精品解析：山东省枣庄市第十五中学2024-2025学年八年级3月月考数学试题

八年级单元学习评价检测 数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 下列式子：①，②，③，④，⑤中是一元一次不等式的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 3. 如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点D．已知，P为上一动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 6. “双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法，正确的是（ ） A. 一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三边的距离相等 B. “若，则”的逆命题是真命题 C. 在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中有一个内角大于 8. 若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：；；；；．一定成立的结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①②③④ D. ①②③⑤ 第II卷（非选择题） 二、填空题（共18分） 11. 已知是关于的一元一次不等式，则的值为______． 12. 若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为________． 13. 若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞0，则m的取值范围是____． 14. 如图，已知的周长是18，和的平分线交于点O，于点D，若，则的面积是________． 15. 如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管，，，…，添加的钢管长度都与的长度相等，则最多能添加的钢管根数为__________根． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，…都在轴上，点，，，…都在同一条直线上，，，，，，…都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是________． 三、解答题（共72分） 17. （1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． 18. 如图，已知，在Rt ΔABC中，∠ABC=90°, AB＝BC＝2. （1）用尺规作∠A的平分线AD. （2）角平分线AD交BC于点D,求BD的长. 19. 如图，，是的高，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的高． 20. 定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． （1）填空：________ （2）已知，求的取值范围 21. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高． （1）试说明AD垂直平分EF； （2）若AB＝6，AC＝4，S△ABC＝15，求DE的长． 22. 某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）． （1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？ （2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 23. 【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为________，方程的解是________，不等式的解是________． 【拓展延伸】 （3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点和点．结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是________． 24. 如图，在直角三角形中，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． 分别从同时出发，当一个动点到达终点则另一动点也随之停止运动， （1）求为何值时，为等腰三角形？ （2）是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？ （3）点在运动的过程中，是否存在某时刻， 直线把的周长分为两部分？若存在，求出，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级单元学习评价检测 数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 下列式子：①，②，③，④，⑤中是一元一次不等式的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可． 【详解】解：①，是方程； ②，不含未知数，不是一元一次不等式； ③，是代数式，不是不等式； ④，是一元一次不等式； ⑤，是一元一次不等式． 故选：A． 2. 下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用、三角形内角和定理．由勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可． 【详解】解：A、∵，故不能判定是直角三角形，符合题意； B、∵，∴，故是直角三角形，不符合题意； C、∵，∴，即，故是直角三角形，不符合题意； D、∵，∴，故是直角三角形，不符合题意． 故选：A． 3. 如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得∠A=60°，再由三角形外角的性质可得∠AEF=∠1-∠A=80°，从而得到∠BEF=100°，然后根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴∠A=60°， ∵∠1=140°， ∴∠AEF=∠1-∠A=80°， ∴∠BEF=180°-∠AEF=100°， ∵， ∴∠2=∠BEF=100°． 故选：B 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键． 4. 如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， 故选：． 5. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点G，作射线交于点D．已知，P为上一动点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线及角平分线的性质定理；过点D作于E，则，由垂线段最短即可得的最小值． 【详解】解：由作图知，平分， 过点D作于E，如图， ∵， ∴； ∵， ∴的最小值为3， 故选：B． 6. “双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 7. 下列说法，正确的是（ ） A. 一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三边的距离相等 B. “若，则”的逆命题是真命题 C. 在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上 D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中有一个内角大于 【答案】C 【解析】 【分析】逐一进行判断即可． 【详解】A. 一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故该选项错误； B. “若，则”的逆命题为“若，则”为是假命题，故该选项错误； C. 在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，故该选项正确； D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于，故该选项错误， 故选：C． 【点睛】本题主要考查真假命题，掌握垂直平分线的性质，逆命题，角平分线的判定和反证法是关键． 8. 若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】表示出不等式组的解集，由解集恰好只有4个整数解，确定出的范围即可．此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集是解本题的关键． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 不等式组只有4个整数解， ∴ ， 解得， 故选：A． 9. 如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点A的坐标，再根据不等式的解集即为直线的函数图象在直线的函数图象的下方或交点处自变量的取值范围进行求解即可． 【详解】解：把点代入到中得：， ∴， ∴， ∴由函数图象可知当时，直线的函数图象在直线的函数图象的下方或交点处， ∴关于x的不等式的解集是， 故选D． 【点睛】本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，正确求出点A的坐标是解题的关键． 10. 如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正和正，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下五个结论：；；；；．一定成立的结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①②③④ D. ①②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】①由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；②由得，加之，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③同②得：，即可得出结论；④根据，，可知，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是可知⑤正确． 【详解】解：①∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ∴， ∴，，，①正确； ②， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，②正确； ③与②的过程同理得：， ∴， ③正确； ④∵，且， ∴，故④错误； ⑤∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴⑤正确． ∴①②③⑤是正确的． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共18分） 11. 已知是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得，且，由此即可得． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴，且， ∴， 故答案为：4． 12. 若等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，正确理解分长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．分两种情况讨论且利用三角形的三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：当长是的边是底边时， 腰长是：， 此时三边为、、，该等腰三角形存在； 当长是的边是腰时， 底边长是：， 而，不满足三角形的三边关系， 则以、、为边不能构成三角形， ∴该等腰三角形的底边长为． 故答案为：． 13. 若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞0，则m的取值范围是____． 【答案】m＞﹣2 【解析】 【详解】解：， ①+②得2x+2y=2m+4， 则x+y=m+2， 根据题意得m+2＞0， 解得∶m＞﹣2． 故答案为∶ m＞﹣2 14. 如图，已知的周长是18，和的平分线交于点O，于点D，若，则的面积是________． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过点O作于点E，过点O作于点F，连接，根据角平分线的性质可得，进一步求的面积即可． 【详解】解：过点O作于点E，过点O作于点F，连接，如图所示： ∵点O为与的平分线的交点，且， ∴， ∵，的周长为18， ∴的面积 ， 故答案为：27． 15. 如图，是一钢架，，为使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管，，，…，添加的钢管长度都与的长度相等，则最多能添加的钢管根数为__________根． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质．根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，进而即可求解． 【详解】解：∵添加的钢管长度都与相等，， ∴，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是，第二个是，第三个是，第四个是，第五个是，第六个是，第七个是就不存在了． 所以一共有6根钢管． 故答案为：6． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，…都在轴上，点，，，…都在同一条直线上，，，，，，…都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，一次函数，勾股定理等知识，解题的关键用列举法找到规律后再解答．先求出直线解析式，再根据题意分别求出，，，…的纵坐标，再代入函数表达式中，求出横坐标，即可得到答案． 【详解】解：∵，，，，…都是等腰直角三角形，且， ∴， 设直线过点，的函数表达式为． 则，解得：， 函数表达式为． ∵的纵坐标为1， 的纵坐标为， 的纵坐标为， …， 的纵坐标为， 把的纵坐标为代入中， 解得， 点的坐标是． 故答案为：. 三、解答题（共72分） 17. （1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】（1）x＞， 将解集表示在数轴上如下： （2）﹣1≤x＜2，不等式组的整数解为﹣1、0、1． 【解析】 【分析】（1）根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解； （2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解，最后根据要求写出整数解． 【详解】解：（1） 去分母，得：2(2x﹣1)＞x﹣1， 去括号，得：4x﹣2＞x﹣1， 移项，得：4x﹣x＞﹣1+2， 合并同类项，得：3x＞1， 系数化为1，得：x＞， （2） 解不等式﹣≤1， 得：x≥﹣1， 解不等式5x﹣1＜3(x+1)， 得：x＜2， 则不等式组的解集为﹣1≤x＜2， 所以不等式组的整数解为﹣1、0、1． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式组的解集，需要把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 18. 如图，已知，在Rt ΔABC中，∠ABC=90°, AB＝BC＝2. （1）用尺规作∠A的平分线AD. （2）角平分线AD交BC于点D,求BD的长. 【答案】 (1)如图，AD为所求； （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用基本作作（作已知角的平分线）作AD平分∠BAC； （2）作DE⊥AC于E，如图，先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠C=45°，则可判断△CDE为等腰直角三角形，则CD=DE，再根据角平分线的性质得到BD=BE，设BD=x，则CD=x，然后利用BC=2列方程x+x=2，再解方程即可． 解：（1）略 （2）作DE⊥AC于E，如图， ∵∠ABC=90°，AB=BC=2． ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠C=45°， ∴△CDE为等腰直角三角形， ∴CD=DE， ∵AD为角平分线，DB⊥AB，DE⊥AC， ∴BD=BE， 设BD=x，则CD=x， ∴x+x=2， ∴x=2（﹣1）=2﹣2， 即BD的长为2﹣2． 【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握5个基本作图．掌握角平分线的性质定理和等腰直角三角形的判定与性质是解决（2）小题的关键． 19. 如图，，是的高，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求的高． 【答案】（1） 证明：∵，是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）． 【解析】 【分析】（）由“”可证，可得，再根据等腰三角形的定义即可求解； （）由直角三角形的性质可求的长，最后由勾股定理可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴． 20. 定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． （1）填空：________ （2）已知，求的取值范围 【答案】（1）1 （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的应用，理解新定义的运算法则是解本题的关键． （1）由，利用进行计算即可； （2）分两种情况讨论：当时，即；可得，当时，即；可得，再解不等式即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：； 故答案为：1； 【小问2详解】 解：当时， ∴，即； ∴， ∴； 当时， ∴，即； ∴， ∴， 解得：， 此时； 综上：的取值范围为：或． 21. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高． （1）试说明AD垂直平分EF； （2）若AB＝6，AC＝4，S△ABC＝15，求DE的长． 【答案】 （1）证明：∵平分 ， ， 在和中， ， ∴≌ 又 ∴≌ 是线段的垂直平分线； （2）3 【解析】 【分析】（1）根据三角形的角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理解答． （2）根据 可以求得的长度． 【详解】（1）略 （2） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，角平分线等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题． 22. 某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）． （1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？ （2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】（1）20，5；（2）购进A种花草的数量为11株、B种20株，费用最省；最省费用是320元． 【解析】 【分析】（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费940元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，两次共花费675元；列出方程组，即可解答．（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31-m）株，根据B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，得出m的范围，设总费用为W元，根据总费用=两种花草的费用之和建立函数关系式，由一次函数的性质就可以求出结论． 【详解】（）设，两种花草每棵的价格分别为元和元． 由题意得， 解得：， 答：，两种花草价格分别为元和元． （）设购买种花草棵，则购买种花草为棵， 由题意得，且为整数， 解得：且为整数， 由（）可知，的价格为元/棵，的价格为元/棵， 设费用为， 则， 由一次函数的性质可得：随的增大而增大， ∴当取最小整数时，最小值为：， 答：费用最省的方案为购买种花草棵，购买种花草棵，花费最少为元． 23. 【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为________，方程的解是________，不等式的解是________． 【拓展延伸】 （3）如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点和点．结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是________． 【答案】（1）；（2），，；（3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合是解题的关键． （1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）通过观察图象求解即可． 【详解】解：（1）∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是， 故答案为：； （2）通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为； ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴方程的解为； 由图象可得，当时，， ∴不等式的解是， 故答案为：，，； （3）联立方程组， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴； 由的图象可知，当时，， 当时，， ∴关于x的不等式组的解集为， 故答案为：． 24. 如图，在直角三角形中，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． 分别从同时出发，当一个动点到达终点则另一动点也随之停止运动， （1）求为何值时，为等腰三角形？ （2）是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？ （3）点在运动的过程中，是否存在某时刻， 直线把的周长分为两部分？若存在，求出，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）存在，；（3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意用t表示出BP、BQ，根据等腰三角形的概念列方程，解方程得到答案； （2）根据线段垂直平分线的性质得到QA=QC，列方程，解方程即可； （3）分AC+AP+CQ=2（BP+BQ）、2（AC+AP+CQ）=BP+BQ两种情况计算，得到答案． 【详解】由题意得， 则 当为等腰三角形时， 只有 解得， 当点在线段的垂直平分线上时，连接QA， 设 则 解得，即 （秒） 在中， 当直线把的周长分为两部分时， ①当时， 解得， ②当时， 解得，（不合题意，舍去） 当时，直线把的周长分为两部分. 【点睛】本题考查的是等腰三角形的概念、线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $