第1-4章综合培优测试卷 2024-2025学年浙教版数学七年级下册

浙教版2024-2025学年七年级下数学第1-4章综合培优测试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．计算的正确结果是（　　） A． B． C． D． 3．下列算式能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（　　） A． B． C． D． （第4题） （第7题） （第10题） 5．下列从左到右的变形，是分解因式的是（　　） A． B． C． D． 6．若关于x、y的方程的一组解是，则a的值为（　　） A． B． C．1 D．2 7．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　） A．60 B．96 C．84 D．42 8．已知关于x，y的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数； ④x，y都为自然数的解有5对． 以上说法中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知，则代数式的值为（　　） A．30 B．36 C．42 D．48 10．如图，在长方形中放入一个大正方形和两个大小相同的小正方形及，其中在边上，与在同一条直线上且，延长交于点K，三个阴影部分的面积分别记为，，，已知长方形的面积，则下列式子可计算出的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则　 　． 12．分解因式：3x2-6x=　 　. 13．已知，则的值为 　 　． 14．有12个正整数，它们中最大的数为a，对于任意一个整数都等于这12个数中的某一个数或一部分数之和，则a的最小值为　 　． 15．如图，点E，F为长方形边上两点，为锐角，将长方形沿翻折，点A，B分别落在，处，交边于点G，若图中所有钝角中最大的度数为，则的度数为　 　°． （第15题） （第16题） 16．如图，有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形与的面积之和为　 　． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．解下列方程： （1）； （2）． 18．因式分解： （1）； （2）． 19．（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，求的值． 20．如图，点，分别在的边，点在线段上，且，EF∥AB． （1）求证：； （2）若平分，，求． 21．根据以下素材，探索完成任务． 背景 为了迎接2023杭州亚运会，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品． 素材1 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元． 素材2 为了满足市场的需求，咖啡店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．小华恰好用了208元购买A、B两款咖啡，其中A款不加料的杯数是总杯数的． 　 问题解决 任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡（两种都要），刚好花200元，问有几种购买方案？ 任务3 求小华购买的这两款咖啡，其中B型加料的咖啡买了多少杯（直接写出答案）？ 22．已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． （1）（基础问题）如图1，试说明：．（完成图中的填空部分） 证明：过点G作直线， 又， ，（ ） ∴ ， （ ） ， ． （2）（类比探究）如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系并说明理由． （3）（应用拓展）如图3，平分，交于点H，且，，，求的度数． 23．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2．请你直接写出下列三个代数式，，之间的等量关系为 ； （2）运用你所得到的公式解答下列问题： ①若，为实数，且，，求的值． ②如图3，，，分别表示边长为，的正方形的面积，且，，三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积． 24．我们规定：对于数对，如果满足，那么就称数对是“和积等数对”：如果满足，那么就称数对是“差积等数对”，例如，．所以数对为“和积等数对”，数对为“差积等数对”． （1）下列数对中，“和积等数对”的是 ；“差积等数对”的是 ． ①，②，③． （2）若数对是“差积等数对”，求的值． （3）是否存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙教版2024-2025学年七年级下数学第1-4章综合培优测试卷 解析版 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A、该方程符合二元一次方程的定义，此选项符合题意； B、该式子不是等式，不符合二元一次方程的定义，此选项不符合题意； C、该方程中含有未知数的项的最高次数是2，不符合二元一次方程的定义，此选项不符合题意； D、该方程不是整式方程，此选项不符合题意； 故答案为：A． 2．计算的正确结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】． 故答案为：B． 3．下列算式能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为表示两个数的和乘以两个数的和， 不符合平方差公式表示两个数的和乘以两个数的差， 故A不符合题意； 因为表示两个数的差乘以两个数的差， 不符合平方差公式表示两个数的和乘以两个数的差， 故B不符合题意； 因为表示两个数的差乘以两个数的和， 符合平方差公式的条件， 故C符合题意； 因为表示两个数的和乘以两个数的相反数的和， 不符合平方差公式表示两个数的和乘以两个数的差， 故D不符合题意； 故答案为：C． 4．如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，则A不符合题意； 因为，所以，则B符合题意； 因为，所以，则C不符合题意； 因为，所以，则D不符合题意． 故答案为：B． 5．下列从左到右的变形，是分解因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得， ，不是因式分解，故A不符合题意， ，不是因式分解，故B不符合题意， ，不是因式分解，故C不符合题意， ，是因式分解，故D符合题意， 故答案为：D． 6．若关于x、y的方程的一组解是，则a的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】 的一组解是， ，解得 ， 故答案为：D． 7．如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为（　　） A．60 B．96 C．84 D．42 【答案】A 【解析】由题意可得，，梯形是直角梯形， ∴． ∵，， ∴， ∵平移距离为6， ∴， ∴． 故答案为：A． 8．已知关于x，y的方程组，给出下列说法： ①当时，方程组的解也是的解； ②若，则； ③无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数； ④x，y都为自然数的解有5对． 以上说法中正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】 ①当时，原方程组可化为， 解得， 将、代入也成立， ∴当时，方程组的解也是的解，①正确； ②由题意得， ⑤+⑥得2x+y=6+3a， ∴6+3a=3， 解得a=-1，②正确； ③由题意得x+2y=6-3a，2x+y=6+3a， ∴x+y=4， ∴无论a取何值，x，y的值不可能互为相反数，③正确； ④∵x+y=4， ∴x，y都为自然数的解为， ∴x，y都为自然数的解有5对，④正确； ∴正确的个数为4， 故答案为：D 9．已知，则代数式的值为（　　） A．30 B．36 C．42 D．48 【答案】B 【解析】 ， 故答案为：B． 【分析】根据平方差公式进行因式分解，然后整体代入计算解题． 10．如图，在长方形中放入一个大正方形和两个大小相同的小正方形及，其中在边上，与在同一条直线上且，延长交于点K，三个阴影部分的面积分别记为，，，已知长方形的面积，则下列式子可计算出的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，延长交于点， 两个大小相同的小正方形及， ， ， 即， 四边形的面积等于， 同理可得， ， 四边形的面积等于， ， ， 即， ， ， 四边形为正方形，两个大小相同的小正方形及， ，， ， 即， 正方形的面积为4， 长方形的面积已知， 已知， 故答案为：D． 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则　 　． 【答案】 【解析】∵，∴， ∴， 故答案为：． 12．分解因式：3x2-6x=　 　. 【答案】3x（x-2） 【解析】3x2-6x=3x（x-2）. 故答案为：3x（x-2）. 【分析】观察多项式可知每一项都有公因式3x，所以可用提公因式法分解因式. 13．已知，则的值为 　 　． 【答案】50 【解析】 故答案为： 50. 14．有12个正整数，它们中最大的数为a，对于任意一个整数都等于这12个数中的某一个数或一部分数之和，则a的最小值为　 　． 【答案】1024 【解析】由于任意一个整数等于这12个数中某一个数或一部分数之和， 12个数中一定有1，2，，故没有3，一定有4， 由此往下可知：，，，一定有8， 整数中有1，2，4，8， ，，，，，， 下一个数为16， 由此我们可以发现1，2，4，8，可以相加为1至15中的数值， 下一个为， 1，2，4，8，32中可以相加为1至31中的数值， 下一个为， 递推得：这十二个数中必有1，2，4，8，32，64，128，256，512，1024， 到1024截止， ， 1，2，4，8，32，64，128，256，512可以相加为1至1023中的任意值， ，满足 a的最小值为1024， 故答案为：1024． 15．如图，点E，F为长方形边上两点，为锐角，将长方形沿翻折，点A，B分别落在，处，交边于点G，若图中所有钝角中最大的度数为，则的度数为　 　°． 【答案】或 【解析】如图，延长至， 四边形为长方形， ，， 由折叠可知：， ， 即， 由图可知，图中的钝角一共有3个为， 当时， ， 当时， ， ， ， ， ， ，即， ， 故答案为：或． 16．如图，有两个正方形，，现将放在的内部如图甲，将，并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形与的面积之和为　 　． 【答案】 【解析】设A、B正方形的面积分别为，则边长分别为a、b， 由图甲得：， 由图乙得：， 即：， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）解：， 把①代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是 （2）解：， ，得， ，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是 18．因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）解： （2）解： 19．（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，求的值． 【答案】解：（1） 当时；原式； （2） 当、时，原式 20．如图，点，分别在的边，点在线段上，且，EF∥AB． （1）求证：； （2）若平分，，求． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， （2）解：∵平分， ∴， 由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 21．根据以下素材，探索完成任务． 背景 为了迎接2023杭州亚运会，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品． 素材1 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元． 素材2 为了满足市场的需求，咖啡店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．小华恰好用了208元购买A、B两款咖啡，其中A款不加料的杯数是总杯数的． 　 问题解决 任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡（两种都要），刚好花200元，问有几种购买方案？ 任务3 求小华购买的这两款咖啡，其中B型加料的咖啡买了多少杯（直接写出答案）？ 【答案】解：任务1：设A型咖啡的每杯价格为x元，B型咖啡每杯价格为y元，由题可知：， 解得：， 即A型咖啡的每杯价格为8元，B型咖啡每杯价格为10元； 任务2：设A型咖啡为m杯，B型咖啡为n杯， 则， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴解得：，，，， 即有共有四种方案； 任务3：买了6杯 设A型不加料为a杯，总的杯数为3a杯，设A型的加料和B型的不加料共为b杯，则B的加料为杯， ∵A型的加料和B型的不加料的价格均为每杯10元， ∴总花费为：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵a，b是整数， ∴，， ∴（杯） 22．已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． （1）（基础问题）如图1，试说明：．（完成图中的填空部分） 证明：过点G作直线， 又， ，（ ） ∴ ， （ ） ， ． （2）（类比探究）如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系并说明理由． （3）（应用拓展）如图3，平分，交于点H，且，，，求的度数． 【答案】（1）平行于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，内错角相等； （2）解：，理由如下，过点G作直线，如图所示： 则， ， ， ∴， （3）解：如图，过点G作直线，过点作直线， 则，， ， ，， ∴，， ∴， ， ，， ， ∵平分∠GAB， ， ∴，， ， ， ∵， 23．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2．请你直接写出下列三个代数式，，之间的等量关系为 ； （2）运用你所得到的公式解答下列问题： ①若，为实数，且，，求的值． ②如图3，，，分别表示边长为，的正方形的面积，且，，三点在一条直线上，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）解：①，， ， ， 或． ②，，分别表示边长为，的正方形的面积， ，， ， ， ， ， ， ， 由图可知，阴影部分面积． 阴影部分面积为8 【解析】（1）解：由图可知，大正方形面积四个矩形的面积中间小正方形的面积，即， 故答案为：． 24．我们规定：对于数对，如果满足，那么就称数对是“和积等数对”：如果满足，那么就称数对是“差积等数对”，例如，．所以数对为“和积等数对”，数对为“差积等数对”． （1）下列数对中，“和积等数对”的是 ；“差积等数对”的是 ． ①，②，③． （2）若数对是“差积等数对”，求的值． （3）是否存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）②；① （2）解：∵数对是“差积等数对”， ∴， 解得：； （3）解：存在，∵数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”， ∴， ∴， 即， 把代入得：， 解得：， ∴． 即存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”． 【解析】（1）解：∵ ∴， ∴是“差积等数对”； ∵ ∴， ∴是“和积等数对”； ∵ ∴既不是“和积等数对”，也不是“差积等数对”； 故答案为：②；① www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$