北京市北京大学附属中学元培学院2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年第一学期北大附中元培学院高一期中考试 数学试卷 2024.11 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 角对应的弧度制大小和终边所在象限分别是（ ） A. ，第一象限 B. ，第一象限 C. ，第二象限 D. ，第二象限 3. 比较，，的大小关系，结果为（ ） A. B. C. D. 4. “是第一或第二象限角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列函数中，在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6. 割圆术是极限思想在古代数学中的呈现．直观地讲，就是将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形，当很大时，认为等腰三角形的面积之和充分接近于圆的面积．运用割圆术的思想，可得到的近似值为（ ） A. B. C. D. 7. 关于函数的性质，下列说法正确的是（ ） A. 在上是增函数，且曲线存在对称轴 B. 在上是增函数，且曲线存在对称中心 C. 在上是减函数，且曲线存在对称轴 D. 在上是减函数，且曲线存在对称中心 8. 下列区间中包含函数的零点的是（ ） A. B. C. D. 9. 函数的图象与水平直线交于不同两点，则两交点的横坐标之和（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 有最小值，无最大值 C. 既有最大值，也有最小值 D. 既无最大值，也无最小值 10. 在信息通信技术领域中，香农公式是广泛公认的理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中称为信噪比．以下有关于香农公式的个命题，其中正确的是（ ） ①若将视为常数，则随信噪比增大而逐渐增大，且增长速度越来越慢； ②令保持不变，信噪比从增大到，可以使增大为原来的倍； ③由于技术提升，信道带宽变为原来的倍，信噪比从原来的提升到，则提升后的最大信息传递速率比提升前增大了约．（取） A. ①② B. ①②③ C. ①③ D. ① 第二部分（非选择题 共70分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 若为第四象限角，且，则________ . 12. 偶函数在上满足，则当时，______． 13. 已知，，则不等式的解集为______． 14. 老师给出一个函数，四个学生甲、乙、丙、丁各指出函数的一个性质． 甲：对于，都有； 乙：函数在上是减函数； 丙：函数在上是增函数； 丁：不是函数的最小值． 如果其中恰有三人说的正确，请写出一个这样的函数：______． 15. 地铁某换乘站设有编号为、、、、的五个安全出口．若同时开放其中两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 、 、 、 、 、 疏散乘客时间（s） 160 140 220 200 120 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是______． 三、解答题共5小题，每小题10分，共50分． 16. 求不等式的解集． （1）； （2）； （3）． 17. 已知． （1）若对一切有，且，求、的值； （2）令． ①直接写出的值域：______；（用含的式子表示） ②若函数的值域与的值域相同，求的取值范围． 18. 已知幂函数在定义域上不单调． （1）求函数的解析式； （2）函数是否具有奇偶性？请说明理由； （3）若，求实数的取值范围． 19. 随着经济发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习已知前四年，平台会员的个数如图所示： （1）依据图中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数千人，并求出你选择模型的解析式；①②且，③且. （2）为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定无论怎样发展，会员人数不得超过千人，请依据（1）中你选择的函数模型求的最小值. 20. 对定义域为的函数，若存在使得，则称是函数的一阶不动点，简称不动点；若存在使得，则称是函数的二阶不动点，简称稳定点． （1）判断函数在上是否有稳定点（直接写出结论）； ①______；②______． （2）概念举例：写出满足下列要求的一个函数（直接写出结论）； ①不是且有无穷多个不动点：______； ②有无穷多个稳定点，且这些稳定点不都是不动点：______． （3）已知在上有且仅有个一阶不动点． ①求实数的取值范围； ②在上有几个稳定点？并说明理由． 2024-2025学年第一学期北大附中元培学院高一期中考试 数学试卷 2024.11 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】A 第二部分（非选择题 共70分） 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】（答案不唯一） 【15题答案】 【答案】 三、解答题共5小题，每小题10分，共50分． 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1）， （2）①；② 【18题答案】 【答案】（1）； （2）奇函数，理由如下： 函数的定义域关于原点对称， 且， ∴函数为奇函数. （3）. 【19题答案】 【答案】（1）选择③且， （2） 【20题答案】 【答案】（1）①没有；②有. （2）①（答案不唯一）；②（答案不唯一）. （3）①； ②因为，则，必有， 令，， 则内层函数在上单调递增， 因为外层函数为增函数，故函数在上增函数， 不妨设函数在上的一个稳定点为，即. 若，则，矛盾； 若，则，矛盾. 故必有，即函数的稳定点必为该函数的不动点. 因为函数在区间上只有一个不动点， 因此，函数在上有且只有一个稳定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $