精品解析：广东省东源中学2024-2025学年高二下学期段考1数学试卷

东源中学2024-2025学年高二第二学期段考（1）——数学 命题人：何浩灵 审题人：曹丽妥 考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，令，解不等式求解单调区间即可. 【详解】由题意得，定义域为，， 令，解得， 故函数的单调递减区间是. 故选：C 2. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先求导数，再求. 【详解】，所以. 故选：A 3. 已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（ ） A. （，-1） B. （e，1） C. （，） D. （0，1） 【答案】B 【解析】 【分析】根据曲线图象上过原点的切线，来求得切点的坐标. 【详解】直线过原点， 设是曲线上任意一点， ，所以在点的曲线的斜率为， 所以在点的曲线的切线方程为， 即，将代入上式得， 所以切点为. 故选：B 4. 某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（ ） A. 0m/s B. 1m/s C. 2m/s D. 3m/s 【答案】D 【解析】 【分析】根据瞬时速度的概念即可利用平均速度取极限求解. 【详解】该物体在时间段上的平均速度为，当无限趋近于0时，无限趋近于3，即该物体在s时的瞬时速度为3m/s． 故选：D 5. 函数（　　） A. 有最值，但无极值 B. 有最值，也有极值 C. 既无最值，也无极值 D. 无最值，但有极值 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数研究在上的单调性，即可判断各项是否符合. 【详解】，则，， 所以在上单调递减，无最大值和最小值，也无极值． 故选：C 6. 已知是的导函数，的图象如图所示，则的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的几何意义可知，原函数先增长“迅速”，后增长“缓慢”. 【详解】由题中的图象可以看出，在内，， 且在内，单调递增， 在内，单调递减， 所以函数在内单调递增， 且其图象在内越来越陡峭， 在内越来越平缓． 故选：D． 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，函数在上单调递增，即每段函数均为增函数，且当时，前一段函数的函数值不大于后一段函数的函数值，列出不等式组，即得解 【详解】① 当时，只需时显然成立，时，，令，，可得函数的减区间，增区间为，故有，得； ② 当时，，有. ③ 当 时，，即. 故实数的取值范围为. 故选 ：B 【点睛】本题考查了已知分段函数的单调性求参数范围，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题 8. 函数在上的最大值为2，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得导函数的解析式，根据导函数在区间(0,2)内的正负的不同情况,分类讨论研究函数的单调性和最大值，从而求得实数的取值范围. 【详解】解:由函数的解析式可得:， 当≤0时,即时，在内恒成立，函数在区间上单调递增,而,不合题意; 当≥2，即时,在内恒成立，函数导函数在区间[0, 2]上单调递减,而f(0)=2 ,满足题意; 当，即时，在区间上, 函数单调递减,在区间 上, 函数单调递增，满足题意时有 ,即: , 解得 ,此时 , 综上可得,实数的取值范围是[4 , +∞) . 故选: D. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，关键是分类讨论思想的运用. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若答案是2个的，每个给3分，若答案是3个的，每个给2分） 9. （多选）下列函数中，在区间上为增函数的是（     ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦函数的单调性及导函数在区间上的正负分别判断各个选项. 【详解】对于A：单调递减，A选项错误； 对于B：当，所以函数单调递增，B选项正确； 对于C：当，所以函数单调递增，C选项正确； 对于D：当，所以函数单调递减，D选项错误； 故选：BC. 10. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位偶数，下列正确的选项有（     ） A. 如果个位数是0，则前3位有种排列 B. 如果个位是2或4，则前3位有种排列 C. 符合题意的四位偶数共有156种 D. 符合题意的四位偶数共有300种 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：直接排前三位即可；对于B：先排首位，再排中间两位；对于CD：结合选项AB分析求解即可. 【详解】对于选项A：若末位是0时，前三位从1至5中任选3个排至前三位即可， 所以有种排列，故A正确； 对于选项B：若末位是2或4时，则首位不能为0，有种排放， 中间两位从剩余的4个数字中任选2个排列，有种排放， 所以前3位有种排列，故B正确； 对于选项CD：若个位数是0，由选项A可知有种排法； 若个位是2或4，由选项B可知有种排法； 所以符合题意的四位偶数共有种，故C正确，D错误； 故选：ABC. 11. 如图，c为函数的极小值点，已知直线与曲线相切于A、B两点，设A，B两点的横坐标分别为a，b，函数，下列说法正确的有（ ） A. 有极大值，也有极小值 B. 是的极小值点 C. 是的极大值点 D. 是的极大值点 【答案】AB 【解析】 【分析】结合导函数的几何意义，在对应区间上判断与的大小关系，进而利用导数判断函数的单调性，从而判断极大值与极小值，进而结合选项即可得出结论. 【详解】设c为函数的极小值点，=， 当时，，故，在上单调递减， 故在处取得极小值，同理在处取得极小值，由连续函数的性质可得函数有极大值，故AB正确，C错误， 由题意，，所以不是的极大值点，故D错误. 故选：AB. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若曲线在处有最值，则实数的值为_________ 【答案】1 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据函数单调性得出最值即可求参. 【详解】曲线，定义域为，所以， 当时，所以单调递减，无最大值不合题意； 当时，单调递减，单调递增，所以时函数取最大值， 因为函数在处有最值，所以 故答案为： 13. 已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果． 【详解】由. ①当时，函数单调递增，不合题意； ②当时，函数的极值点为， 若函数在区间不单调，必有，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，这是解决本题的关键点和突破点. 14. 瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中为直角三角形，其直角顶点在轴上，点是斜边上一点，其“欧拉线”是正切曲线以点为切点的切线，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意的“欧拉线”即为直线，求出正切曲线在点处的切线方程，即的方程，令可得答案. 【详解】因为是直角三角形，所以其垂心为直角顶点，其外心为斜边的中点， 故的“欧拉线”即为直线， 由题设知直线即为正切曲线以点为切点的切线， 又点在斜边上，故的外心即为点， 由 所以正切曲线在点处的切线的斜率为 故其“欧拉线”的方程为， 令，得，所以∴. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数求切线方程和新定义的应用，解答本题的关键由“欧拉线”的定义结合为直角三角形，利用条件得出的“欧拉线”即为直线，由导数的几何意义求出切线方程，可得答案，属于中档题. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 若，，求： （1）的单调增区间； （2）在上的最小值和最大值. 【答案】(1) 增区间为;(2) . 【解析】 【详解】分析：（1）求导，解不等式得到的单调增区间； （2）求出极值与端点值，经比较得到在上的最小值和最大值. 详解： （1）， 由 解得， 的增区间为； （2）， （舍）或， , , ， 点睛：函数的最值 (1)在闭区间上连续的函数f(x)在上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 16. 已知首项为1的等差数列满足：成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案； （2）令，得，两式相减得，又，即得 【小问1详解】 设公差为d，又成等比数列， 所以， 又，即，解得或， 而时，不满足成等比数列，所以， 所以. 【小问2详解】 令， 所以， 两式相减有：， 所以数列的前项和为，即， 又，所以， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，． （1）证明：直线平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接， 因为，所以， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，又平面，所以， 又，，所以， 所以，又，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用面面垂直性质定理可得平面，可得，进而由已知可得，可证平面； （2）连接，可证两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法可求直线与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为， 所以，又， 所以是二面角的平面角， 又平面平面，所以， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）知，平面，又平面， 所以，且， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值； （2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围 （3）若在定义域内有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义得到处切线的斜率，然后利用垂直列方程求解即可； （2）根据在上单调递增，得到在上恒成立，然后分离参数得到，将恒成立问题转化为最值问题，然后求最值即可； （3）分和两种情况讨论的单调性，然后利用零点存在性定理求解即可. 【小问1详解】 ，则， 因为切线与直线垂直，所以，解得. 【小问2详解】 ，则， 在上单调递增，所以在上恒成立，即， 令，则，当时取得最小值，，所以. 【小问3详解】 当时，，则单调递增，不可能有两个零点； 当时，时，；时，，则在上单调递增，上单调递减， ，解得，此时，，，令，则，，所以当时，单调递减，，所以当时，，即, 所以所以有两个零点，故. 19. 已知椭圆的上顶点为，离心率为是椭圆上不与点重合的两点，且. （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 如图，当直线的倾斜角为时，显然不合题意； 设直线的方程为：. 联立消去得. ，即. . ， 又， ， ， 即， ，解得或（舍）. 直线的方程为：，即直线过定点. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得到的方程组，求解即得； （2）设直线的方程为：，联立椭圆方程，由韦达定理，结合，即可求得的值，从而得解； （3）由弦长公式，结合三角形面积公式及函数单调性即可求解. 【小问1详解】 依题意有解得， 椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 点到直线的距离， ， 的面积 令，则， ， 因函数在上单调递减；在上单调递增， 所以当时，取得最小值为，即， 故， 即面积的最大值为. 【点睛】关键点点睛：（2）题的关键在于根据，利用向量点乘和韦达定理配合，推理得到，有一定的运算量；（3）题的关键在于利用弦长公式和面积公式求得的表达式后，需要换元，将问题转化成利用对勾函数单调性求解的最值问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东源中学2024-2025学年高二第二学期段考（1）——数学 命题人：何浩灵 审题人：曹丽妥 考试时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 3. 已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（ ） A. （，-1） B. （e，1） C. （，） D. （0，1） 4. 某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（ ） A. 0m/s B. 1m/s C. 2m/s D. 3m/s 5. 函数（　　） A. 有最值，但无极值 B. 有最值，也有极值 C. 既无最值，也无极值 D. 无最值，但有极值 6. 已知是的导函数，的图象如图所示，则的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数在上的最大值为2，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若答案是2个的，每个给3分，若答案是3个的，每个给2分） 9. （多选）下列函数中，在区间上为增函数的是（     ） A. B. C. D. 10. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位偶数，下列正确的选项有（     ） A. 如果个位数是0，则前3位有种排列 B. 如果个位是2或4，则前3位有种排列 C. 符合题意的四位偶数共有156种 D. 符合题意的四位偶数共有300种 11. 如图，c为函数的极小值点，已知直线与曲线相切于A、B两点，设A，B两点的横坐标分别为a，b，函数，下列说法正确的有（ ） A. 有极大值，也有极小值 B. 是的极小值点 C. 是的极大值点 D. 是的极大值点 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若曲线在处有最值，则实数的值为_________ 13. 已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为___________. 14. 瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中为直角三角形，其直角顶点在轴上，点是斜边上一点，其“欧拉线”是正切曲线以点为切点的切线，则点的坐标为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 若，，求： （1）的单调增区间； （2）在上的最小值和最大值. 16. 已知首项为1的等差数列满足：成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，． （1）证明：直线平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值； （2）若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围 （3）若在定义域内有两个零点，求实数的取值范围. 19. 已知椭圆的上顶点为，离心率为是椭圆上不与点重合的两点，且. （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线恒过定点； （3）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $