精品解析：山东省威海市威海经济技术开发区2024-2025学年上学期期末考试九年级数学试题 （五四学制）

2024~2025学年度第一学期质量检测 初四数学 注意事项： 1．本次考试时间120分钟，满分120分． 2．答题时，请务必在题号所指示的区域内作答，作图用2B铅笔． 3．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值，祝考试成功！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A B. C. D. 2. 某数学兴趣小组在做“频率的稳定性”试验时，根据试验结果绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一统计结果的试验最有可能是（ ） A. 一副扑克牌去掉大小王后，从中任抽一张牌是红桃 B. 任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上 C. 从标有数字，，的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字 D. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数 3. 如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ） A B. C. D. 4. 如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为．若在坡比为的山坡树，也要求株距为，那么相邻两棵树间的坡面距离（ ） A. B. C. D. 5. 如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 7. 已知两个整数a，b，有，则最大值是（ ）． A. 50 B. 40 C. D. 30 8. 如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于，两点若是轴上一点，则的面积为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 如图，圆中互相垂直的弦，与圆心的距离分别为，，这时圆内被分为①②③④四个部分．如果用，，，分别表示这四个部分的面积，则可表示（ ） A B. C. D. 0 10. 如图，点是与坐标轴三个交点，是上动点（包括端点和），于点．半径为2，．点从到运动中，线段扫过面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果） 11. 计算：______． 12. 如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，高度为200米，则离地面150米处的水平宽度（即的长）为_____米． 13. 如图，小明参加一个闯关游戏，共有两关，两关均有四个完全相同的按钮，第一关有两个是闯关成功按钮，其余两个是闯关失败按钮；第二关有一个是闯关成功按钮，其余三个是闯关失败按钮．进行闯关时，每一关任选一个按钮，规则如下： 第一关闯关失败后，游戏失败； 第一关闯关成功后，进入第二关，若第二关闯关失败，则游戏失败．若两关均闯关成功，则游戏获胜； 闯关前，允许任选一关使用“提示”功能，使用后，会去掉一个闯关失败按钮． 若小明决定在第二关使用“提示”功能，则小明获胜的概率______． 14. 如图，A，B两点分别在反比例函数和图象上，连接，若，则______________． 15. 如图1，矩形纸片中，已知，先按图2操作，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为；再按图3操作：沿过点直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，则_____． 16. 如图，正方形的边长为2，点E为边的中点，以为边分别作等腰和等腰，其中，延长交于点F，连结，则线段的最大值是__________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出了此工件的三视图，如图所示．求该工件的体积． 18. 在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 （1）当很大时，摸到黑球的频率将会趋近_________（精确到）； （2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或画树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率． 19. 如图，希望中学教学楼和综合楼之间生长着一棵高度为米的白杨树，且其底端B，D，F在同一直线上，米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为，点E的俯角为． 问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！） 20. 打水漂是孩子们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点）第一次飞起，飞行的最大高度为米，第二次从距离点，米处的处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）求水漂第一次飞越时，该抛物线的函数表达式． （2）求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式． （3）若此次水漂可以在水面上飞越次，且第一次击打水面时距离河岸米，问水漂能否飞过米宽的河面． 21. 某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个15元；经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量（个）与每个的售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求关于的函数表达式，并求出当某天的销售量为78个时，该玩具的销售利润； （2）每天的销售量不低于18个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？ 22. 如图，为的直径，弦于点，是弧上一点；延长，交于点，连结，，与交于点． （1）若，用含的代数式表示； （2）如图2，连结，，若，求证：． 23. 在平面直角坐标系中，正方形的顶点、分别为、，顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上． （1）如图1，当点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； （2）如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由． 24. 如图1，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，点是坐标平面内一点，点坐标． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，若点在抛物线上且，求点D的坐标； （3）如图2，将抛物线当时的函数图象记为，将图象在轴上方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象．若经过点的一次函数的图象与图象在第四象限内恰有两个公共点，求n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期质量检测 初四数学 注意事项： 1．本次考试时间120分钟，满分120分． 2．答题时，请务必在题号所指示的区域内作答，作图用2B铅笔． 3．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值，祝考试成功！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义（从上面观察物体所得到的视图是俯视图）即可得． 【详解】解：卯的俯视图是 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了俯视图，熟记俯视图的概念是解题关键． 2. 某数学兴趣小组在做“频率的稳定性”试验时，根据试验结果绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一统计结果的试验最有可能是（ ） A. 一副扑克牌去掉大小王后，从中任抽一张牌是红桃 B. 任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上 C. 从标有数字，，的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字 D. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，根据大量的实验后，事件发生的频率逐步稳定在一个固定值的附近，这个固定值大致约等于这个事件发生的概率，观察图象，找出四个选项中的概率为左右的符合条件，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、一副扑克牌去掉大小王后， 从中任抽一张牌是红桃的概率是，不符合题意； 、任意掷一枚质地均匀的硬币，结果是正面朝上的概率是，不符合题意； 、从标有数字，，的三张卡片中任抽一张，抽出的卡片标有数字的概率是，符合题意； 、任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，不符合题意； 故选：． 3. 如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项 【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的上方，则上方的边长影子会更长一些， 故选D 【点睛】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例是解题的关键． 4. 如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为．若在坡比为的山坡树，也要求株距为，那么相邻两棵树间的坡面距离（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据坡比为1：2.5求得竖直高度，再根据勾股定理求出相邻两树间的坡面距离即可． 【详解】如图， ∵坡比为 i=1:2.5， ∴AC:BC=1:2.5 ， 即 AC:5=1:2.5 ， 解得:AC＝2， 在Rt△ABC中，由勾股定理得， AB=（m）， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题以及勾股定理的运用，属于基础题． 5. 如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接、交于点P，则的正切值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正切函数，勾股定理，正方形的性质等，连接、，，由平行线的性质得，由勾股定理求出、的长，由正切函数求出的值；掌握正切函数的定义，作出辅助线使得，构建直角三角形求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 由正方形的性质得： ， ，， ， ， ， ， ； 故选：A． 6. 已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，熟悉掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵二次函数的图象经过点和，且， ∴或， 故选：C． 7. 已知两个整数a，b，有，则的最大值是（ ）． A. 50 B. 40 C. D. 30 【答案】A 【解析】 分析】法一：根据和一定，差小积大，差大积小，进行求解即可． 法二：根据，得到，进而得到，利用二次函数求最值即可． 本题考查二次函数求最值，解题的关键是将的最大值转化为二次函数求最值。 【详解】解：法一：∵，为定值， ∴当，即：时，的值最大，为； 法二： ∵， ∴， ∴， ∴当时，的最大值为50 故选A． 8. 如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于，两点若是轴上一点，则的面积为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是反比例函数系数k的几何意义与反比例函数图象上点的坐标特征．由直线与y轴平行，可得的面积等于的面积，设点P的坐标为，由此可得出点A、B的横坐标都为a，再将分别代入反比例函数解析式，得出A、B的纵坐标，继而得出的值，从而得出三角形的面积． 【详解】解：如下图，连接， 由题意可知直线与y轴平行， ∴ 设，则点A、B的横坐标都为a， 将代入得出，得， 故； 将代入得出，得， 故； ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，圆中互相垂直的弦，与圆心的距离分别为，，这时圆内被分为①②③④四个部分．如果用，，，分别表示这四个部分的面积，则可表示（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质，矩形的性质；将，平移至，设交点分别为，则四边形是矩形，依题意，，根据中心对称的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，将，平移至，设交点分别为，则四边形是矩形，依题意，， 根据中心对称的性质可得，如图所示， ∴ 故选：A． 10. 如图，点与坐标轴三个交点，是上动点（包括端点和），于点．半径为2，．点从到运动中，线段扫过面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求扇形面积，直径所对的弦是圆的直径；连接，设是的中点．点在第一象限从到运动过程中，点的运动路径（轨迹）圆弧的圆心为，半径为，．根据线段扫过面积即可求解． 【详解】连接，设是的中点． ∵半径为2，． ∴， 中，； 中，． 点在第一象限从到运动过程中，点的运动路径（轨迹）圆弧的圆心为，半径为，． 线段扫过面积 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．根据特殊角的三角函数值代入计算即可． 详解】解：原式 ． 故答案为：． 12. 如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，高度为200米，则离地面150米处的水平宽度（即的长）为_____米． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ∴，， 设内侧抛物线的解析式为， 将代入， 得：， 解得： ， ∴内侧抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴，， ∴（米）， 故答案为：40． 13. 如图，小明参加一个闯关游戏，共有两关，两关均有四个完全相同的按钮，第一关有两个是闯关成功按钮，其余两个是闯关失败按钮；第二关有一个是闯关成功按钮，其余三个是闯关失败按钮．进行闯关时，每一关任选一个按钮，规则如下： 第一关闯关失败后，游戏失败； 第一关闯关成功后，进入第二关，若第二关闯关失败，则游戏失败．若两关均闯关成功，则游戏获胜； 闯关前，允许任选一关使用“提示”功能，使用后，会去掉一个闯关失败按钮． 若小明决定在第二关使用“提示”功能，则小明获胜的概率______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，理解题意正确画树状图是解题关键．用√表示成功按钮，用×表示失败按钮，根据题意画树状图求解即可． 【详解】解：用√表示成功按钮，用×表示失败按钮，由题意，第一关有2个成功按钮，2个失败按钮，第二关用掉一个“提示功能”剩下1个成功按钮，2个失败按钮， 画出树状图如图： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，成功的结果有2种， 即小明获胜的概率为， 故答案为：． 14. 如图，A，B两点分别在反比例函数和图象上，连接，若，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数中比例系数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作轴、轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为． 先证得，根据相似三角形的性质得出，则，得出． 【详解】解：如图，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图1，矩形纸片中，已知，先按图2操作，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为；再按图3操作：沿过点直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用折叠的性质，掌握解直角三角形的一般方法．设，，根据折叠的性质，结合勾股定理求出，过H作，垂足为P，解直角三角形，求出，最后根据余弦的定义计算即可． 【详解】解：过点H作交与P， 设，， 由折叠的性质可得，，，， ∴四边形为矩形，四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， x， 在中，，由勾股定理得， x， 在中，，，由勾股定理得， ， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为2，点E为边的中点，以为边分别作等腰和等腰，其中，延长交于点F，连结，则线段的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质可以得到，进而得到，即在以为斜边向上作等腰的外接圆上运动，所以当过圆心O时最大，进而计算即可解题． 【详解】， ， ，， ， ，为定值．以为斜边向上作等腰 在以O为圆心为半径的圆上， 当过圆心O时最大， 正方形的边长为2， ， ， ． 【点睛】本题属于几何中的隐圆问题，涉及正方形的性质，等腰三角形的性质和圆周角、圆心角定理，对于线段最值的求解问题，可观察所求线段是否过某一定点或是绕某一定点旋转，如若具有此特点，可先分析运动过程，对动点的运动轨迹进行研究，否则可考虑设未知量，引入函数模型，利用条件最值来解决．本题所求线段中点E为定点且绕点E运动，因此得到点F的运动轨迹是解决本题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出了此工件的三视图，如图所示．求该工件的体积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，圆柱体体积的计算，正确得到几何体的形状是解题关键． 根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，体积是两个圆柱体的体积的和，利用圆柱体体积的计算公式即可求解． 【详解】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起， 底面直径分别是和， 高分别是和， 体积为：． 答：该工件的体积是． 18. 在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 （1）当很大时，摸到黑球的频率将会趋近_________（精确到）； （2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或画树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率、列表法求概率等知识点，掌握运用列表法求概率成为解题的关键． （1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值即可求解； （2）先根据题意列表，确定所有等可能结果数，并从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：当很大时，摸到黑球的频率将会趋近． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： 黑 白 白 白 黑 （白，黑） （白，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） 由表知，共有12种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果， 所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为． 19. 如图，希望中学的教学楼和综合楼之间生长着一棵高度为米的白杨树，且其底端B，D，F在同一直线上，米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为，点E的俯角为． 问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！） 【答案】能，高度为米 【解析】 【分析】作，，根据正切的定义，求出、的长，即可求解， 本题考查了，解直角三角形的应用，解题的关键是：熟练掌握正切的定义． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 在中，（米），， 则（米），（米）， 在中，（米）， 则（米），（米）， 故答案为：能，高度为米． 20. 打水漂是孩子们经常玩的游戏，如图，水漂从水面上（点）第一次飞起，飞行的最大高度为米，第二次从距离点，米处的处飞起．据试验，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）求水漂第一次飞越时，该抛物线的函数表达式． （2）求水漂第二次飞越时，该抛物线的函数表达式． （3）若此次水漂可以在水面上飞越次，且第一次击打水面时距离河岸米，问水漂能否飞过米宽的河面． 【答案】（1）； （2）； （3）不能． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键． （）由题意可得抛物线的顶点坐标，再用顶点式表示抛物线，然后用待定系数法确定顶点式中的参数即可求解； （）同理（）即可求解； （）把代入第二次飞越时抛物线的函数表达式求出的值即可判断求解； 【小问1详解】 解：由题意可得，水漂第一次飞越时，该抛物线的顶点坐标为， ∴设该抛物线的函数表达式为，把点代入得， ， 解得， ∴第一次飞越时抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵水漂第二次飞越时最大高度减少到原来最大高度的一半， ∴水漂第二次飞越时抛物线的顶点的纵坐标为， 又∵第二次飞越时抛物线与原来的抛物线形状相同， ∴可设第二次飞越时抛物线的函数表达式为，把代入得， ， 解得（不合，舍去），， ∴第二次飞越时抛物线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：把代入得， ， ∴水漂不能飞过米宽的河面． 21. 某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个15元；经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量（个）与每个的售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求关于的函数表达式，并求出当某天的销售量为78个时，该玩具的销售利润； （2）每天的销售量不低于18个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？ 【答案】（1），当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润元 （2）要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是元，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用． （1）设，由题意知，图象过，两点，待定系数法求得解析式为，当时，，解得，根据利润为：，计算求解即可； （2）由题意得，，即，设每天的销售利润为W（元），依题意得， ，然后根据二次函数的图象与性质求解作答即可． 【小问1详解】 解：设， 由题意知，图象过，两点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得， 利润为：（元）， ∴当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润元； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得， 设每天的销售利润为W（元）， 依题意得， ， ∵， ∴当时，W取最大值，最大值为， ∴要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是元，最大利润为元． 22. 如图，为的直径，弦于点，是弧上一点；延长，交于点，连结，，与交于点． （1）若，用含的代数式表示； （2）如图2，连结，，若，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理得即可求解； （2）由得，再通过圆周角定理的推论证得即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：，且由（1）得， ， ， ，且由（1）得， ， 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握与圆相关的定理知识是解题关键． 23. 在平面直角坐标系中，正方形的顶点、分别为、，顶点在反比例函数上，顶点在反比例函数上． （1）如图1，当点坐标为时． ①求的值； ②求m，n的值； （2）如图2，当m，n满足什么关系时，，并说明理由． 【答案】（1）①4 ②1，3 （2）；理由见解析 【解析】 【分析】（1）①根据点坐标为求出的值即可； ②过点作轴于点， 证明，得出，，根据点D的坐标得出，求出，即可得出答案； （2）过点作轴于点， 根据解析（1）得出，求出， 根据，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：①将点代入反比例函数解析式， ； 即的值为4； ②如图，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ∴， 解得， 的值为1，3； 【小问2详解】 解：当时，， 如图，过点作轴于点， 同理（1）可得，， ，， ， ， ， 若，则， ，， ， 即当时，； 【点睛】本题主要考查反比例函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，全等三角形的性质与判定，用m，n表达出点C，D的坐标是解题的关键． 24. 如图1，抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点，点是坐标平面内一点，点坐标． （1）求抛物线解析式； （2）连接，若点在抛物线上且，求点D的坐标； （3）如图2，将抛物线当时的函数图象记为，将图象在轴上方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象．若经过点的一次函数的图象与图象在第四象限内恰有两个公共点，求n的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）且 【解析】 【分析】（1）设交点式，然后把点坐标代入求出的值即可得到抛物线的解析式； （2）如图1中，如图1中，作于．由，推出，由，， 推出，推出，设交轴于，则，可得直线的解析式为，利用方程组即可求出点坐标，同法求出； （3）当直线经过，时，则有，解得，可得一次函数的解析式为，观察图象即可解决问题． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， 所以抛物线解析式， 即； 【小问2详解】 解：如图1中，作于． ， ， ，， ， ，设交轴于，则， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为， 由， 解得或， ． 当点在轴下方时，同理可求得直线的解析式为， 由， 解得或． ． 【小问3详解】 解：如图2中， 当直线经过，时，则有， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 当直线经过，时，则有， 解得， 一次函数， 观察图象可知：且时，直线经过点的一次函数的图象与图象在第四象限内恰有两个公共点． 【点睛】本题考查二次函数综合题，折叠的性质，一次函数的应用，二次函数图象性质，解直角 三角形，待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 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