精品解析：上海市宝山区上海存志高级中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

上海存志高级中学 2024-2025 学年第二学期 3 月月考高二年级数学试卷 命题人:刘璇 考试时长:120 分钟 试卷分值:150 分 一、填空题（第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分，共 54 分） 1. 已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率的定义以及正切函数的单调性可得结论. 【详解】因为在上为增函数,所以, 因为在上为增函数,所以, 又时,直线的斜率不存在, 所以直线的斜率的取值范围是. 故答案为：. 2. 动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分析直线过定点，当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，可得直线及其方程. 【详解】直线方程变形为：， 由解的：，即直线过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，又 此时，则，则直线的方程为，即. 故答案为：. 3. 经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】分情况讨论直线是否过原点，然后根据不同情况求出直线方程. 【详解】当直线过原点时,因为直线过原点和点，则斜率. 直线方程为，即. 当直线不过原点时,设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，直线的截距式方程为. 因为直线过点，将点的坐标代入截距式方程. 解得. 所以直线方程为，化为一般式为. 故所求直线方程为或. 故答案为：或. 4. 已知直线与直线的夹角为，则实数______. 【答案】或 【解析】 【分析】设两直线夹角为，可得，分和两种情况，结合直线的夹角公式运算求解即可. 【详解】设直线与直线的夹角为， 则，可得，， 设直线的倾斜角为，则， 设直线的倾斜角为， 若，则直线即为，可知， 可得，，符合题意； 若，则， 因为，可得， 即，解得或（舍去）； 综上所述：或. 故答案为：或. 5. 已知，方程表示圆，则圆心坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合圆的一般方程的特点列关系式求，再确定圆心坐标. 【详解】因为方程表示圆， 所以①，②， 由①可得或． 当时，，不满足要求，舍去， 当时，，满足要求， 所以圆的方程为， 即，圆心为； 故答案为：. 6. 已知直线与椭圆相交于M，N两点，则MN的长为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】联立直线与椭圆方程，结合弦长公式求解即可. 【详解】由消去，得，解得， 所以. 故答案为： 7. 已知直线与圆相交于两点，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点，取中点B，易得，进而可得出答案. 【详解】由，得， 令，解得， 所以直线过定点， 由得圆心，半径， 如图，取中点B，则， 当且仅当两点重合时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 8. 已知圆点P是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当取得最小值时，直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得最小时，直线，求得直线的方程，联立方程组求得，进而求得以为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减可求得直线的方程. 【详解】取最小值四边形面积最小直线， 此时直线方程为，与直线联立求出点， 以为直径的圆的方程为，又圆， 两圆方程左右两边相减可得直线的方程为. 故答案为：. 9. 古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用阿波罗尼斯圆定义可得点的轨迹方程为，由两圆圆心距与半径的关系可得两圆相交，可得有2条公切线. 【详解】由题意设， 易知，即可得， 整理得点的轨迹方程为， 其轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 而圆的圆心坐标为，半径为1， 可得两圆的圆心距为2，大于，小于， 则动点的轨迹与圆的位置关系是相交. 故公切线的条数为2. 故答案为：2 10. 已知椭圆的离心率为 ，其左、右焦点分别为 ，上顶点为 ，且 内切圆的半径为 ，则椭圆的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. 【详解】椭圆的离心率① 内切圆的半径， 则， 即②， 根据椭圆的知识有③， 由①②③解得， 所以椭圆的方程为. 故答案为： 11. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上，则直线与圆相离， 所以，，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故答案为：. 12. 已知实数满足，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】数形结合，把问题转化成圆上的点到直线的距离的最大值问题求解. 【详解】设，， 因为，，所以、为圆上的两点.如图： 则. 又，所以， 取中点，则. 作直线：，作，，，，垂足分别为，，，. 所以 又，所以. 即. 所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是将代数问题转化为几何问题，数形结合，根据点到直线的距离公式求解. 二、单选题（第 13、14 题每题 4 分，第 15、16 题每题 5 分，共 18 分） 13. 已知直线与，则下列说法不正确的是（    ） A. 若时，则 B. 若时，则与重合 C. 若时，则 D. 若时，则与交于点 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行和垂直的充要条件，结合选项逐项计算判断即可. 【详解】对于A，当时，， 即，则，故A正确； 对于B，当时，， 即，则与不重合，故B错误； 对于C，当时，， 因为，所以，故C正确； 对于D，当时，，即， 由，得，所以与交于点，故D正确. 故选：B. 14. 点在圆上运动，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，将目标转化为直线与圆存在交点的问题，利用即可. 【详解】设，则， 因点在圆上运动，且在直线上， 则直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离，得或， 故的取值范围是. 故选：D 15. 已知正四棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而得到向量的坐标，再求出平面的法向量；最后利用向量公式求出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】因为正四棱柱中底面ABCD是正方形，且，所以. 以为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系. 则，，，，.  所以， ，. 设平面的法向量为， 则且. ， . 令，解得，. 所以.  设直线与平面所成角为，则. . ，. 所以.  故选：D. 16. 若，且数列是递减数列，数列是递增数列，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】讨论n为奇数和n为偶数，结合数列的单调性可得t的取值范围. 【详解】∵数列是递减数列， ∴当n为奇数时，，即， 整理得，， ∴，故， ∵时，，∴，即. ∵数列是递增数列， ∴当n为偶数时，，即， 整理得，， ∴，故， ∵时，，∴，即. 综上得，的取值范围是． 故选：C. 三、解答题（第 17-19 题每题 14 分，第 20-21 题每题 18 分，共 78 分） 17. 直线过点，且与轴，轴正半轴分别交于两点. （1）若，求直线的方程； （2）求的面积的最小值. 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）设直线截距式为，可得，，进而结合列方程组求解即可； （2）设直线截距式为，代入点得到，利用基本不等式即可求出面积最小值. 【小问1详解】 设直线的方程为，则，， 所以， 由，得，解得， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 设直线的方程为， 将点代入得，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以，. 所以的面积最小值为12. 18. 已知圆，直线l过点. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程; （2）设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）分直线斜率是否存在两种情况讨论可求切线的方程； （2）设点，可得，利用点B在圆C上运动，可求点M的轨迹方程. 【小问1详解】 已知圆C的圆心是，半径是2， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意; 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心O到直线l的距离为=2，解得，故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. 【小问2详解】 设点，则由点M是线段AB的中点得，所以①， 因为点B在圆C上运动，所以②，将①代入②得， 化简得点M的轨迹方程是. 19. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 20. 已知数列的前项和为，，. （1）证明：数列是等比数列； （2）若，求数列的前项和； （3）若，求使取得最大值时的的值. 【答案】（1） 由得，则， 整理得， 当时，，的， 所以数列是等比数列，公比为. （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用得到，然后结合即可证明数列是等比数列； （2）利用裂项相消的方法求和； （3）令得到，即可得到数列的单调性，然后求最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，则， . 【小问3详解】 ， 当时，令，解得， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以，即， 综上可得，当或时，取得最大值. 21. 已知椭圆的上顶点为，离心率为是椭圆上不与点重合的两点，且. （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 如图，当直线的倾斜角为时，显然不合题意； 设直线的方程为：. 联立消去得. ，即. . ， 又， ， ， 即， ，解得或（舍）. 直线的方程为：，即直线过定点. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得到的方程组，求解即得； （2）设直线的方程为：，联立椭圆方程，由韦达定理，结合，即可求得的值，从而得解； （3）由弦长公式，结合三角形面积公式及函数单调性即可求解. 【小问1详解】 依题意有解得， 椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 点到直线的距离， ， 的面积 令，则， ， 因函数在上单调递减；在上单调递增， 所以当时，取得最小值为，即， 故， 即面积的最大值为. 【点睛】关键点点睛：（2）题的关键在于根据，利用向量点乘和韦达定理配合，推理得到，有一定的运算量；（3）题的关键在于利用弦长公式和面积公式求得的表达式后，需要换元，将问题转化成利用对勾函数单调性求解的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海存志高级中学 2024-2025 学年第二学期 3 月月考高二年级数学试卷 命题人:刘璇 考试时长:120 分钟 试卷分值:150 分 一、填空题（第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分，共 54 分） 1. 已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______. 2. 动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为___________． 3. 经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为______. 4. 已知直线与直线的夹角为，则实数______. 5. 已知，方程表示圆，则圆心坐标是_______． 6. 已知直线与椭圆相交于M，N两点，则MN的长为_________． 7. 已知直线与圆相交于两点，则的最大值为__________. 8. 已知圆点P是直线上的一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则当取得最小值时，直线的方程为______. 9. 古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为______. 10. 已知椭圆的离心率为 ，其左、右焦点分别为 ，上顶点为 ，且 内切圆的半径为 ，则椭圆的方程为_____. 11. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，、为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为________. 12. 已知实数满足，则的最大值为______． 二、单选题（第 13、14 题每题 4 分，第 15、16 题每题 5 分，共 18 分） 13. 已知直线与，则下列说法不正确的是（    ） A. 若时，则 B. 若时，则与重合 C. 若时，则 D. 若时，则与交于点 14. 点在圆上运动，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 已知正四棱柱中，，则与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 16. 若，且数列是递减数列，数列是递增数列，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（第 17-19 题每题 14 分，第 20-21 题每题 18 分，共 78 分） 17. 直线过点，且与轴，轴正半轴分别交于两点. （1）若，求直线的方程； （2）求的面积的最小值. 18. 已知圆，直线l过点. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程; （2）设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 19. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 20. 已知数列的前项和为，，. （1）证明：数列是等比数列； （2）若，求数列的前项和； （3）若，求使取得最大值时的的值. 21. 已知椭圆的上顶点为，离心率为是椭圆上不与点重合的两点，且. （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $