精品解析：江苏省沭阳高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

2023~2024学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，，则在上投影向量为（ ） A. B. C. D. 2. 已知a为实数，若复数z＝（a2－1）＋（a＋1）i为纯虚数，则＝（　　） A. 1 B. 0 C. 1＋i D. 1－i 3. 如图，三个相同的正方形相接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知,,则的值为（ ） A. B. C. D. 或 5. 如图， 在△ABC中， P是线段BN上的一点，若 则实数m等于（ ） A. B. C. D. 6. 在复平面内，复数对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则复数所对应的点位于（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，是任意的非零向量，且相互不共线，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 与垂直 C. D. 10. 下列各式中，化简结果为 的是（ ） A. B. C D. 11. 如图，已知圆的内接四边形中， ，，. 下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积为 B. 该外接圆直径为 C. D. 过作交于点， 则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且与 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是___________. 13. 计算的值为______________. 14. 已知坐标平面内 当 取最小值时cos∠APB的值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，复数（其中为虚数单位） （1）当实数m取何值时，复数z是纯虚数； （2）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围. 16 设函数，其中向量，. （1）求的最小值； （2）在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值. 17. 如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动， 且总有， 设，. （1）若，用，表示，； （2）求的取值范围. 18. 某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务，为了保证直升飞机的降落准确、安全，在门诊楼AB 和综合楼CD的楼上安装导航标记，已知两楼的地面距离， 在A，C之间取一导航标志观测点P ，当点P 在AC 中点时，测得两楼顶导航标记的张角 若 （1）求两导航标记距离地面的高度AB、CD； （2）要使在点P 处看两楼顶导航标记的张角最大，点P应在何处? 19. 由倍角公式 ，可知可以表示为的二次多项式.对于，我们有. 可见可以表示为的三次多项式.一般地，存在一个 多项式使得使得 ，这些多项式称为切比雪夫(P. L. Tschebyscheff)多项式. （1）请求出， 即用一个的四次多项式来表示; （2）利用结论，求出的值； （3）证明: . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度第二学期期中考试 高一数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知平面向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的定义结合题意直接求解即可. 【详解】根据投影向量的定义，且， 所以在上的投影向量为. 故选：B. 2. 已知a为实数，若复数z＝（a2－1）＋（a＋1）i为纯虚数，则＝（　　） A. 1 B. 0 C. 1＋i D. 1－i 【答案】D 【解析】 【详解】解析：若z＝（a2－1）＋（a＋1）i为纯虚数，则a2－1＝0，a＋1≠0，则a＝1，则＝＝＝1－i. 3. 如图，三个相同的正方形相接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已有图形分别求、，再求即可. 【详解】由图可知，， 得， 因为，所以. 故选: D. 4. 在中，已知,,则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：,所以,因为,所以,,所以,当时，此时,所以舍去，所以当,代入上式，算得． 考点：1．两角和的三角函数；2．解三角形． 5. 如图， 在△ABC中， P是线段BN上的一点，若 则实数m等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得，然后利用三点共线的推论即可得出答案. 【详解】， ， 因为P、B、N三点共线，所以， 故选：D. 6. 在复平面内，复数对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边逆时针旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则复数所对应的点位于（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由题意公式代入求解即可. 【详解】当时，，， 故. 显然在第二象限. 故选:B 7. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将条件的两个式子平方相加可得，然后可得，再由，，可得，从而可求出，由商式关系可求得. 【详解】由，得， 由，得， 两式相加得，，所以可得， 因为，，所以， 所以，可得. 故选：B 8. 在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换转化为三角函数求范围即可. 【详解】且，, 根据正弦定理得，, 即， 整理得， ，，，解得，， ， ，, 的面积 为锐角三角形，，， ，， ， . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，是任意的非零向量，且相互不共线，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 与垂直 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】A向量无法比大小；B判断数量积是否为0即可；C利用反证法，再计算等式两侧的模，最终转化为判断是否成立；D利用数量积的运算律即可. 【详解】A：向量无法比大小，只有向量的模可以比大小，故A错误； B：， 故与垂直，故B正确； C：假设成立，则， 即， 因，，是任意的非零向量，则， 而均为中的任意数，故不一定成立， 故C错误； D：， 故D正确. 故选：BD 10. 下列各式中，化简结果为 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式判断A、B，利用两角差的正弦公式判断C，利用二倍角公式判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：因为， 所以，故B正确； 对于C： ，故C错误； 对于D： ，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，已知圆的内接四边形中， ，，. 下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积为 B. 该外接圆的直径为 C. D. 过作交于点， 则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出，，进而求出，利用面积公式进行求解；B选项，在A选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；C选项，作出辅助线，利用数量积的几何意义进行求解；D选项，结合A选项和C选项中的结论，先求出∠DOF的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算. 【详解】对于A，连接，在中，， 在中，， 由于，所以，故， 解得， 所以，，所以， 故， ， 故四边形的面积为，故A正确； 对于B，设外接圆半径为，则， 故该外接圆的直径为，半径为，故B错误； 对于C，连接，过点作于点，过点B作于点，则由垂径定理得：， 由于，所以，即， 解得，所以，所以，且， 所以，即在向量上的投影长为1，且与反向， 故，故C正确； 对于D，由C选项可知：，故，且， 因为，由对称性可知：为的平分线，故， 由A选项可知：，显然为锐角， 故，， 所以 ， 所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且与 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是___________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据与 的夹角为锐角，由，且与 不共线解不等式求解. 【详解】因为， 所以， 因为与 的夹角为锐角， 所以，且与 不共线， 所以，且， 解得且. 故答案为：且. 13. 计算值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦的差角公式即可化简求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为:. 14. 已知坐标平面内 当 取最小值时cos∠APB的值为___________. 【答案】## 【解析】 分析】先应用，结合 计算最小值得出，最后应用夹角余弦公式计算求解. 【详解】因为，则， 所以， 所以当时取最小值，此时， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，复数（其中为虚数单位） （1）当实数m取何值时，复数z是纯虚数； （2）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由复数z是纯虚数，列出方程，解得即可得出答案； （2）求出，根据其在复平面内对应点位于第一象限，列出不等式组，即可求出实数m的取值范围. 【详解】解：（1）因为复数z是纯虚数， 所以， 解得：； （2）由已知得， 因为其在复平面内对应的点位于第一象限， 所以， 解得：或 即实数m的取值范围是. 16. 设函数，其中向量，. （1）求的最小值； （2）在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示及倍角余弦公式、辅助角公式可得，再由正弦函数性质求最小值. （2）由题设可得，应用三角形面积公式有，由余弦定理可得，最后由正弦定理，即可求目标式的值. 【小问1详解】 由题设，， 所以，当时的最小值为. 【小问2详解】 由，得：，则，又， 所以，故，则. 由，可得：. 在△中，由余弦定理得：， 所以. 由，则. 17. 如图，扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ，为弧的中点，动点，分别在线段，上运动， 且总有， 设，. （1）若，用，表示，； （2）求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由,结合向量线性运算及平面向量基本定理,即可用,表示,. （2）设,则,即可表示出.结合向量数量积的运算及,即可结合二次函数性质求得的取值范围. 【小问1详解】 由题知，均为等边三角形，所以四边形为菱形. 所以， 因为，，所以， 所以， . 【小问2详解】 因为扇形所在圆的半径为，它所对的圆心角为 ， 所以， 设，则，. 所以， ， 所以 ， 因为， 所以当是，上式取得最小值为；当或时，上式取得最大值为. 所以的取值范围. 18. 某三甲医院开展用直升飞机接送危重病人业务，为了保证直升飞机的降落准确、安全，在门诊楼AB 和综合楼CD的楼上安装导航标记，已知两楼的地面距离， 在A，C之间取一导航标志观测点P ，当点P 在AC 中点时，测得两楼顶导航标记的张角 若 （1）求两导航标记距离地面的高度AB、CD； （2）要使在点P 处看两楼顶导航标记的张角最大，点P应在何处? 【答案】（1） （2）时，张角最大 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形知识可求，利用两角和的正切公式可求； （2）利用两角和的正切公式表示出，利用基本不等式可求答案. 【小问1详解】 由题意,在中，， 所以； 在中，, 在中，, 因为，所以， 所以， 解得，所以. 【小问2详解】 设，则； 在中，, 在中，, 于是 设，则 . 当且仅当时，即时，等号成立； 又恒成立，所以，所以； 由正切函数在上增函数，所以取最大值时，也最大. 当时，张角最大. 19. 由倍角公式 ，可知可以表示为的二次多项式.对于，我们有. 可见可以表示为的三次多项式.一般地，存在一个 多项式使得使得 ，这些多项式称为切比雪夫(P. L. Tschebyscheff)多项式. （1）请求出， 即用一个的四次多项式来表示; （2）利用结论，求出的值； （3）证明: . 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式展开即可； （2）依题意可得，而，平方相加，即可得出，从而求出； （3）令可得，结合即可证明； 【小问1详解】 因为 ， 所以， 由切比雪夫多项式可知，， 即. 令，可知. 【小问2详解】 因为，可得， . 又，所以， 所以， 令，可知， 展开即可得出， 所以，解方程可得. 因为，所以， 所以. 【小问3详解】 因为多项式， 即， 当时，得， 当时，，即，即； 又且， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$