期中检测培优卷（考试范围：第七章--第九章）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

2024-2025学年八年级（下）期中试卷（培优卷） 【苏科版】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第7章 --第9章 ，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 2．某次体能测试，学校抽取了部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图所示的频数分布直方图，根据图示信息描述不正确的是（   ） A．频数分布直方图中组距是10 B．本次抽样样本容量是50 C．若低于70.5分记为不合格，则不合格的人数为10人 D．80分以上的人数占总体的 3．下列调查中，最适合采用抽样调查的是（   ） A．了解我国中学生的睡眠时长 B．了解全班同学周末参加社区活动的时长 C．了解全班同学一周使用手机的时长 D．检查“神舟十七号”载人飞船各零部件 4．如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（    ） A． B．6 C．7 D． 5．如图，在矩形纸片中，，点E为边上的一点，将沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处，则的长为（   ） A．7 B．8 C．8.6 D．9 6．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有68次摸到红球，请估计这个口袋中红球的数量最有可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 7．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么最符合这一结果的试验是（　　） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．在一副扑克中随机抽取一张，抽到的牌是红桃 D．不透明袋中有红球、黄球、蓝球各1个，每个球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，是黄球 8．下列成语描述的事件为随机事件的是（    ） A．水涨船高 B．水中捞月 C．守株待兔 D．缘木求鱼 9．某校开展“阅读助成长，课程蕴书香”活动，对全校学生每天的课外阅读时间进行了全面调查，根据收集的相关数据绘制成如图所示的扇形统计图．下列说法错误的是（   ） A．每天阅读不足30分钟的学生人数最多 B．每天阅读30分钟以上的学生人数超过 C．每天阅读1小时以上的学生人数占 D．每天阅读30分钟至2小时的学生人数占 10．如图，在平行四边形中，延长至点E，连接，使．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中，“早有蜻蜓立上头”描述的事件是 ．（填“必然事件”“随机事件”或“不可能事件”） 12．某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，将测试成绩整理后作出如图所示的统计图．小红计算出与两组的频率差是，小明计算出组的频率为，结合统计图中的信息，可知这次共抽取了 名学生的一分钟跳绳测试成绩． 13．《义务教育课程标准（年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定，某班有名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生频数是 ． 14．如图，在中，，是边上的中线，是的中位线，若，则的长为 ． 15．如图，在正方形中，点E是边的中点，若，则的长为 ．    16．如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 18．某中学举行了一次“奥运会”知识竞赛，赛后抽取部分参赛同学的成绩进行整理，并制作成图表如下： 分数段 频数 频率 第一组： 30 第二组： 第三组： 60 第四组： 20 请根据以图表提供的信息，解答下列问题： (1)写出表格中和所表示的数：______，______； (2)补全频数分布直方图； (3)如果比赛成绩80分以上（含80分）可以获得奖励，那么获奖率是多少？ 19．在平面直角坐标系中，，（每个小正方形的边长均为1）． (1)若点与点关于原点对称，则点的坐标为________． (2)线段的长为________． (3)请在图中表示出、、三点，顺次连接，并求出点、、所组成的三角形的面积． 20．某批乒乓球的质量检验结果如下表： 抽取的乒 乓球数 优等品的 个数 优等品的 频率 (1)填写表中的空格； (2)这批乒乓球优等品概率的估计值是多少？（结果保留小数点后一位） 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，在中，于点E，延长至点F，使得，连接、． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，，求的长． 22．如图，正方形中，点P在对角线上，点E在的延长线上，且，过点P作于F，直线PF分别交、于G、H． (1)求证：点F为的中点； (2)若，，求的周长． 23．省教育厅决定在全省中小学开展“关注校车、关爱学生”为主题的交通安全教育宣传周活动．某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽 查了部分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图（如图所示），请根据图中提供的信息，解答下列问题．             (1) ，这次共抽取 名学生进行调查； (2)求扇形统计图中，乘公交车对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图； (3)如果该校共有2000名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生约有多少名？ 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．【追本溯源】： 题（1）来自于八年级数学上册课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，平分．求证：； 【方法应用】： （2）如图2，在四边形中，，平分，交边于点E，过点A作交于点G，交的延长线于点F． ①图中一定是等腰三角形的有 ； A．3个    B．4个     C．5个    D．6个 ②已知，求的长． 25．【观察与发现】 如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形． 同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着过对边中点的两条线段和剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，使点B，C，D与A重合，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】 （1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． ①图3是将剪开拼成矩形的一种方法的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为_______；与的位置关系为_________； ②如图4，请你再设计一种将剪开拼成与其面积相等的矩形的方法．仿照图3用虚线在左图中画出剪切线，简单说明剪切线满足的条件，在右图画出拼成的简图． 【实践与应用】 （2）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级（下）期中试卷（培优卷） 【苏科版】 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：第7章 --第9章 ，共25题； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：选项A、B、D中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项C中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 2．某次体能测试，学校抽取了部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图所示的频数分布直方图，根据图示信息描述不正确的是（   ） A．频数分布直方图中组距是10 B．本次抽样样本容量是50 C．若低于70.5分记为不合格，则不合格的人数为10人 D．80分以上的人数占总体的 【答案】C 【分析】本题考查了频数分布直方图，熟练掌握频数分布直方图的相关知识是解题的关键． 根据频数分布直方图的相关知识并结合图示信息逐项分析判断即可． 【详解】解：A、 频数分布直方图中组距是10，描述正确，故选项不符合题意； B、本次抽样样本容量是，描述正确，故选项不符合题意； C、若低于70.5分记为不合格，则不合格的人数为人，描述不正确，故选项符合题意； D、 80分以上的人数占总体的，描述正确，故选项不符合题意； 故选：． 3．下列调查中，最适合采用抽样调查的是（   ） A．了解我国中学生的睡眠时长 B．了解全班同学周末参加社区活动的时长 C．了解全班同学一周使用手机的时长 D．检查“神舟十七号”载人飞船各零部件 【答案】A 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此进行判断即可． 【详解】解：A、了解我国中学生的睡眠时长，适合采用抽样调查，符合题意； B、了解全班同学周末参加社区活动的时长，适合采用普查，不符合题意； C、了解全班同学一周使用手机的时长，适合采用普查，不符合题意； D、检查“神舟十七号”载人飞船各零部件，适合采用普查，不符合题意； 故选A． 4．如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（    ） A． B．6 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理和平行四边形的性质．先根据勾股定理求出，再根据平行四边形的性质求出，再利用勾股定理求出． 【详解】解：，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故选：A． 5．如图，在矩形纸片中，，点E为边上的一点，将沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处，则的长为（   ） A．7 B．8 C．8.6 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了图形的折叠，矩形的性质和勾股定理，先根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出， 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得，， 在中， 故选：B. 6．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有68次摸到红球，请估计这个口袋中红球的数量最有可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解答本题的关键要明确：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．估计利用频率估计概率可估计摸到红球的概率为0.7，然后根据概率公式计算这个口袋中红球的数量，进而得到白球的数量． 【详解】解：∵共摸了100次球，发现有68次摸到红球， ∴估计摸到红球的概率为0.7， ∴估计这个口袋中红球的数量为（个）． 故选：B． 7．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么最符合这一结果的试验是（　　） A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6 C．在一副扑克中随机抽取一张，抽到的牌是红桃 D．不透明袋中有红球、黄球、蓝球各1个，每个球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，是黄球 【答案】B 【分析】本题主要考查随机事件的概率以及用频率估计概率，理解折线图中横轴与纵轴的关系，掌握概率的计算方法是解题的关键．根据折线统计图可知，随着试验次数的增多频率稳定在以上，以下，通过计算各选项的概率，由此即可求解． 【详解】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多概率稳定在以上，以下， ∴A、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，不符合题意； B、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是的概率是，符合题意； C、在一副扑克中随机抽取一张，抽到的牌是红桃的概率是，不符合题意； D、不透明袋中有红球、黄球、蓝球各1个，每个球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，是黄球的概率是，不符合题意； 故选：B． 8．下列成语描述的事件为随机事件的是（    ） A．水涨船高 B．水中捞月 C．守株待兔 D．缘木求鱼 【答案】C 【分析】根据事件发生的可能性大小判断．本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件，不可能事件，随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A、水涨船高，是必然事件，不符合题意； B、水中捞月，是不可能事件，不符合题意； C、守株待兔，是随机事件，符合题意； D、缘木求鱼，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 9．某校开展“阅读助成长，课程蕴书香”活动，对全校学生每天的课外阅读时间进行了全面调查，根据收集的相关数据绘制成如图所示的扇形统计图．下列说法错误的是（   ） A．每天阅读不足30分钟的学生人数最多 B．每天阅读30分钟以上的学生人数超过 C．每天阅读1小时以上的学生人数占 D．每天阅读30分钟至2小时的学生人数占 【答案】C 【分析】本题考查了扇形统计图，解题的关键是正确从扇形图中获取信息． 从扇形图中获取信息逐一分析判断即可． 【详解】解：A、每天阅读不足30分钟的学生人数占，30分钟至1小时占，每天阅读不足30分钟的学生人数最多，因此原说法正确，不符合题意； B、每天阅读30分钟以上的学生人数占，原说法正确，不符合题意； C、每天阅读1小时以上的学生人数占，原说法错误，故选项符合题意； D、每天阅读30分钟至2小时的学生人数占，原说法正确，故选项不符合题意． 故选：C． 10．如图，在平行四边形中，延长至点E，连接，使．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形和等腰三角形的性质是解题的关键；根据平行四边形对角相等得，然后在根据等腰三角形的等边对等角得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中，“早有蜻蜓立上头”描述的事件是 ．（填“必然事件”“随机事件”或“不可能事件”） 【答案】随机事件 【分析】本题考查了事件的分类，随机事件∶在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件；不可能事件∶在一定条件下，一定不会发生的事件． 根据事件的分类即可得到答案． 【详解】解：在古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中，“早有蜻蜓立上头”描述的事件，可能发生，也可能不发生，是随机事件， 故答案为：随机事件． 12．某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，将测试成绩整理后作出如图所示的统计图．小红计算出与两组的频率差是，小明计算出组的频率为，结合统计图中的信息，可知这次共抽取了 名学生的一分钟跳绳测试成绩． 【答案】 【分析】本题考查了频数分布直方图及频率，由已知条件可得的频率为，由频数分布直方图得的频数是，即可求解；能从频数分布直方图获取正确信息，会利用频率进行求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 的频率为， 抽取的学生人数为（名）， 故答案为：． 13．《义务教育课程标准（年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定，某班有名学生，其中已经学会炒菜的学生频率是，则该班学会炒菜的学生频数是 ． 【答案】 【分析】本题考查频数的计算，解题的关键是掌握频数的计算公式：频数等于频率乘以数据总数．据此解答即可． 【详解】解：该班学会炒菜的学生频数为：． 故答案为：． 14．如图，在中，，是边上的中线，是的中位线，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半计算，得到答案． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴， 在中，，是边上的中线， ∴， 故答案为：． 15．如图，在正方形中，点E是边的中点，若，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，中点的性质，解题的关键是掌握相关性质．根据正方形的性质可知，结合中点的性质，可得，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是正方形， ∴，， ∵E是中点， ∴． 在中， 根据勾股定理得 ， 故答案为：． 16．如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 通过计算、的长度，利用三角形面积公式求得，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， ，四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， ， ， 点是中点， ， ， ， ， 即， ∴， 故答案为：． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，在中，，是的斜边上的中线，过点和点分别作和的平行线交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意得到，四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，结合菱形的判定方法即可求解； （2）过点作于点，得到是等腰直角三角形，运用勾股定理得到，根据四边形是菱形，直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，则，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵是的斜边上的中线， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：过点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，则（负值舍去）， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，菱形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的知识的综合，掌握菱形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半等知识，数形结合分析是解题的关键． 18．某中学举行了一次“奥运会”知识竞赛，赛后抽取部分参赛同学的成绩进行整理，并制作成图表如下： 分数段 频数 频率 第一组： 30 第二组： 第三组： 60 第四组： 20 请根据以图表提供的信息，解答下列问题： (1)写出表格中和所表示的数：______，______； (2)补全频数分布直方图； (3)如果比赛成绩80分以上（含80分）可以获得奖励，那么获奖率是多少？ 【答案】(1)90； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，读懂统计图表获取信息是解题的关键． （1）先计算出总人数，再根据频数与频率之间的关系即可求出和； （2）根据（1）中所求的数据，即可补全频数分布直方图； （3）根据公式：获奖率获奖人数总人数，即可求解． 【详解】（1）解：总人数（人）， ，． 故答案为：90；． （2）解：补全频数分布直方图如下： （3）解：． 答：获奖率是． 19．在平面直角坐标系中，，（每个小正方形的边长均为1）． (1)若点与点关于原点对称，则点的坐标为________． (2)线段的长为________． (3)请在图中表示出、、三点，顺次连接，并求出点、、所组成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) (3)见详解，19 【分析】本题主要考查了坐标与图形、关于原点中心对称的点的坐标特征、勾股定理、求三角形面积等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据关于原点中心对称的点的坐标特征“将原坐标的横纵坐标都取相反数”，即可获得答案； （2）根据，，利用勾股定理求解即可； （3）首先在图中表示出、、三点，顺次连接，然后利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：点与点关于原点对称，则点的坐标为． 故答案为：； （2）解：∵，， ∴． 故答案为：； （3）解：在图中表示出、、三点，顺次连接，如下图所示， 由图可知，． 20．某批乒乓球的质量检验结果如下表： 抽取的乒 乓球数 优等品的 个数 优等品的 频率 (1)填写表中的空格； (2)这批乒乓球优等品概率的估计值是多少？（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据表格中数据计算填表即可； （2）利于频率估计概率求解即可． 【详解】（1）解：，，； （2）由表中数据可判断优等品频率在左右摆动，于是利于频率估计概率可得这批乒乓球优等品概率的估计值是． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，在中，于点E，延长至点F，使得，连接、． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理． （1）根据平行四边形的性质得到，，证明四边形是平行四边形，再根据即可证明矩形； （2）根据平行四边形的性质得到，利用勾股定理求得，利用三角形的面积求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵． ∴，即， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴是矩形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴的面积， 即， 解得：． 22．如图，正方形中，点P在对角线上，点E在的延长线上，且，过点P作于F，直线PF分别交、于G、H． (1)求证：点F为的中点； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明是等腰直角三角形可得结论； （2）利用勾股定理求出，再利用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】（1）证明：连接，和交于点N， ∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 又∵， ， ∴，即是等腰直角三角形， 又∵， ∴点为的中点； （2）解：在中，， ， ， 又∵是等腰直角三角形， ， ， ， ∴的周长， 答：的周长为． 23．省教育厅决定在全省中小学开展“关注校车、关爱学生”为主题的交通安全教育宣传周活动．某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽 查了部分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图（如图所示），请根据图中提供的信息，解答下列问题．             (1) ，这次共抽取 名学生进行调查； (2)求扇形统计图中，乘公交车对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图； (3)如果该校共有2000名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生约有多少名？ 【答案】(1)，50 (2)扇形统计图中，乘公交车对应扇形的圆心角度数为，补全条形统计图见解析 (3)估计该校骑自行车上学的学生约有400名 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的综合，解题的关键是数形结合，熟知数据条形统计图和扇形统计图的特点． （1）用1减去其它3个的百分比，从而得出m的值；根据乘公交车的人数和百分比得出总人数， （2）用乘以“乘公交车”的人数占总人数的比例即可得出圆心角度数，求出骑自行车的人数，将图形补全； （3）根据全校的总人数×骑自行车的百分比得出结果即可． 【详解】（1）解：， （名） 故答案为：，50； （2）解；乘公交车对应扇形的圆心角度数为 骑自行车人数：（名）， 则条形图如图所示： （3）（名） 估计该校骑自行车上学的学生约有400名． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．【追本溯源】： 题（1）来自于八年级数学上册课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，平分．求证：； 【方法应用】： （2）如图2，在四边形中，，平分，交边于点E，过点A作交于点G，交的延长线于点F． ①图中一定是等腰三角形的有 ； A．3个    B．4个     C．5个    D．6个 ②已知，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）①B；②4 【分析】本题是四边形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出．由平行线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）①由等腰三角形的判定可得出结论； ②由（1）可知，，进一步则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①共有四个等腰三角形．分别是：， 理由如下：由（1）知：， ∴是等腰三角形； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：B； ②∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴． ∵， ∴∠EAG＝∠AGB， ∴， ∴， ∵. 25．【观察与发现】 如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形． 同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着过对边中点的两条线段和剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，使点B，C，D与A重合，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】 （1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． ①图3是将剪开拼成矩形的一种方法的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为_______；与的位置关系为_________； ②如图4，请你再设计一种将剪开拼成与其面积相等的矩形的方法．仿照图3用虚线在左图中画出剪切线，简单说明剪切线满足的条件，在右图画出拼成的简图． 【实践与应用】 （2）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形． 【答案】（1）①；；②见解析（2）见解析 【分析】（1）①根据题意可得出，，进而由全等三角形对应边和对应角相等推出为的中位线，以及，即可得出结论． ②从和的中点D、E作的垂线，垂足分别为M、N，由和得到拼接方法． （2）把四边形由对角线分为两个三角形参考（1）①中的方法，或参考题干中四边形对边中点的方法拼接平行四边形的方法，把其中一组对边连线改为由中点向另一组对边中点连线作垂线进行分割操作即可． 【详解】解：（1）①如图，根据剪切和拼接操作方法可知，，， ， 为的中位线． ． 又∵四边形是矩形． ， 和的位置关系为． 故答案为：①；； ②如图，D，E分别是的中点，，．再由可推出，，沿和从剪下和，然后拼接在和． （2）第一种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，．沿虚线和剪开四边形，把和分别拼接到①、②、③和④处即可． ． 第二种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，，沿虚线和剪开四边形形成四个四边形①、②、③和④，再如图中所示拼接即可． ． 【点睛】本题考查了任意四边形拼接矩形，涉及到三角形中位线定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．对灵活运用中位线定理和构造全等三角形是解答本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$