精品解析：江苏省宿迁市沭阳县怀文中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024—2025学年度第二学期九年级 数学练习 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置） 1. 下列四个数中，比小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据2，，x，6，的众数为6，则这组数据的中位数为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 4. 如图，于点B，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，别交AC、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线CG交AB于点D，过点D作DH∥BC交AC于点H．若CH＝4，BC＝9，则AH的长为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接交于点，若为等腰三角形，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则称关于的方程为点的对应方程．已知点，，则线段上任意点的对应方程的实数根有（ ）个． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 分解因式∶________． 10. 据统计我国每年浪费的粮食约吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入到“光盘行动”中来．用科学记数法表示是 ____________． 11. 如图，点P是线段的黄金分割点，且．如果，那么_______． 12. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则________． 13. 用一个半径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为________． 14. 已知正六边形的半径为2，则该正六边形的面积为______． 15. 如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则_____． 16. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，、两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且，是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为________． 18. 在中，，，点在边上，且，以为斜边作等腰直角三角形，则点到边的距离为________． 三、解答题（本题共10小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简再求值：，其中． 21. 如图，在中，，边上取一点，，过点作，连结，已知． （1）求证：． （2）若，，则的长为________． 22. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题． （1）本次调查活动随机抽取了______人，请补全条形统计图。 （2）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数． （3）若此次汽车展览会的参展人员共有5000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人． 23. 某校组建了三个小组：A（经典诵读），B（诗词大赛），C（传统故事）．学校规定：每名学生必须参加且只能参加其中一个小组．若该校小敏和小文两名同学各自从三个小组中随机选择一个小组，每一个小组被选中的可能性相同． （1）小敏选择经典诵读小组的概率是 ； （2）用画树状图或列表的方法，求小敏和小文选择不同小组的概率． 24. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩、如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时； （1）若，求的长度； （2）求阴影的长．（参考数据：，，） 25. 如图，点D是的直径下方圆弧上的一点，连接并延长至点C，连接交于点E，连接交于点G，过点E作于点F，且点F是线段的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 26. 甲、乙两机器人从地出发，沿相同路线前往地（到达后停止运动），图中，分别表示甲、乙两机器人前往目的地所走的路程，单位：）随甲出发的时间（单位：）变化的函数图象． （1），两地的距离为________； （2）分别求，关于的函数解析式（不写自变量的取值范围）； （3）根据程序设定，当两机器人相距时，两个机器人身上的反应器同时发光，求出反应器同时发光时的值． 27. 已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，设点的坐标为，当变化时，是否存在常数，使得的面积始终为定值，若存在，求出的值及面积的定值；若不存在，请说明理由． （3）若将该抛物线在间的部分记为图象，并将图象在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最小值为，若．求的取值范围． 28. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答． （1）问题背景 如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，当时，________； 如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则________； （2）探究迁移 如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由； （3）拓展应用 如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期九年级 数学练习 一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正确选项的字母涂在答题卡相应的位置） 1. 下列四个数中，比小的数是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的法则是关键．根据有理数的大小比较法则：正数>0>负数；然后根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案． 【详解】解：∵ 正数>0>负数，， ∴ ∴， ∴比小的是． 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，逐项分析判断即可求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 3. 一组数据2，，x，6，的众数为6，则这组数据的中位数为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数和中位数的概念求解． 本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数. 熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键． 【详解】解：数据2，，x，6，的众数为6， ， 则数据重新排列为、、2、6、6， 所以中位数为2， 故选：A ． 4. 如图，于点B，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）求出  的度数，再根据垂直的定义得到 ，最后利用角的和差关系求出  的度数． 【详解】解：，  （两直线平行，内错角相等）．  ，  ．  ． 5. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只两，燕每只两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据五只雀六只燕共重16两，可得第一个方程：，互换其中一只后，一方剩余只雀和只燕，另一方剩余只雀和只燕，二者重量相等，可得第二个方程：，即可得到答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ． 6. 如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，别交AC、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G，作射线CG交AB于点D，过点D作DH∥BC交AC于点H．若CH＝4，BC＝9，则AH的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用作法得到CD平分∠ACB，再证明∠ACD＝∠HDC得到DH＝CH＝4，然后证明△ADH∽△ABC，则利用相似比可计算出AH的长． 【详解】解：由作法得CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∵DH∥BC， ∴∠HDC＝∠BCD， ∴∠ACD＝∠HDC， ∴DH＝CH＝4， ∵DH∥BC， ∴△ADH∽△ABC， ∴＝，即＝， 解得AH＝． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 7. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形，连接交于点，若为等腰三角形，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为，由为等腰三角形，可得，进而得到，再根据可得，即得，据此得到，最后代入计算即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设四个全等的直角三角形长直角边为，短直角边为， ∵为等腰三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8. 在平面直角坐标系中，若点的坐标为，则称关于的方程为点的对应方程．已知点，，则线段上任意点的对应方程的实数根有（ ）个． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与判别式的关系，用待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．求出直线的解析式，得到直线上任意点的对应方程，再根据判别式和二次函数性质进行判断即可． 【详解】解：设直线的解析式， ， ， 直线的解析式为， 设直线上任意点为， 这个点的对应方程是， ， ， 当有最小值，当有最大值， ， 故线段上任意点的对应方程都没有实数根， 故选A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 分解因式∶________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． ，用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 据统计我国每年浪费的粮食约吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入到“光盘行动”中来．用科学记数法表示是 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】将一个数表示成，，n是正整数的形式，叫做科学记数法，根据此定义即可得出答案． 【详解】解：根据科学记数法的定义，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查科学记数法，关键是要牢记科学记数法的形式． 11. 如图，点P是线段的黄金分割点，且．如果，那么_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为可得，据此求解即可． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点在线段的延长线上，则________． 【答案】57 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质得出，，根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， 故答案为：57． 13. 用一个半径为6，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是有确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．利用底面周长展开图的弧长可得． 【详解】解：设底面圆的半径为r， ， 解得． 故答案为：1． 14. 已知正六边形的半径为2，则该正六边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】正六边形的面积由6个全等的边长为2的等边三角形面积组成，计算一个等边三角形的面积，乘以6即可． 【详解】解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，则△OAB是正三角形． ∴OA=AB=2， ∴AC=AB=1， ∴， ∴S△OAB=AB•OC=×2×=， 则正六边形的面积为6×=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了正多边形的面积，等边三角形的性质，熟练把多边形的面积转化为三角形面积的倍数计算是解题的关键． 15. 如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则_____． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，连接，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，进而由圆周角定理得，再根据内心的定义可得，据此即可求解，掌握内心的定义是解题的关键． 【详解】连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴， 故答案为：35． 16. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为：6． 17. 如图，在平面直角坐标系中，、两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且，是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的的几何意义，过作轴于，过作轴于，连接，证明，可得，设，而，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，而， ∴的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：8． 18. 在中，，，点在边上，且，以为斜边作等腰直角三角形，则点到边的距离为________． 【答案】2或3 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等．分两种情况，点E在上方时，作于点G，于点F，证明，利用相似三角形的性质求解；点E在下方时，作于点M，于点F，于点H，则四边形是矩形，证明，推出，再用勾股定理解即可． 【详解】解：，， ，， ， ，， 分两种情况，当点E在上方时，如图所示，作于点G，于点F， 则， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 又， ， ， ； 当点E在下方时，如图所示，作于点M，于点F，于点H，则四边形是矩形， ， ， ， 又，， ， ， 四边形是正方形， ． ，，， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得或（舍）， ， 综上可知，点E到边的距离为2或3． 故答案为：2或3． 三、解答题（本题共10小题，共96分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算零次幂，化简绝对值，化简二次根式，求解特殊角的正切，再合并即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，零次幂的含义，化简绝对值，二次根式，熟记相关概念与运算法则是解本题的关键． 20. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用完全平方公式进行因式分解等知识．熟练掌握分式的化简求值，利用完全平方公式进行因式分解是解题的关键． 先通分，利用完全平方公式进行因式分解，然后进行除法运算可得化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解： ， 将代入，原式． 21. 如图，在中，，边上取一点，，过点作，连结，已知． （1）求证：． （2）若，，则的长为________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）根据垂直的定义得出，根据平行线的性质及等量代换得出，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，利用勾股定理即可得答案． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 22. 中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题． （1）本次调查活动随机抽取了______人，请补全条形统计图。 （2）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数． （3）若此次汽车展览会的参展人员共有5000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人． 【答案】（1）50；见解析 （2） （3）4500人 【解析】 【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，再求出混动的人数，进而可补全条形统计图； （2）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解； （3）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取人数为（人）， ∴混动的人数为人， 补全统计图如下所示： 【小问2详解】 解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有4500人． 23. 某校组建了三个小组：A（经典诵读），B（诗词大赛），C（传统故事）．学校规定：每名学生必须参加且只能参加其中一个小组．若该校小敏和小文两名同学各自从三个小组中随机选择一个小组，每一个小组被选中的可能性相同． （1）小敏选择经典诵读小组的概率是 ； （2）用画树状图或列表的方法，求小敏和小文选择不同小组的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单等可能事件的概率，以及列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式计算即可． （2）根据题意画树状图得出所有等可能的结果数，以及小敏和小文选择不同小组的结果数，再利用概率公式求解，即可得出答案． 【小问1详解】 解：共三个活动小组， 小敏选择经典诵读小组的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小敏和小文选择不同小组的结果有6种， 小敏和小文选择不同小组的概率为． 24. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩、如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时； （1）若，求的长度； （2）求阴影的长．（参考数据：，，） 【答案】（1）1.4米 （2）2.2米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质和判定，等腰三角形的判定． （1）根据正弦的定义求解即可； （2）过A作于K，根据余弦的定义求出，再证明是矩形，可得，，再证明是等腰三角形，可得，进而可求． 【小问1详解】 解：由题意知：，， ∴， 在中，米； 【小问2详解】 解：过A作于K，则， 米， ∴米， ∵四边形是矩形， ∴米，米， 由题意知：， ∴， ∴米， ∴米， ∴阴影的长为2.2米． 25. 如图，点D是的直径下方圆弧上的一点，连接并延长至点C，连接交于点E，连接交于点G，过点E作于点F，且点F是线段的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）证明：连接， ∵，点F是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由，点F是的中点，得到，从而，进而，又，得到，从而得证是的切线； （2）连接，由是直径，得到，从而在中，，由，得到，根据“三线合一”得到，从而根据含角的直角三角形的性质得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵是直径， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查切线的证明，垂直平分线的性质，圆周角定理，平行线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，解直角三角形，综合运用相关知识是解题的关键． 26. 甲、乙两机器人从地出发，沿相同路线前往地（到达后停止运动），图中，分别表示甲、乙两机器人前往目的地所走的路程，单位：）随甲出发的时间（单位：）变化的函数图象． （1），两地的距离为________； （2）分别求，关于的函数解析式（不写自变量的取值范围）； （3）根据程序设定，当两机器人相距时，两个机器人身上的反应器同时发光，求出反应器同时发光时的值． 【答案】（1）1000； （2）；； （3）的值为5或或20 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，一次函数的应用，一次函数解析式，一元一次方程的应用等知识．从函数图象中获取正确的信息是解题的关键． （1）结合图象求解作答即可； （2）设关于x的函数解析式为，将代入可求，则；同理可求关于x的函数解析式； （3）由题意知，当乙未出发前，甲在乙的前面相距时，依题意得，，计算求解即可；当乙在甲的前面相距时，依题意得，，计算求解即可；当乙停止后，甲在乙的后面相距时，依题意得，，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，A，B两地的距离为m， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设关于x的函数解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴； 设关于x的函数解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴； 【小问3详解】 解：由题意知，当乙未出发前，甲在乙的前面相距时， 依题意得，， 解得，； 当乙在甲的前面相距时， 依题意得，， 解得，； 当乙停止后，甲在乙的后面相距时， 依题意得，， 解得，； 综上所述，x的值为5，或． 27. 已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称，设点的坐标为，当变化时，是否存在常数，使得的面积始终为定值，若存在，求出的值及面积的定值；若不存在，请说明理由． （3）若将该抛物线在间的部分记为图象，并将图象在直线上方的部分沿着直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为，最小值为，若．求的取值范围． 【答案】（1）； （2），面积为3； （3） 【解析】 【分析】本题考查了有关二次函数的知识，是一道综合题． （1）由函数对称轴求出m的值，代入即可求抛物线的解析式； （2）由抛物线可以求出点，，，的坐标，求所在直线解析式，当的面积为定值时，直线与所在直线平行．可得出的值，设点P在x轴上，则可得出面积的定值； （3）由抛物线的顶点求出M的最高点、最低点坐标，图象在直线上方的部分沿着直线翻折，得出三种情况，可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线． 对称轴为直线， ．解得． 则抛物线 【小问2详解】 解：抛物线与轴交于点， 当时，，则点C坐标为． 点在抛物线上，且与点关于抛物线的对称轴对称， ，解得，则点D坐标为． 抛物线与轴交于、两点， ，解得，则点A坐标为，点B坐标为， 点的坐标为， 在直线上， 设所在直线解析式为， 则 则． 当的面积为定值时， 直线与所在直线平行． ．即． 设，则， 解得，则点P坐标为． 的面积为定值， ． 【小问3详解】 解：抛物线， 抛物线的顶点坐标为． 当时，． 时M的最高点坐标为，最低点坐标为． 关于的对称点坐标为， 关于的对称点坐标为． 当时，N的最高点坐标为，最低点坐标为． 此时，不合题意舍去； 当最高点纵坐标为t时，即，． ，解得． 当 N的最高点纵坐标为t， 即，最低点纵坐标为，即时， ，解得． 综上：． 28. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答． （1）问题背景 如图1，正方形中，点为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，当时，________； 如图2，连接，当点恰好落在上时，其他条件不变，则________； （2）探究迁移 如图3，在（1）的条件下，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，请写出与之间的数量关系式（用含的式子表示），并说明理由； （3）拓展应用 如图4，在（1）的条件下，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长． 【答案】（1），2； （2），理由见解析 （3）的长为 【解析】 【分析】（1）根据翻折的性质以，全等三角形的性质平角的概念求出，再根据相似三角形的性质，得出和的关系即可求解； （2）根据（1）中三角形的全等与相似条件不变，得出不变，再根据和的关系，和的关系即可； （3）构造相似三角形，根据三角形相似的性质，得出和相等，然后根据相似三角形的性质和勾股定理求出的长，即为的长． 【小问1详解】 解：（1）， ， ，， 由翻折的性质可知，， ， ， 又， ， 又， ， ， 由翻折的性质可知，，， ， ， 四边形为正方形， ， ， ，， ， ， ， ，即， 故答案为：，2； 【小问2详解】 ，理由如下： 由（1）可知，，， ， ； 【小问3详解】 过作，交延长线于，作的平分线，交于，如图， ， ，，， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 设， 四边形为菱形， ， ， ， ，， ，， 由勾股定理可得：， ， 解得：，即的长为． 【点睛】本题主要考查了正方形和菱形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，合理构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $