《第27章 相似》单元训练题2024-2025学年人教版数学九年级下册

人教新版九年级数学下册《第27章 相似》单元训练题 一．选择题（共8小题） 1．（2022秋•石狮市期末）如图，直线a、b被三条互相平行的直线l1，l2，l3所截，AB＝2，BC＝1，则DE：DF＝（　　） A．1：3 B．2：3 C．1：2 D．2：1 2．（2021秋•奉贤区校级期中）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（　　） A．DE∥BC B．∠AED＝∠B C． D． 3．（2024秋•南关区期中）如图，△ABC是△DEF经过位似变换得到的，点O是位似中心，AD＝2OD．若△DEF的面积为3，则△ABC的面积为（　　） A．6 B．9 C．18 D．27 4．（2025•惠济区一模）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的边OA在x轴上，且A（6，0），B（7，3），C（1，3）．将▱OABC绕点O逆时针旋转，得到四边形OA′B′C′，使点C的对应点C′落在BC的延长线上，OA′与BC交于点E，则点E的坐标为（　　） A．（3，4） B．（4，3） C．（5，3） D． 5．（2024秋•任丘市校级期中）△ABO三个顶点的坐标分别为A（4，﹣6）、B（6，0）、O（0，0），以原点O为位似中心画一个△A′B′O′，使它与△ABO位似，且位似比是1：2，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（2，﹣3） B．（8，﹣12） C．（2，﹣3）或（﹣2，3） D．（8，﹣12）或（﹣8，12） 6．（2024秋•巴中期末）如图，已知AB∥CD∥EF，且AB＝1，CD＝3，则EF的长是（　　） A． B． C． D． 7．（2024秋•侯马市期中）“等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段AB的一个端点A任意画一条射线AP，在AP上依次取五段相等的线段AA1、A1A2、A2A3、A3A4、A4A5，连结BA5，再分别过点A1、A2、A3、A4画BA5的平行线，则这些平行线就恰好将线段AB平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（　　） A．平行于同一条直线的两条直线互相平行 B．同位角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行线分线段成比例 8．（2024秋•浦东新区校级月考）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∠ABC的平分线交AC于D，在所有三角形中，相似的是（　　） A．△ABD∽△BCD B．△ABC∽△ABD C．△ABC∽△BDC D．不存在 二．填空题（共6小题） 9．（2024秋•乌当区月考）《墨子•天志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，则图中围着正方形A′B′C′D′的圆的周长为 　 　 ． 10．（2023秋•冠县期末）已知△ABC与△A′B′C′的相似比为，且S△ABC+S△A′B′C′＝91，则△A′B′C′的面积是 　 　 ． 11．（2024秋•未央区期末）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜C设计为整个车身黄金分割点的位置，若该车车身总长AB约为5米，则车头A与后视镜C的水平距离约为 　 　 米．（提示：黄金分割比＝） 12．（2024秋•秦皇岛校级期末）如图所示，正方形ABCD边长是4，BE＝CE，MN＝2，线段MN的端点M、N分别在CD、AD上滑动，当DM＝　 　 时，△NDM∽△EBA． 13．（2024秋•宁江区期末）如果两个等边三角形的周长的比是1：4，那么它们的面积比是 　 　 ． 14．（2024秋•武陵区校级期中）如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2m，BP＝1.8m，PD＝24m，那么该大厦的高度约为 　 　 m． 三．解答题（共4小题） 15．（2025•陇南模拟）如图，已知点O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）． （1）以点O为位似中心在y轴左侧将△OBC放大到2倍（即新图与原图的相似比为2），画出△OB1C1，并写出B，C两点的对应点B1，C1的坐标． （2）将△OBC绕点O逆时针旋转90°得到△OB2C2，画出图形． 16．（2023秋•信阳期末）阅读下面材料，完成学习任务： 数学活动 测量树的高度 在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB测量和计算的部分步骤如下： ①如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时．测得小华到平面镜的距离CD＝2米，小华的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米； ②将平面镜从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离FH＝3米； ③计算树的高度AB：设AB＝x米，BC＝y米． ∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD ∴△ABC∽△EDC ∴…… 任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 17．如图，已知BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A分别作BD，CE的垂线，交BD，CE于点F，G，交直线BC于点M，N．求证：FG∥MN，FG＝（AB+BC+AC）． 18．（2024•花山区二模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D、E分别在边AB、BC上，连接AE、DE，恰好∠AEC＝∠BED，过点D作AE的垂线，垂足为点F，且交边AC于点G． （1）设∠AEC＝α，用含α的代数式表示∠ADG为 　 　 ； （2）求证：△BDE∽△ADG； （3）求的值． 人教新版九年级数学下册《第27章 相似》单元训练题 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D B C D D C 一．选择题（共8小题） 1．（2022秋•石狮市期末）如图，直线a、b被三条互相平行的直线l1，l2，l3所截，AB＝2，BC＝1，则DE：DF＝（　　） A．1：3 B．2：3 C．1：2 D．2：1 【分析】由平行线分线段成比例的性质可得AB：BC＝DE：EF，进一步可求得DE：DF． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴AB：BC＝DE：EF＝2：1， ∴DE：DF＝2：3， 故选：B． 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 2．（2021秋•奉贤区校级期中）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（　　） A．DE∥BC B．∠AED＝∠B C． D． 【分析】根据题意画出图形，再由相似三角形的判定定理进行解答即可． 【解答】解：如图， A、∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，故A不符合题意； B、∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB，故B不符合题意； C、∵AE：AD＝AB：AC，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB，故C不符合题意； D、AE：DE＝AC：BC，不能使△ADE和△ABC相似，故D符合题意． 故选：D． 【点评】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理． 3．（2024秋•南关区期中）如图，△ABC是△DEF经过位似变换得到的，点O是位似中心，AD＝2OD．若△DEF的面积为3，则△ABC的面积为（　　） A．6 B．9 C．18 D．27 【分析】由△DEF与△ABC位似，可得到△DEF∽△ABC，又由相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得S△DEF：S△ABC＝（）2，由题意可知D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，可得DE是△OAB的中位线，由中位线的性质即可求得结果． 【解答】解：∵△DEF是由△ABC经过位似变换得到的， ∴△DEF∽△ABC， ∴S△DEF：S△ABC＝（）2， ∵AD＝2OD， ＝． ∴＝＝． ∴DE：AB＝1：3， ∴S△DEF：S△ABC＝1：9． ∵△DEF的面积为3， ∴△ABC的面积为27． 故选：D． 【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方． 4．（2025•惠济区一模）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的边OA在x轴上，且A（6，0），B（7，3），C（1，3）．将▱OABC绕点O逆时针旋转，得到四边形OA′B′C′，使点C的对应点C′落在BC的延长线上，OA′与BC交于点E，则点E的坐标为（　　） A．（3，4） B．（4，3） C．（5，3） D． 【分析】过点C′作C′F⊥OC于点F，过点E作EG⊥x轴于点G，根据题意可求CC′＝2，再利用勾股定理可求，易证△OHC∽△C′FC，求得，易证△C′OF∽△EOG，求得OG＝4，即可求解． 【解答】解：设CC′交y轴于点H，过点C′作C′F⊥OC于点F，过点E作EG⊥x轴于点G， ∴∠C′FO＝∠EGO＝90°， 由条件可得EG＝OH＝3，HC＝1，OH⊥CC′， ∴∠OHC＝∠OHC′， 由旋转得，OC＝OC′，∠C′OF＝∠EOG， 在△OC′H和△OCH中， ， ∴△OC′H≌△OCH（SAS）， ∴CH＝HC′＝1， ∴CC′＝2， 在直角△OCH中，OC＝＝， ∵∠C′CO＝∠C′CO，∠OHC＝∠C′FC， ∴△OHC∽△C′FC， ∴， ∴， ∵∠C′OF＝∠EOG，∠C′FO＝∠EGO， ∴△C′OF∽△EOG， ∴， ∴， ∴OE＝5， ∴OG＝＝4， ∴点E的坐标为（4，3）， 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握是解答本题的关键． 5．（2024秋•任丘市校级期中）△ABO三个顶点的坐标分别为A（4，﹣6）、B（6，0）、O（0，0），以原点O为位似中心画一个△A′B′O′，使它与△ABO位似，且位似比是1：2，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（2，﹣3） B．（8，﹣12） C．（2，﹣3）或（﹣2，3） D．（8，﹣12）或（﹣8，12） 【分析】分△A′B′O′与△ABO在原点同侧和异侧两种情况，根据位似图形对应点坐标的特点进行求解即可 【解答】解：当△A′B′O′与△ABO在原点同侧时， ∵△A′B′O′与△ABC关于原点位似，且位似比是1：2，A（4，﹣6）， ∴，即A′（2，﹣3）； 当△A′B′O′与△ABO在原点异侧时， ∵△A′B′O′与△ABC关于原点位似，且位似比是2：1，A（4，﹣6）， ∴，即A′（﹣2，3）； 则点A的对应点A′的坐标是（2，﹣3）或（﹣2，3）， 故选：C． 【点评】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，注意分△A′B′O′与△ABO在原点同侧和异侧两种情况讨论． 6．（2024秋•巴中期末）如图，已知AB∥CD∥EF，且AB＝1，CD＝3，则EF的长是（　　） A． B． C． D． 【分析】通过证明△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD得到，，从而可得，然后代入AB＝1，CD＝3即可求出EF的长． 【解答】解：∵AB∥EF， ∴△DEF∽△DAB， ∴， ∵CD∥EF， ∴△BEF∽△BCD， ∴， ∴+＝+＝1， ∴， 解得：． 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键． 7．（2024秋•侯马市期中）“等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段AB的一个端点A任意画一条射线AP，在AP上依次取五段相等的线段AA1、A1A2、A2A3、A3A4、A4A5，连结BA5，再分别过点A1、A2、A3、A4画BA5的平行线，则这些平行线就恰好将线段AB平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（　　） A．平行于同一条直线的两条直线互相平行 B．同位角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行线分线段成比例 【分析】根据平行线分线段成比例即可求解． 【解答】解：过线段AB的一个端点A任意画一条射线AP，在AP上依次取五段相等的线段AA1、A1A2、A2A3、A3A4、A4A5，连结BA5，再分别过点A1、A2、A3、A4画BA5的平行线，则这些平行线就恰好将线段AB平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即平行线分线段成比例． 故选：D． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 8．（2024秋•浦东新区校级月考）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，∠ABC的平分线交AC于D，在所有三角形中，相似的是（　　） A．△ABD∽△BCD B．△ABC∽△ABD C．△ABC∽△BDC D．不存在 【分析】两组角对应相等的两个三角形相似，由此即可判断． 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝×（180°﹣36°）＝72°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°， ∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝72°， ∴∠ADB＝180°﹣∠BDC＝108°， A、△ABD是钝角三角形，△BCD是锐角三角形，两三角形不相似，故A不符合题意； B、△ABD是钝角三角形，△ABC是锐角三角形，两三角形不相似，故B不符合题意； C、由∠ABC＝∠C＝72°，∠ACB＝∠BDC＝72°，推出△ABC∽△BDC，故C符合题意； D、存在相似的两个三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 二．填空题（共6小题） 9．（2024秋•乌当区月考）《墨子•天志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，则图中围着正方形A′B′C′D′的圆的周长为 　2　 ． 【分析】连接OA′、OD，根据位似图形的概念得到点O、A、A′在同一条直线上，且＝＝，进而求出OA′，再根据圆的周长公式计算即可． 【解答】解：如图，连接OA′、OD， ∵正方形ABCD的周长为4， ∴AD＝1， ∴OA＝OD＝AD＝， ∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形， ∴点O、A、A′在同一条直线上，且＝＝， ∴OA′＝， ∴图中围着正方形A′B′C′D′的圆的周长为：2π×＝2π， 故答案为：2π． 【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念是解题的关键． 10．（2023秋•冠县期末）已知△ABC与△A′B′C′的相似比为，且S△ABC+S△A′B′C′＝91，则△A′B′C′的面积是 　63　 ． 【分析】先根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得到，再进行计算即可． 【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为， ∴S△ABC：△S△A′B′C′＝4：9 ∴， ∴， ∴S△A′B′C′＝63， 故答案为：63． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 11．（2024秋•未央区期末）某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜C设计为整个车身黄金分割点的位置，若该车车身总长AB约为5米，则车头A与后视镜C的水平距离约为 　　 米．（提示：黄金分割比＝） 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵汽车后视镜C设计为整个车身黄金分割点的位置，该车车身总长AB约为5米， ∴BC＝AB＝×5＝（米）， ∴AC＝AB﹣BC＝5﹣＝（米）， ∴车头A与后视镜C的水平距离约为米， 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割，二次根式的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12．（2024秋•秦皇岛校级期末）如图所示，正方形ABCD边长是4，BE＝CE，MN＝2，线段MN的端点M、N分别在CD、AD上滑动，当DM＝　或　 时，△NDM∽△EBA． 【分析】根据题目已知条件发现这两个三角形都是直角三角形，如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 【解答】解：∵正方形ABCD边长是4， ∴BE＝CE＝2，∠B＝∠D＝90°， ∴在Rt△ABE中，AE＝＝2， 当△NDM∽△EBA时，AE：MN＝AB：DM，即2：2＝4：DM， ∴DM＝． 当△MDN∽△EBA时，AE：MN＝BE：DM，即2：2＝2：DM， ∴DM＝． 综上所述，当DM＝或时，△NDM∽△EBA． 故答案为：或． 【点评】本题考查了直角三角形相似的判定定理，需注意边的对应关系． 13．（2024秋•宁江区期末）如果两个等边三角形的周长的比是1：4，那么它们的面积比是 　1：16　 ． 【分析】由两个等边三角形相似，然后根据相似三角形的性质，相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【解答】解：∵等边三角形的三个内角都相等，且等于60°， ∴两个等边三角形的三个内角都等于60°， ∴两个等边三角形相似， ∵两个等边三角形的周长的比是， ∴两个等边三角形的边长的比是， ∴两个等边三角形的面积比是1：16， 故答案为：1：16． 【点评】本题考查了相似三角形的性质及等边三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 14．（2024秋•武陵区校级期中）如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2m，BP＝1.8m，PD＝24m，那么该大厦的高度约为 　16　 m． 【分析】因为小玲和新华大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答． 【解答】解：根据题意，∠ABP＝∠CDP，∠APB＝∠CPD， ∴△ABP∽△CDP． 即 故； 那么该古城墙的高度是16m， 故答案为：16． 【点评】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 三．解答题（共4小题） 15．（2025•陇南模拟）如图，已知点O是坐标原点，B，C两点的坐标分别为（3，﹣1），（2，1）． （1）以点O为位似中心在y轴左侧将△OBC放大到2倍（即新图与原图的相似比为2），画出△OB1C1，并写出B，C两点的对应点B1，C1的坐标． （2）将△OBC绕点O逆时针旋转90°得到△OB2C2，画出图形． 【分析】（1）根据位似图形的性质画图即可，由图形可得点B1、C1的坐标； （2）根据旋转的性质画图即可． 【解答】解：（1）如图，△OB1C1即为所求作，点B1的坐标为（﹣6，2），点C1的坐标为（﹣4，﹣2）； （2）如图，△OB2C2即为所求． 【点评】本题考查了位似作图，旋转作图，坐标与图形，掌握位似图形和旋转的性质是解题的关键． 16．（2023秋•信阳期末）阅读下面材料，完成学习任务： 数学活动 测量树的高度 在物理学中我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一棵树的高度AB测量和计算的部分步骤如下： ①如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在BC的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时．测得小华到平面镜的距离CD＝2米，小华的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米； ②将平面镜从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离FH＝3米； ③计算树的高度AB：设AB＝x米，BC＝y米． ∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD ∴△ABC∽△EDC ∴…… 任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整． 【分析】设AB＝x米，BC＝y米．利用相似三角形的性质构建方程组即可解决问题； 【解答】解：设AB＝x米，BC＝y米． ∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD ∴△ABC∽△EDC ∴， ∴， ∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH ∴△ABF∽△GHF， ∴， ∴， ∴， 解得y＝20， 把y＝20代入中， 得解得x＝15 ∴树的高度AB为15米． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会设未知数，构建方程组解决问题． 17．如图，已知BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A分别作BD，CE的垂线，交BD，CE于点F，G，交直线BC于点M，N．求证：FG∥MN，FG＝（AB+BC+AC）． 【分析】利用“角边角”证明△ABF和△MBF全等，根据全等三角形对应边相等可得AF＝MF，AB＝MB，同理可得AG＝NG，AC＝NC，从而得到FG是△AMN的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明即可． 【解答】证明：∵BD是△ABC的外角平分线， ∴∠ABF＝∠MBF， ∵BD⊥AF， ∴∠AFB＝∠MFB＝90°， 在△ABF和△MBF中，， ∴△ABF≌△MBF（ASA）， ∴AF＝MF，AB＝MB， 同理可得AG＝NG，AC＝NC， ∴FG是△AMN的中位线， ∴FG∥MN， FG＝（MB+BC+NC）， 即FG＝（AB+BC+AC）． 【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，全等三角形的判定与性质，判断出FG是△AMN的中位线是解题的关键，也是本题的难点． 18．（2024•花山区二模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D、E分别在边AB、BC上，连接AE、DE，恰好∠AEC＝∠BED，过点D作AE的垂线，垂足为点F，且交边AC于点G． （1）设∠AEC＝α，用含α的代数式表示∠ADG为 　135°﹣α　 ； （2）求证：△BDE∽△ADG； （3）求的值． 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠CAE＝90°﹣α，进而求出∠AGF＝90°﹣∠CAE＝α，根据等腰直角三角形的性质求出∠GAD＝45°，再根据三角形内角和定理求解即可； （2）结合（1）求出∠AGD＝∠BED，∠GAD＝∠EBD＝45°，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解； （3）过点A作AM⊥CA，过点B作BM⊥CB，AM、BM交于点M，延长GD交BM于点P，连接AP，过点P作PN⊥CA于点N，结合正方形的性质推出四边形CBMA是正方形，根据正方形的性质利用CCS证明△BED≌△BPD，得出BE＝BP，进而求出四边形PMAN是矩形，根据矩形的性质得出PM＝AN，PN＝AM＝CB＝CA，利用AAS证明△PNG≌△ACE，根据矩形的性质、全等三角形的性质求出CE＝NG＝PM＝AN，则AG＝2CE，据此即可得解． 【解答】解：（1）∵∠C＝90°， ∴∠CEA+∠CAE＝90°， ∵∠CEA＝α， ∴∠CAE＝90°﹣α， ∵DG⊥AE， ∴∠CAE+∠AGF＝90°， ∴∠AGF＝90°﹣∠CAE＝α， ∵∠C＝90°，CB＝CA， ∴∠B＝∠CAB＝45°， 在△AGD中，∠GAD＝45°，∠AGD＝α， ∴∠ADG＝180°﹣∠AGD﹣∠GAD＝180°﹣α﹣45°＝135°﹣α， 故答案为：135°﹣α； （2）证明：由（1）得，∠AGD＝∠CEA＝α， ∵∠CEA＝∠BED， ∴∠AGD＝∠CEA＝∠BED， 又∵∠GAD＝∠EBD＝45°， ∴△BED∽△AGD； （3）如图，过点A作AM⊥CA，过点B作BM⊥CB，AM、BM交于点M，延长GD交BM于点P，连接AP，过点P作PN⊥CA于点N， ∴∠MAC＝∠ACB＝∠CBM＝90°， ∴四边形CBMA是矩形， ∵CB＝CA， ∴四边形CBMA是正方形， ∴∠EBD＝∠PBD＝45°，CA∥BM，CB＝BM，∠M＝90°， ∴∠AGD＝∠BPD＝∠BED， ∴△BED≌△BPD（AAS）， ∴BE＝BP， ∴CE＝MP， ∵∠MAN＝∠ANP＝M＝∠90°， ∴四边形PMAN是矩形， ∴PM＝AN，PN＝AM＝CB＝CA， ∴△PNG≌△ACE（AAS）， ∴NG＝CE， ∴CE＝NG＝PM＝AN， ∴AG＝2CE， ∴＝． 【点评】此题是三角形综合题，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/30 21:02:56；用户：郭海松；邮箱：13597576921；学号：39987097 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$