精品解析：广西壮族自治区贵港市“贵百河”联考2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

2023级“贵百河”3月高二年级新高考月考测试 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在电影《哪吒之魔童闹海》中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五人参加一场仙法比试，需要站成一排拍照留念.哪吒和敖丙要求必须相邻，且太乙真人不能站在两端，那么共有多少种不同的站法（ ） A. 18 B. 12 C. 28 D. 24 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如果实数、满足，那么的最大值是（ ） A. B. C. D. 6. “总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符"（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为的右支上一点，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，，公差，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. 1是数列中的项 C. 数列中的最小项为 D. 数列是等差数列 10. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的最小值 B. 与的图象有相同的对称中心 C. 与有相同的最小正周期 D. 当时，与的图象有个交点 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，其一条渐近线方程为，点为的左支上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 到渐近线的距离是 C. 若，则的最小值为 D. 若点为的左支上一点，则的内切圆的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果，，，则的值是________． 13. 在二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数为________．（用数字作答） 14. 若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，为锐角． （1）求； （2）若，求的周长． 16. 如图，正三棱柱中，是棱的中点，，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 17. 已知，函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时，若对任意，恒成立，求实数的最大值． 18. 在平面直角坐标系内，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离少1． （1）求曲线的方程； （2）点在曲线上，若直线斜率存在并与抛物线交于、两点（、异于点）．若，证明：直线过定点． 19. 定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．设数列中，． （1）若，且数列是“数列”，求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由； （3）若数列是“数列”，是否存在正整数，，使，若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级“贵百河”3月高二年级新高考月考测试 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式结合集合的补集及交集定义计算即可. 【详解】集合， 则， 则. 故选：C. 2. 若复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为， 故复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B. 3. 在电影《哪吒之魔童闹海》中，哪吒、敖丙、太乙真人、申公豹、鹿童五人参加一场仙法比试，需要站成一排拍照留念.哪吒和敖丙要求必须相邻，且太乙真人不能站在两端，那么共有多少种不同的站法（ ） A. 18 B. 12 C. 28 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】利用捆绑法结合分类计数原理计算即可. 【详解】若哪吒和敖丙站第1，2位置，则太乙真人在第3或4位置，余下两人站余下位置， 此时有种站法， 同理，若哪吒和敖丙站第4，5位置，亦有8种站法； 若哪吒和敖丙站第2，3位置，则太乙真人在第4位置，余下两人站余下位置， 此时有种站法， 同理若哪吒和敖丙在第3，4位置，亦有4种站法； 合计有24种站法. 故选：D 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出切线的斜率，然后利用点斜式可得所求切线的方程. 【详解】点在曲线上， 由题意，，切线斜率为， 因此，所求方程为，即． 故选：C． 5. 如果实数、满足，那么的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先将题干方程转化为圆的标准方程，则是圆上一点与所在直线的斜率，当直线越陡，斜率越大，即当与圆相切于第一象限时，斜率取得最大值，由此可算出的最大值. 【详解】将满足的方程转化为，发现其是一个圆心在，半径为的圆， 而可看作是圆上一点与所在直线的斜率， 易知当与圆相切于第一象限时，斜率取得最大值，设切线所在直线的倾斜角为， 则，由同角的三角函数关系可得，即斜率最大为， 所以的最大值为. 故选：D. 6. “总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符"（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，共有种不同的领取方案，其中们三人领取的礼品种类都不相同的有种，进而根据古典概型即可得答案. 【详解】根据题意，3名顾客都领取一件礼品，基本事件总数共有：种， 他们三人领取的礼品种类都不相同的基本事件有种， 故根据古典概型公式得他们三人领取的礼品种类都不相同的概率是 故选：A 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为的右支上一点，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理得出，利用连比定理结合双曲线的定义可求得双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示： 由正弦定理可得， 因为， 由双曲线的定义可得， 由连比定理可得，即， 因此，双曲线的离心率为. 故选：B. 8. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用常用的切线放缩即可判定大小. 【详解】令，则， 易知时，在上单调递增， 时，在上单调递减， 则，即，在时取得等号， 所以，显然， . 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，，公差，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. 1是数列中的项 C. 数列中的最小项为 D. 数列是等差数列 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列的通项公式以及性质即可判断AB，由等差数列前项和公式以及性质即可判断CD. 【详解】对于A，因为，公差，则， 所以是递增数列，故A正确； 对于B，令，解得，故1不是数列中的项， 故B错误； 对于C，令，解得，即， 所以数列中的最小项为或，故C错误； 对于D，因为，则， 所以数列是等差数列，故D正确； 故选：AD 10. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ） A. 与有相同的最小值 B. 与的图象有相同的对称中心 C. 与有相同的最小正周期 D. 当时，与的图象有个交点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦型函数的最值可判断A选项；利用正弦型函数的对称性可判断B选项；利用正弦型函数的周期公式可判断C选项；当时，解方程，可得出的值，数形结合可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数和的最小值都为，A对； 对于B选项，对于函数，由，可得， 故函数的对称中心为， 对于函数，由，可得， 所以，函数的对称中心为， 故与的图象没有相同的对称中心，B错； 对于C选项，与的最小正周期都为，C对； 对于D选项，由， 整理可得， 因为，则， 作出函数与直线的图象如下图所示： 由图象可知，当时，方程有个解，D对. 故选：ACD. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，其一条渐近线方程为，点为的左支上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 到渐近线的距离是 C. 若，则的最小值为 D. 若点为的左支上一点，则的内切圆的半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据渐近线方程得，即可判断A；根据点到直线的距离公式计算，即可判断B；应用双曲线定义结合距离和最小判断C；利用三角形的面积两种求法得方程计算，即可判断D. 【详解】由，得， 由其一条渐近线方程为，则，故A正确； 又，则， 所以到渐近线的距离是，故B正确； 根据双曲线定义可得， 所以，又，， 因此， 当A是线段与C的交点时，满足题意， 此时的最小值为，故C错误； 由点为C的左支上一点，得， 由，得，则， 又， 因此的周长为， 知的面积为， 设的内切圆半径为r， 则，解得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果，，，则的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】由题干条件可以算出，从而得出的值. 【详解】由数量积的运算律可得， 所以. 故答案为：1. 13. 在二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的系数为________．（用数字作答） 【答案】112 【解析】 【分析】先由展开式中只有第5项的二项式系数最大，可得展开式共9项，从而可得以，再由二项展开式的通项公式得到答案. 【详解】因为只有第五项的二项式系数最大，所以 故的展开式通项为 令解得 所以展开式中x的系数为. 故答案为：112. 14. 若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，即在区间上有两个异号零点，令，利用函数的单调性与导数的关系判断单调性，数形结合即可求解． 【详解】由题意，令，即在区间上有两个异号零点， 构造函数，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又时，， 时，，且，如下图： 所以，即，所以的范围． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知，，为锐角． （1）求； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据余弦定理计算得出，再计算得出再结合角的范围得出； （2）先根据正弦定理得出，再由余弦定理求出，即可得到的周长. 【小问1详解】 因为，即， 由余弦定理得， 因为，所以， 又因为，所以， 因为为锐角，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，又， 由正弦定理得， 由余弦定理， 则，即， 解得或（舍去）， 所以的周长为. 16. 如图，正三棱柱中，是棱的中点，，点在上，且． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴所在直线，在平面内过作的垂线为轴所在直线， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为，可知， 且平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可证明； （2）根据题意，由点到面的距离公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，平面的法向量， 则点到平面的距离为， 所以点到平面的距离为. 17. 已知，函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时，若对任意，恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）当时， 在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用导数，通过讨论求得函数的单调区间； （2）先分离参数得到对任意，恒成立，再利用导数求函数的最小值即可得解. 试题解析： 【小问1详解】 函数的定义域为，， 当时，，则在上单调递减， 当时，由，得，在单调递减， 由，得，在单调递增， 综上，当时， 在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 因为，则，， 因此，对任意，恒成立， 即对任意，恒成立， 令，，则， 令，得， 则当时，，在单调递减， 则当时，，在单调递增， 所以，即， 故实数b的最大值是. 18. 在平面直角坐标系内，已知曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离少1． （1）求曲线的方程； （2）点在曲线上，若直线斜率存在并与抛物线交于、两点（、异于点）．若，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2） 将点坐标代入曲线的方程，可得，所以， 因为直线斜率存在并与抛物线交于、两点，所以设直线，且， 设，联立直线和抛物线方程，可得， 由韦达定理可知，所以， ， 因为， 所以， 代入化简得，注意到前三项可以因式分解， 即，最后两项不含，所以将分解为， 原式可以进一步因式分解为 ，解得或， 即直线分别过定点或，因为、异于点，所以舍去， 故直线过定点. 【解析】 【分析】（1）由题意可知曲线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，利用抛物线的定义可知焦点即为点，在轴正半轴，由此可以写出曲线的方程； （2）设直线，与抛物线方程联立，因为，则，代入化简可得关于的方程，因式分解找出定点坐标即可证明. 【小问1详解】 由题干条件曲线上任意一点到点的距离比到直线的距离少， 即曲线上任意一点到点的距离等于到直线的距离，此即抛物线的定义， 且焦点为点，在轴正半轴，所以，所以曲线的方程为； 【小问2详解】 略. 19. 定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．设数列中，． （1）若，且数列是“数列”，求数列的通项公式； （2）设数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由； （3）若数列是“数列”，是否存在正整数，，使，若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）数列不是为“数列” （3）存在满足条件的正整数，，且 【解析】 【分析】（1）根据“数列”定义推导出数列是等差数列，即可求出数列的通项公式； （2）根据的递推关系，算出的值，得到数列是分段数列，不是为“数列”； （3）根据“数列”定义推导出数列的通项公式，再进行不等式的运算即可求解. 【小问1详解】 因为，且数列是“数列”，所以 所以 所以数列是等差数列，其公差为 所以数列的通项公式为 【小问2详解】 由，得，得 ，得， 解得. 由①，②， ①-②得， 因为，， 所以， 因为， 所以数列不是为“数列”. 【小问3详解】 由数列是“数列”，得所以 即，所以， 所以，当时， ， 当时上式也成立，故， 假设存在正整数，，使得，则， 由 可得， 又，可得，所以 所以， 所以， 所以， 解得 故存在满足条件的正整数，，且 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $