精品解析：山东省烟台市招远市第二中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试题

2024~2025学年度第二学期期中月考 高一数学 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上． 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有，一项符合题目要求． 1. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线基本定理求解即可. 【详解】因为，所以，则，解得. 故选：A 2. 已知，则的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式即可. 【详解】 故选：C 3. 在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，作出几何图形，再利用向量线性运算求解即得. 【详解】在中，M为BC的中点，，， 所以. 故选：C 4. 已知为直线外一点，且，若，，三点共线，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，，三点共线，可得，结合基本不等式即可求. 【详解】因为，，三点共线， 所以存在非零实数，使得， 所以， 所以， 所以， 所以. 当时等号成立，所以的最小值为 故选：A 5. 已知，均为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系以及配凑法即可求解. 【详解】因， 又因为，均为锐角，则，所以，， 所以， 故选：C 6. 在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量法求得的余弦值. 【详解】 因为，，， 由余弦定理得， 所以， 所以为直角三角形，且， 以为原点，建立如图直角坐标系： 所以， 所以， 所以 故选：C 7. 如图，在长方形中，，，点在上，且，点，分别是边，上的动点，满足，则面积的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】通过设未知数，利用勾股定理建立PM与PN的关系，再结合三角形面积公式，根据均值不等式求出面积的最小值. 【详解】设，因为四边形是长方形，，，. 在中，根据勾股定理，可得. 因为，，所以， 又因为，则，所以（两角分别相等的两个三角形相似）. 由可得，已知，， 则，那么，所以. 中，根据勾股定理，可得. 因为，所以. 根据均值不等式，对于，， 有： ,（当且仅当，即时等号成立）. 因为，，所以，那么.  所以面积的最小值为. 故选：B 8. 已知的重心为，过点的直线分别与边，交于点，，若，，则的值为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】将用作为基底表示，根据三点共线即可求. 【详解】 因为，， 所以，， 因为的重心为， 所以， 又因为三点共线， 所以， 所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 起点相同的单位向量均相等 B. 若向量，则 C. 若向量，，则、不一定平行 D. 任意两向量、均有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据相等向量的概念可判断A选项；根据向量垂直的等价条件可判断B选项；根据共线向量的概念可判断C选项；利用平面向量数量积的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，起点相同的单位向量的方向不一定相同，故这些向量不一定相等，A错； 对于B选项，若向量，则，B对； 对于C选项，向量，，若，则、不一定平行； 若，若、中至少有一个为零向量，则、平行， 若、均为非零向量，可设，，则，则、平行， 综上所述，若向量，，则、不一定平行，C对； 对于D选项，若、中至少有一个零向量，则， 若、都为非零向量，设这两个向量的夹角为，则，则， 所以，， 综上所述，，D对. 故选：BCD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（  ） A. 的图象关于轴对称 B. 是周期为的周期函数 C. 的值域为 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB对称性与周期性的判定按定义进行判断，不正确时举反例即可；对CD需要把函数化成一角一函数研究，结合对称性和周期性简化推算过程. 【详解】对于A：由题意函数的定义域为R，且， 故的图象关于轴对称，所以A正确； 对于B：因为，，所以，故B错误； 对于C：当时， 则，此时值域为； 当时，， 此时值域为，故C正确； 对于D：由 ， 则是的一个周期，当时，， 所以由，解得， 则， 又由的图象关于轴对称可知当时， 的解为， 所以不等式的解为.故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：研究三角函数问题要充分利用它的对称性和周期性简化问题的探究，如根据对称性只研究一半，根据周期性只研究一个周期，其余情况根据对称性和周期性得出结论. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 与向量方向相反的单位向量为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由相反向量及单位向量的定义可得. 【详解】向量方向相反的单位向量. 故答案为：. 12. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方关系化简，即可求出，结合诱导公式和倍角公式即可求值. 【详解】因为， 所以， 解得或（舍）， 所以. 故答案为： 13. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转角得到点，则点的坐标为_____，向量在向量上的投影向量为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空：根据已知条件，确定向量逆时针旋转的角，根据公式确定坐标，再根据点坐标，求出点的坐标；空：根据投影向量的计算公式结合、坐标即可求解. 【详解】空：由题意得，把点绕点沿顺时针方向旋转角得到点， 则点绕点沿逆时针方向旋转角得到点， 则， ，设，又因为， 所以，解得，所以. 空：向量在向量上的投影向量为， 因为，， 所以. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知向量，满足，，． （1）求； （2）求与的夹角的值； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律可直接构造方程求出； （2）利用夹角公式即可求； （3）由向量数量积运算律可求得，进而可得结果. 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 因为， 又，所以； 【小问3详解】 因为， 所以． 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）当时，求的最大值及取得最大值时的集合． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为 ， （2）最大值为2，取得最大值时的集合为 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简，再根据正弦函数的周期性和单调性即可得解； （2）根据正弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期， 令，解得， 所以的单调递增区间为 ，； 【小问2详解】 当时，， 所以当，即时，取得最大值2， 故的最大值为2，取得最大值时的集合为． 16. 求值： （1）； （2）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对原式进行切化弦化简，利用三角函数差角公式逐步变形，最终得出结果； （2）将两式平方相加即可求. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 将两边平方可得，， 两边平方可得，， 两式相加可得，， 即， 解得． 17. 对于一组向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”． （1）设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围； （2）若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”?给出你的结论并说明理由； （3）已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值． 【答案】（1） （2）存在，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“长向量”的定义，列不等式，求的取值范围即可得； （2）由题意可得，亦可得，故只需使，计入计算即可得； （3）首先由，，均是向量组，，的“长向量”，变形得到，设,由条件列式，变形为，转化为求的最小值. 【小问1详解】 由题意可得：，则，解得：； 【小问2详解】 存在“长向量”，且“长向量”为，，理由如下： 由题意可得， 若存在“长向量”，只需使， 又， 故只需使 ，即，即， 当或时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，； 【小问3详解】 由题意，得，，即， 即，同理， ， 三式相加并化简，得：， 即，，所以， 设，由得：， 设，则依题意得：， 得， 故， ， 所以， ， 当且仅当时等号成立， 故. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，理解“长向量”的定义，前两问均是利用定义解题，第三问注意转化关系，关键是转化为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期中月考 高一数学 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上． 3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有，一项符合题目要求． 1. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. 已知，则的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 3. 在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为直线外一点，且，若，，三点共线，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知，均为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在长方形中，，，点在上，且，点，分别是边，上的动点，满足，则面积的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 8. 已知的重心为，过点的直线分别与边，交于点，，若，，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 不确定 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 起点相同的单位向量均相等 B. 若向量，则 C. 若向量，，则、不一定平行 D. 任意两向量、均有 10. 已知函数，则下列说法正确的是（  ） A. 的图象关于轴对称 B. 是周期为的周期函数 C. 的值域为 D. 不等式解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 与向量方向相反的单位向量为_____． 12. 若，则_____． 13. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转角得到点，则点坐标为_____，向量在向量上的投影向量为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知向量，满足，，． （1）求； （2）求与的夹角的值； （3）求． 15 已知函数． （1）求函数最小正周期及单调递增区间； （2）当时，求的最大值及取得最大值时的集合． 16. 求值： （1）； （2）已知，，求的值． 17. 对于一组向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组“长向量”． （1）设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围； （2）若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”?给出你的结论并说明理由； （3）已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $