精品解析：北京市第二中学2024～2025学年下学期3月月考九年级数学试卷

2024—2025学年度第二学期 初三数学阶段练习试卷 考查目标 1．知识：人教版初中数学教材第1-29章全部内容． 2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共16页；其中第1卷2页，第Ⅱ卷4页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 平行四边形 2. 将一副直角三角尺如图放置，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 3. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，由尺规作图痕迹可知，全等的理由为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，，O为对角线的交点．将菱形绕点O逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形，给出下面四个结论，正确结论的个数是（ ） ①对于任意，该八边形都是正八边形；②存在唯一的，使得该八边形为正八边形 ③对于任意，该八边形都有外接圆；④对于任意，该八边形都有内切圆 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是__________． 10. 分解因式：________. 11. 分式方程的解为______． 12. 已知点与点在同一反比例函数的图象上，则a的值为______． 13. 某中学随机抽查了50名学生，了解他们平均每天的睡眠时间，结果如表所示： 时间（小时） 6 7 8 9 人数 3 6 32 9 根据学生睡眠管理相关规定，初中学生平均每天睡眠时间不低于8小时，该校共有学生3000人，估计该校学生睡眠时间符合要求的约有______人． 14. 如图，是的弦，过圆心O，且，若，则的度数为_______． 15. 如图，在矩形中，点E在上，于点F，于点G．若，，，则的长为 ____________________． 16. 联欢会有A，B，C，D，E五个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D E 演员人数 10 1 2 10 3 彩排时长 25 10 10 15 10 已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目E的演员的候场时间为_____min；若使这26位演员的候场时间之和最小，则节目应按______的先后顺序彩排． 三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算： 18. 解不等式组 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，在四边形中，，，对角线交于O，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点C作的垂线交其延长线于点E，若，，求的长． 21. 在平面直角坐标系中，已知函数与的图象交于点． （1）求k和b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 22. 某校甲、乙两个班级各有23名学生进行校运动会入场式的队列训练，为了解这两个班级参加队列训练的学生的身高情况，测量并获取了这些学生的身高（单位：），数据整理如下： a．甲班23名学生的身高： 163，163，164，165，165，166，166，165，166，167，167，168，169，169，170，171，171，172，173，173，174，179，180． b．两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示： 班级 平均数 中位数 众数 甲 169 m n 乙 169 170 167 （1）写出表中m，n的值； （2）在甲班的23名学生中，高于平均身高的人数为，在乙班的23名学生中，高于平均身高的人数为，则___________（填“”“”或“”）； （3）若每班只能有20人参加入场式队列表演，首先要求这20人与原来23人的身高平均数相同，其次要求这20人身高的方差尽可能小，则甲班未入选的3名学生的身高分别为 ___________． 23. 如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD． （1）求证：FD是⊙O的一条切线； （2）若AB=10，AC=8，求DF的长． 24. 中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下： a．探究活动在同一社团活动室进行，室温； b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳； c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． （1）可以用函数刻画与x、与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； （2）探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为__________时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为__________（结果保留小数点后一位）； （3）探究活动中，当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则m__________60（填“>”“=”或“﹤”）． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若，求该抛物线的顶点坐标； （2）已知点，，在抛物线上，若求a的取值范围． 26. 在中，，，点M为的中点，连接，点D为线段上一动点，过点D作，且，（点E在的上方），连接，过点E作的垂线交边于点F． （1）如图1，当点D为的中点时， ①依题意补全图形； ②直接写出和的数量关系为______； （2）当点D在图2的位置时，用等式表示线段和之间的数量关系，并证明． 27. 如图，在平面直角坐标系中，，的半径为1．如果将线段绕原点逆时针旋转后的对应线段所在的直线与相切，且切点在线段上，那么线段就是⊙C 的“关联线段”，其中满足题意的最小就是线段与的“关联角”． （1）如图1，如果线段是的“关联线段”，那么它的“关联角”为______． （2）如图2，如果、、、、、．那么的“关联线段”有______（填序号，可多选）． ①线段；②线段；③线段 （3）如图3，如果、，线段是的“关联线段”，那么的取值范围是______． （4）如图4，如果点的横坐标为，且存在以为端点，长度为的线段是的“关联线段”，那么的取值范围是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期 初三数学阶段练习试卷 考查目标 1．知识：人教版初中数学教材第1-29章全部内容． 2．能力：数学运算能力，逻辑推理能力，阅读理解能力，实际应用能力，数形结合能力，分类讨论能力． 考生须知 1．本试卷分为第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡，共16页；其中第1卷2页，第Ⅱ卷4页，答题卡8页．全卷共三大题，28道小题． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在第Ⅰ卷、第Ⅱ卷指定位置和答题卡的密封线内准确填写班级、姓名、考号、座位号． 4．考试结束，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题 共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A. 正方形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形、中心对称图形的定义即可判断． 【详解】解：A、正方形是中心对称图形，又是轴对称图形不符合题意； B、等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C、直角三角形不是中心对称图形，不一定是轴对称图形，不符合题意； D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形； 中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 2. 将一副直角三角尺如图放置，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了几何图形中角的计算，先得出的度数，再求出的大小即可． 【详解】解：∵将一副直角三角尺如图放置，， ∴， ∴． 故选：C． 3. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据a，b，c对应的点在数轴上的位置，逐一判断即可． 【详解】解：由题意得：−3＜a＜−2＜−1＜b＜0＜3＜c＜4 ∴a＜b＜c，|b|<|c|，a+c＞0，ab<c， ∴A错误，B正确，C错误，D错误． 故选B． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，绝对值的概念，有理数的和的符号，积的符号的确定，掌握以上知识是解题的关键． 4. 为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】， 故选D． 5. 若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=4-4m＜0，解之即可得出结论． 【详解】解：∵方程x2+2x+m=0没有实数根， ∴△=22-4m=4-4m＜0， 解得：m＞1． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，熟练掌握“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键． 6. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率等知识点，先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次摸到相同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算，熟练掌握其画图或列表得出所有可能结果数是解决此题的关键． 【详解】画树状图为： 共有9种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果数为5种， ∴两次摸到相同颜色的棋子的概率， 故选：C． 7. 已知，由尺规作图痕迹可知，全等的理由为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，作一个角等于已知角；根据作图可得，结合，即可根据证明． 【详解】解：根据作图可得， 又∵， ∴． 故选：D． 8. 如图，在菱形中，，O为对角线的交点．将菱形绕点O逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为E，F，G，H．对八边形，给出下面四个结论，正确结论的个数是（ ） ①对于任意，该八边形都是正八边形；②存在唯一的，使得该八边形为正八边形 ③对于任意，该八边形都有外接圆；④对于任意，该八边形都有内切圆 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的性质与判定、旋转的性质等知识点，掌握菱形的性质与判定是解题的关键． 如图：延长和，连接，根据菱形的性质可得，；根据旋转的性质可得点一定在对角线上，且，，再证明可得，同理可得，再说明当时，，即存在唯一的，使得该八边形为正八边形，判断①和②，根据外接圆和内切圆的性质判断③和④即可． 【详解】解：如图：延长和，连接， ∵在菱形中，， ∴，， ∵菱形绕点O逆时针旋转得到菱形， ∴点一定在对角线上，且，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证：， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴该八边形各边长都相等； 当时，，即， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴当，八边形各内角相等，八边形为正八边形，故①错误，②正确． 当八边形有外接圆时，则，则，， ∴，， ∵， ∴， 即：， 此时八边形必为正八边形， ∴存在唯一，使该八边形有外接圆；故③错误； 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 同法可知：八角形各内角的角平分线的交点交于点， ∴点到各边的距离相等，即：对于任意，该八边形都有内切圆；故④正确； 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】x≥ 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴5x-1≥0， 解得，x≥， 故答案为：x≥． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 10. 分解因式：________. 【答案】. 【解析】 【分析】首先提取公因式3ab，再运用完全平方公式继续进行因式分解． 【详解】解：= 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，有公因式的首先提取公因式．掌握完全平方公式的特点：两个平方项，中间一项是两个底数的积的2倍，难点在于要进行二次因式分解． 11. 分式方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握运算法则，是解题的关键．先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 故答案为：． 12. 已知点与点在同一反比例函数的图象上，则a的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：反比例函数图象上的点的横、纵坐标的积是定值k． 设反比例函数解析式为，反比例函数图象上的点的横、纵坐标的积是定值k，即，据此可得a的值． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵点与点在反比例函数图象上， ∴ ， 解得 ， 故答案为：． 13. 某中学随机抽查了50名学生，了解他们平均每天的睡眠时间，结果如表所示： 时间（小时） 6 7 8 9 人数 3 6 32 9 根据学生睡眠管理相关规定，初中学生平均每天睡眠时间不低于8小时，该校共有学生3000人，估计该校学生睡眠时间符合要求的约有______人． 【答案】2460 【解析】 【分析】本题考查利用样本估计总体，用总人数乘以样本中平均每天睡眠时间不低于8小时的人数所占的比例，进行求解即可． 【详解】解：（人）； 故答案为：2460． 14. 如图，是的弦，过圆心O，且，若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，连接，先根据等边对等角，从而得到，再利用等腰三角形的定义和三角形外角的性质得到的度数即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，点E在上，于点F，于点G．若，，，则的长为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．先利用勾股定理求出，然后证明，求出，再证明，求出，即可进一步求得答案． 【详解】解：，，， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 联欢会有A，B，C，D，E五个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始，每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D E 演员人数 10 1 2 10 3 彩排时长 25 10 10 15 10 已知每位演员只参演一个节目，一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目E的演员的候场时间为_____min；若使这26位演员的候场时间之和最小，则节目应按______的先后顺序彩排． 【答案】 ①. 60 ②. 【解析】 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握其运算方法是解题的关键． 根据候场时间定义计算即可，若使这26位演员的候场时间之和最小，则节目应按：顺序排序． 【详解】解：根据题意，节目E的演员的候场时间为：； 若使这26位演员的候场时间之和最小，则人数一样，彩排时间长节目排在后面， ∴在后面， ∵节目时间一样的，人数少的在后面， ∴按顺序， ∴应按：顺序彩排，26位演员的候场时间之和最小， ∴候场时间之和为 故答案为：60；． 三、解答题（共68分，其中第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算： 【答案】-5 【解析】 【分析】先算零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根号，绝对值，再算加减法即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根号，绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为． 19. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，将分式进行约分化简后，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 20. 如图，在四边形中，，，对角线交于O，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点C作的垂线交其延长线于点E，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证，再证，得，然后证四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）根据菱形的性质结合三角函数得出，，求出，在中，解直角三角形，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， 中，， ，， ，， 过点C作的垂线交其延长线于点E， ， 中，， ． 21. 在平面直角坐标系中，已知函数与的图象交于点． （1）求k和b的值； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）k的值为1，b的值为 （2）且 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与不等式，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线的上方且在直线的下方，画出临界状态图象分析即可． 【小问1详解】 解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，且小于的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线的上方且在直线的下方，则画出图象为： 将代入，则， ∴直线的图象过定点， 将代入，则， 由图象得：当直线的图象过点时， 则，解得：； 将代入，则， 由图象得：当直线的图象过定点时， 则，解得：； 综上，m的取值范围为:且． 22. 某校甲、乙两个班级各有23名学生进行校运动会入场式的队列训练，为了解这两个班级参加队列训练的学生的身高情况，测量并获取了这些学生的身高（单位：），数据整理如下： a．甲班23名学生的身高： 163，163，164，165，165，166，166，165，166，167，167，168，169，169，170，171，171，172，173，173，174，179，180． b．两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示： 班级 平均数 中位数 众数 甲 169 m n 乙 169 170 167 （1）写出表中m，n的值； （2）在甲班的23名学生中，高于平均身高的人数为，在乙班的23名学生中，高于平均身高的人数为，则___________（填“”“”或“”）； （3）若每班只能有20人参加入场式队列表演，首先要求这20人与原来23人的身高平均数相同，其次要求这20人身高的方差尽可能小，则甲班未入选的3名学生的身高分别为 ___________． 【答案】（1）或 （2） （3）163、164、180 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，掌握统计量的确定方法或计算公式是解题的关键． （1）分别根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据中位数的意义解答即可； （3）根据平均数和方差的定义解答即可． 【小问1详解】 解：把甲班23名学生的身高从小到大排列，排在中间的数是168， 故中位数； 甲班23名学生的身高中165和166出现的次数最多， 故众数或； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴甲班未入选的3名学生的身高分别为． 故答案为：163、164、180． 23. 如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点E，且交⊙O于点D，F是BA延长线上一点，若∠CDB=∠BFD． （1）求证：FD是⊙O的一条切线； （2）若AB=10，AC=8，求DF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用圆周角定理以及平行线的判定得出∠FDO=90°，进而得出答案； （2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长． 试题解析：（1）证明：∵∠CDB=∠CAB，∠CDB=∠BFD， ∴∠CAB=∠BFD， ∴FD∥AC， ∵∠AEO=90°， ∴∠FDO=90°， ∴FD是⊙O的一条切线； (2)∵AB=10，AC=8，DO⊥AC， ∴AE=EC=4，AO=5， ∴EO=3， ∵AE∥FD， ∴△AEO∽△FDO， ∴， ∴， 解得：FD=． 考点：1．切线的判定；2．垂径定理；3．相似三角形的判定与性质． 24. 中国茶文化博大精深，自古以来中国人有饮茶的传统．某校茶文化社团探究了刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的时间．部分内容如下： a．探究活动在同一社团活动室进行，室温； b．经查阅资料得知，茶水口感与茶叶类型及水的温度有关．某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳； c．同时用不同温度的热水冲泡茶叶，记放置时间为x（单位：），普洱茶茶水的温度为（单位：），绿茶茶水的温度为（单位：）．记录的部分数据如下： x 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 95.0 88.5 82.6 77.2 72.4 68.0 64.0 60.3 57.1 54.1 51.4 85.0 79.5 74.5 70.0 65.8 62.0 58.6 55.5 52.7 50.2 47.9 对以上数据进行分析，补充完成以下内容． （1）可以用函数刻画与x、与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； （2）探究活动中，当绿茶茶水的放置时间约为__________时，其饮用口感最佳，此时普洱茶茶水的温度约为__________（结果保留小数点后一位）； （3）探究活动中，当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则m__________60（填“>”“=”或“﹤”）． 【答案】（1） 如图所示： （2）5.5；66.0 （3）> 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息、用描点法画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把列表的数值分别在图象中描点出来，再依次连接，即可作答． （2）结合图象以及题干“某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；且结合函数图象”，进行作答即可． （3）相比较：某种普洱茶用的水冲泡，放置，此时测得其温度为接近，以及结合图象，进行作答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵某种普洱茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；某种绿茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳；且结合函数图象 ∴绿茶茶水降至饮用，大概时间轻为5.5，其饮用口感最佳， 此时普洱茶茶水的温度约为（结果保留小数点后一位）； 故答案为：5.5；66.0． 【小问3详解】 解：∵某种普洱茶用的水冲泡，放置，此时测得其温度为接近， ∴当普洱茶茶水的温度为时，再继续放置，测得其温度为，则 故答案为：>． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）若，求该抛物线的顶点坐标； （2）已知点，，在抛物线上，若求a的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）把代入解析式，化为顶点式，即可得出结果； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴顶点坐标为：； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，则：当时，函数有最小值为，抛物线上的点离对称轴越远函数值越大， ∵点，，在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当时，则：当时，函数有最大值为，抛物线上的点离对称轴越远函数值越小， ∵点，，在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上：或． 26. 在中，，，点M为的中点，连接，点D为线段上一动点，过点D作，且，（点E在的上方），连接，过点E作的垂线交边于点F． （1）如图1，当点D为的中点时， ①依题意补全图形； ②直接写出和的数量关系为______； （2）当点D在图2的位置时，用等式表示线段和之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）①补图． ② （2）当点D在图2位置时，仍满足， 证明：如图，设与交于点N，连接， ∵，，M为中点， ∴，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵在和中，，，， ∴（即）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②分别证明，是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可证明； （2）设与交于点N，连接，证明，利用等腰三角形的性质即可证明． 【小问1详解】 解：①补图． ②如图1，过点E作的垂线交边于点F． ，，点M为的中点， ，， ， 是等腰直角三角形， 点M，F重合， ， ， 是等腰直角三角形， ，且， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，，的半径为1．如果将线段绕原点逆时针旋转后的对应线段所在的直线与相切，且切点在线段上，那么线段就是⊙C 的“关联线段”，其中满足题意的最小就是线段与的“关联角”． （1）如图1，如果线段是的“关联线段”，那么它的“关联角”为______． （2）如图2，如果、、、、、．那么的“关联线段”有______（填序号，可多选）． ①线段；②线段；③线段 （3）如图3，如果、，线段是的“关联线段”，那么的取值范围是______． （4）如图4，如果点的横坐标为，且存在以为端点，长度为的线段是的“关联线段”，那么的取值范围是______． 【答案】（1） （2）②，③ （3） （4） 【解析】 【分析】（1）作OD与相切，此时所得最小，根据切线的性质可得，再由含角的直角三角形的特殊性质可得，再由勾股定理可得OD长度，判断切点在OD上即可得 （2）根据勾股定理求出各点与原点的距离与最长切线距离比较即可得； （3）线段BD绕点O的旋转路线的半径为1的上，当OD与相切时，由（1）可得：，根据题意即可确定t的取值范围，得出线段BD是的“关联线段”； （4）当m取最大值时，M点运动最小半径是O到过点的直线l的距离m，根据题意可得，得出，即为m的最大值；当m取最小值时，作出相应图形，根据题意可得，再由，及点M所在位置，即可确定m的最小值，综合即可得． 【小问1详解】 解：如图所示：作OD与相切， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴此时的角度最小，且， ∴切点在线段OD上， ∴OA的关联角为； 【小问2详解】 解：如图所示：连接，，，， ∵，， ∴， ∴切点不在线段上，不是的“关联线段”； ∵，， ∴，， ∵， ∴是的“关联线段”； ∵， ∴是的“关联线段”； 【小问3详解】 解：，，线段BD绕点O的旋转路线的半径为1的上， 当OD与相切时， 由（1）可得：， ∴当时，线段BD是的“关联线段”， 故答案为：； 【小问4详解】 解：如图所示：当m取最大值时， M点运动最小半径是O到过点的直线l的距离是m， ∵，， ∴， ∴， ∴m的最大值为4， 如图所示：当m取小值时， 开始时存在ME与相切， ∵，， ∴， ∵，及点M所在位置， ∴， 综上可得：， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查直线与圆的位置关系，线段旋转的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应图象是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $