江苏省镇江市实验高级中学2024-2025学年高二下学期数学周周清7

周周清7 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 则选取的学生中，参加舞蹈社团的学生数为（   ） A．20 B．30 C．35 D．40 2．某校高二年级1000名学生参加一次交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于90分的人数为（   ） A．500 B．300 C．200 D．100 3．某学习小组对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查，其中全部都知道，大部分知道，小部分知道和完全不知道“二十四节气”的受访者分别占12.6％，49.0％，34.6％和3.8％，下列选项中用来表示上述调查结果的统计图表合适的是（    ） A．折线统计图 B．扇形统计图 C．条形统计图 D．以上都可以 4．在样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积和的，且样本量为80，则中间一组的频数为（    ） A．0.25 B．16 C．20 D．0.5 5．设的导函数为，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．高一某班一天上午有节课，下午有节课，现要安排该班一天中语文､数学､英语､物理､化学､生物､地理节课的课程表，要求生物课排在上午第四节，化学课排在下午，数学与物理不相邻，则不同的排法种数共有（    ）种 A． B． C． D． 7．已知球的半径为，则在球的内接圆锥中，体积最大的圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．伟才学校组织开展党史知识竞赛活动，将本校全体党员党史知识竞赛的成绩（均位于之内）整理，得到如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论正确的是（    ） A．本次成绩不低于80分的人数的占比为 B．本次成绩低于70分的人数的占比为 C．估计本次成绩的平均分不高于85分 D．本次成绩位于的人数是其他人数的3倍 9．某学校为了解学校学生视力健康状况，降低学生近视率，增强学生爱眼护眼意识，对三个年级的学生视力健康状况进行调研，已知高一、高二、高三的学生人数之比为4:3:3，现用分层抽样方法抽取一个容量为 n的样本，样本中高一年级学生人数为200人，则（    ） A．该校三个年级总的学生数为5000人 B．样本容量n为500 C．该校高二年级总的学生数有1500人 D．样本中高二年级学生数为150人 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 11．一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，下列说法正确的是（    ） A．从中取3个球，则不同的取法种数是； B．从中取2个球，则颜色不同的取法种数是10； C．从中取3个球，则颜色不同的取法种数是； D．从中取3个球，则颜色相同的种数是． 三、填空题 12．某个容量1000的样本的频率分布直方图如下，则在区间上的数据的频数为 ． 13．数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有 种. 14．已知（），则 . 15．设， ． 四、解答题 16．下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图,请你根据统计图提供的信息解答以下问题: (1)本次一共调查了多少名学生.(2)在图(1)中将②对应的部分补充完整. (3)若该校有3 000名学生,你估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5时以下? 17．某校高一年级共有450名男生，为了解他们的身高情况，从中随机抽查了50名学生，测得他们的身高数据（单位：cm）如下： 151     153     157     159     160    161     162     163     163     164 164     164     165     165     166    166     167     167     168     168 169     169     169     170     170     170    171     171     172     172 172     173     173     173     173     173    174     175     175     176 176     177     177     178     178     179     180    181     181     183 (1)列出频率分布表并画出频率分布直方图； (2)估算该年级身高在内的男生人数； (3)估算该年级身高在170cm以下的男生人数． 18．已知的展开式的第5，6，7项的二项式系数依次成等差数列，且展开式的项数为偶数． (1)求的值； (2)求二项展开式中系数的绝对值最大的项． 19．已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 周周清7 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1500名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1500名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图： 则选取的学生中，参加舞蹈社团的学生数为（   ） A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】D 【分析】根据演讲人数及所占比求出选取的总人数，再由条形图得演讲人数即可得解. 【详解】由条形图得合唱人数为70，由饼状图得合唱人数占比， 因此选取的总人数为， 由饼状图得演讲及舞蹈人数和占比为， 人数和为， 由条形图得演讲人数为30，所以舞蹈人数为40. 故选：D. 2．某校高二年级1000名学生参加一次交通安全知识测试，所得成绩的频率分布直方图如图所示，则成绩不低于90分的人数为（   ） A．500 B．300 C．200 D．100 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图求出不低于90分的频率，即可求得人数. 【详解】由频率分布直方图可知，成绩不低于90分的频率为：， 所以成绩不低于90分的人数为. 故选：C 3．某学习小组对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查，其中全部都知道，大部分知道，小部分知道和完全不知道“二十四节气”的受访者分别占12.6％，49.0％，34.6％和3.8％，下列选项中用来表示上述调查结果的统计图表合适的是（    ） A．折线统计图 B．扇形统计图 C．条形统计图 D．以上都可以 【答案】B 【分析】根据调查结果和各种统计图表的功能可得答案. 【详解】调查结果是分类比例，选项中只有扇形统计图适合. 故选：B. 4．在样本的频率分布直方图中，共有7个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他6个小长方形的面积和的，且样本量为80，则中间一组的频数为（    ） A．0.25 B．16 C．20 D．0.5 【答案】B 【分析】设中间一组的频数为x，根据题意可列方程求解. 【详解】设中间一组的频数为x，依题意有，解得． 故选：B. 5．设的导函数为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知可得，导数研究其单调性比较大小或应用作差法比较大小. 【详解】因为，所以，即． 所以，故， 法一：因为，当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减． 因为，且， 所以， 法二：因为，，， 所以，即． 因为，所以. 故选：D 6．高一某班一天上午有节课，下午有节课，现要安排该班一天中语文､数学､英语､物理､化学､生物､地理节课的课程表，要求生物课排在上午第四节，化学课排在下午，数学与物理不相邻，则不同的排法种数共有（    ）种 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据要求，生物固定在上午第四节，化学固定在下午，数学和物理不相邻，则可分成数学和物理都排在上午或下午、数学和物理一个在上午一个在下午，四种情况，结合排列和组合分类求解即可. 【详解】若数学和物理都排在上午，则有种； 若数学和物理都排在下午，则有种； 若数学排在上午，物理排在下午，则有种； 若数学排在下午，物理排在上午，则有种. 综上，不同的排法共有种. 故选：C 7．已知球的半径为，则在球的内接圆锥中，体积最大的圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设球的内接圆锥的底面半径为，取圆锥的轴截面，取线段的中点，连接，设，则，可得出，，设圆锥的体积为，求出函数的解析式，利用导数求出函数取最大值时对应的值，即可求得对应的值，即为所求. 【详解】如下图所示，设球的内接圆锥的底面半径为， 显然当球心在圆锥的内部时，圆锥的体积才会最大， 取圆锥的轴截面，取线段的中点，连接，则，且在线段上， 设，则，且，， 设圆锥的体积为， 则， 由可得，由可得， 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，函数在时取最大值，此时，. 故选：A. 二、多选题 8．伟才学校组织开展党史知识竞赛活动，将本校全体党员党史知识竞赛的成绩（均位于之内）整理，得到如图所示的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论正确的是（    ） A．本次成绩不低于80分的人数的占比为 B．本次成绩低于70分的人数的占比为 C．估计本次成绩的平均分不高于85分 D．本次成绩位于的人数是其他人数的3倍 【答案】ABC 【分析】由频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1及每个小长方形的面积表示对应成绩段的频率可计算出各个成绩段的频率，从而依次判断即可. 【详解】由频率分布直方图知，成绩在、，的频率依次为： 0.2、0.5和0.25，所以成绩在的频率为. 对于A，成绩不低于80分的频率为，故A正确； 对于B，成绩低于70分的频率为0.05，故B正确； 对于C，本次成绩的平均分为（分），故C正确； 对于D，本次成绩位于的频率为， 所以成绩不在的频率为， 所以本次成绩位于的人数是其他人数的倍，故D错误. 故选：ABC. 9．某学校为了解学校学生视力健康状况，降低学生近视率，增强学生爱眼护眼意识，对三个年级的学生视力健康状况进行调研，已知高一、高二、高三的学生人数之比为4:3:3，现用分层抽样方法抽取一个容量为 n的样本，样本中高一年级学生人数为200人，则（    ） A．该校三个年级总的学生数为5000人 B．样本容量n为500 C．该校高二年级总的学生数有1500人 D．样本中高二年级学生数为150人 【答案】BD 【分析】利用分层抽样性质确定抽样比即可求解. 【详解】设样本中高二、高三的学生人数分别为a，b， 则， 则，故D正确， 故样本容量，故B正确； 无法确定该校三个年级总的学生数和该校高二年级总的学生数，故AC错误； 故选：BD 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用二项式定理，结合赋值逐项进行判断即可. 【详解】由， 所以的展开式中最高次项为次项，即，故A正确； 的展开式中，的系数为，的系数为， 则，故B错误； 令，得，故C正确； 令，得， 所以，，故D 正确； 故选：ACD. 11．一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，下列说法正确的是（    ） A．从中取3个球，则不同的取法种数是； B．从中取2个球，则颜色不同的取法种数是10； C．从中取3个球，则颜色不同的取法种数是； D．从中取3个球，则颜色相同的种数是． 【答案】ABD 【分析】依题意由组合数公式及分步乘法原理计算可得. 【详解】根据题意，一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球，共个球， 从中取个球，则有种取法，A选项正确； 从中取2个球，则颜色不同的取法种数是，B选项正确； 从中取3个球，则颜色不同的取法种数是，C选项错误； 从中取3个球，则颜色相同的种数是，D选项正确. 故选：ABD． 三、填空题 12．某个容量1000的样本的频率分布直方图如下，则在区间上的数据的频数为 ． 【答案】300 【分析】根据频率分布直方图中矩形面积为对应频率，结合频数的概念计算即可. 【详解】根据题意，易知样本数据落在内的频率为， 故频数为. 故答案为：300 13．数学竞赛中，某校有共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设两人必须相邻且站在正中间，两人不能相邻，则不同的站法共有 种. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用相邻问题，再结合不相邻列式求解. 【详解】依题意，排，相邻且站在正中间，有种站法； 再排，不相邻，而两侧各有2个位置，即不在同侧， 在两侧各取1个位置再排列，共有种站法， 最后排有种站法， 所以不同的站法共有（种）. 故答案为：32 14．已知（），则 . 【答案】8 【分析】根据组合数性质有，再由即可得解. 【详解】由组合数性质知，，因为，所以， 所以，得. 故答案为：8. 15．设， ． 【答案】 【分析】根据二项式定理计算可得. 【详解】因为展开式的通项为： （且）， 所以 ． 故答案为： 四、解答题 16．下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图,请你根据统计图提供的信息解答以下问题: (1)本次一共调查了多少名学生.(2)在图(1)中将②对应的部分补充完整. (3)若该校有3 000名学生,你估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5时以下? 【答案】(1)200(2)见解析(3)150 【分析】(1) 由统计图可知①的人数是60人，根据扇形统计图可知①所占的比例是30%，即可求得本次一共调查的学生人数为60÷30%=200名；(2) 在②组的人数就是总人数减去其它各组的人数即可求解即可作出条形图中②的部分；(3) 如果学生总数为3000名时，学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下所占的百分比是5%，即可求得学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下学生总数． 【详解】(1)从题图中知,选①的共60人,占总人数的百分比为30%,所以总人数为60÷30%=200,即本次一共调查了200名学生. (2)被调查的学生中,选②的有200-60-30-10=100(人),补充完整的条形统计图如图所示. (3)3 000×5%=150,估计全校有150名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5时以下. 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时本题还考查了条形统计图和扇形统计图的作法． 17．某校高一年级共有450名男生，为了解他们的身高情况，从中随机抽查了50名学生，测得他们的身高数据（单位：cm）如下： 151     153     157     159     160    161     162     163     163     164 164     164     165     165     166    166     167     167     168     168 169     169     169     170     170     170    171     171     172     172 172     173     173     173     173     173    174     175     175     176 176     177     177     178     178     179     180    181     181     183 (1)列出频率分布表并画出频率分布直方图； (2)估算该年级身高在内的男生人数； (3)估算该年级身高在170cm以下的男生人数． 【答案】(1)答案见解析 (2)126（人） (3)207（人） 【分析】（1）求出这组数据的极差，确定组距，分组，计算相应的分组频率，就得到频率分布表，绘制频率分布直方图； （2）由统计图表可以估计，总体中约有的男生身高在内，进而可得答案； （3）求出样本中身高在170cm以下的男生所占比例，进而可得答案. 【详解】（1）这组数据的最大值为183，最小值为151，极差为32． 为分组的方便，取略大的身高范围，同时取组距为5，分为7组． 计算相应的分组频率，就得到下面的频率分布表． 身高分段 发生次数 频率 2 2 8 11 14 9 4 总计 50 绘制频率分布直方图，如图．    （2）由频率分布表和频率分布直方图可以估计，总体中约有的男生身高在内． 由于全年级共有450名男生，所以该年级身高在内的男生大约有（人）． （3）样本中身高在170cm以下的男生所占比例约为， 所以该年级身高在170cm以下的男生大约有（人）． 18．已知的展开式的第5，6，7项的二项式系数依次成等差数列，且展开式的项数为偶数． (1)求的值； (2)求二项展开式中系数的绝对值最大的项． 【答案】(1) (2)第7项． 【分析】（1）根结题意，得到，即，进而求得的值； （2）由（1）求得展开式的通项为，假设二项展开式中系数绝对值最大的是第项，列出不等式组，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由二项式的展开式的第5，6，7项的二项式系数依次成等差数列， 可得，即，解得或， 又因为展开式的项数为偶数，所以. （2）解：由（1）知： 可得展开式的通项为， 假设二项展开式中系数绝对值最大的是第项， 则满足，解得， 因为，所以，即二项展开式中系数绝对值最大的项为第7项． 19．已知函数． (1)若，求的取值范围； (2)证明：若有两个零点，，则． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求导，分别解不等式，即可； （2）设，结合（1）可知，构造函数，利用导数判断单调性即可得，结合在上单调递减即可得证. 【详解】（1）由题意知函数的定义域为， 解得，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以，解得， 所以的取值范围为． （2）不妨设，则由（）知，， 构造函数， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，，即当时，， 所以， 又在上单调递减， 所以，即． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$