异两定点为圆心，且为锐角点为单位圆上的动点，线段交线段于点. （1）求结果用表示； （2）若 . ①求的取值范围； ②设，记，求函数的值域. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积运算法则，结合转化法即可得解； （2）①设，利用向量的数量积运算法则，结合三角恒等变换将所求转化为关于的表达式，从而得解； ②设，利用向量的线性运算得到，从而将转化为含有的代数式，换元后借助于函数单调性求得函数的值域，由此得解. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 ①. 设，又，所以， 则 所以 ， 因为，则， 所以，则 故； ②设， 则， 所以，由得， 即，整理得， 所以， 所以. 所以. 令， ， ，令， 则， 因为， 则，即， 所以在上单调递增，则， 所以的取值范围是. 19. 设，我们常用来表示不超过x的最大整数.如：，. （1）已知的两根是，，.求的值； （2）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则的最小值为m，求的值. （3）已知，，若对，，使不等式成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）3 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）直接解出方程，再根据的定义即可得到答案； （2）由正弦定理边化角及三角恒等变换化简可得与用的代数式表示，代入所求式子中结合基本不等式求解即可. （3）将转化为关于的二次函数在上求其最大值，进而将问题转化为在上恒成立，运用分离参数可得在上恒成立，进而由函数单调性性质判断单调性求其最大值，结合函数单调性定义判断的单调性求其最小值即可. 【小问1详解】 ，解得， 因为，即，则. 【小问2详解】 由已知得，， 又因为 ， 所以， 所以，即， 所以， 即， 所以， 所以， 又因为为锐角三角形，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 因此的最小值. 又，因此. 【小问3详解】 ， 当时，，故，故 因为对，使不等式成立， 故在上恒成立， 故在上恒成立，而在上恒成立， 故在上恒成立， 设，， 因为在上均为增函数，故，为增函数， 故， 设， 设， 则， 而，故，故， 即，故为减函数， 故，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学练习20250319 姓名： 一、单选题 1. 在中，，，若点满足，以作为基底，则等于（    ） A. B. C. D. 2. 已知，与同向的单位向量为，，，的夹角为120°，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形ABCD-EFGH的边长为2，P是正八边形ABCD-EFGH八条边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. D. 4. 在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 在△ABC中，设，那么动点M的轨迹必通过△ABC的（ ） A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心 6. 已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则△ABC的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定 8. 如图，在等腰中，已知分别是边的点，且，其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（ ） A. 若是锐角三角形，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若是等边三角形，则 10. 如图直线l过△ABC的重心G（三条中线的交点），与边AB、AC交于点P、Q，且，，直线l将△ABC分成两部分，分别为△APQ和四边形PQCB，其对应的面积依次记为和，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若非零向量，且，则为等边三角形 B. 已知，且四边形为平行四边形，则 C. 已知正三角形的边长为，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为1 D. 已知向量，则与夹角的范围是 三、填空题 12. 某同学为测量塔的高度，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点与，现测得在点测得塔顶A的仰角为，则塔高__________m. 13. 如图，在平面四边形中，，，，若点为边上的动点，则的最小值为___________ 14. 如图，某商场内有一家半圆形时装店，其平面图如图所示，O是圆心，直径MN为24米，P是弧的中点．一个时装塑料模特A在OP上，．计划在弧上设置一个收银台B，记，其中 （1）则_________（用表示）： （2）若越大，该店店长在收银台B处的视线范围越大，则当店长在收银台B处的视线范围最大时，AB的长度为________米． 四、解答题 15. 在中，，，分别是内角，，的对边，已知，，. （1）求的面积； （2）若是边上一点，且，求的长. 16. 在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． 17. 已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行． （1）甲船航行3小时到达C处，求AC； （2）在A海岛西偏南方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由． 18. 如图，，是单位圆上的相异两定点为圆心，且为锐角点为单位圆上的动点，线段交线段于点. （1）求结果用表示； （2）若 . ①求的取值范围； ②设，记，求函数的值域. 19. 设，我们常用来表示不超过x的最大整数.如：，. （1）已知的两根是，，.求的值； （2）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则的最小值为m，求的值. （3）已知，，若对，，使不等式成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $