二次函数中矩形的存在性问题2025年中考数学复习专项

二次函数中矩形的存在性问题 2025年中考数学复习专项 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为交轴于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段上一点，是抛物线上一点，当轴，且时，求点的坐标； (3)是抛物线上一动点，是平面直角坐标系内一点．是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； (3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； (4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，经过点，的抛物线（为常数）与轴交于点，顶点为点．点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得取得最小值，求点坐标； (3)若点坐标为，连接，取线段的中点，将点绕点顺时针方向旋转得到点，连接，以，为邻边构造矩形． ①设的长为，求关于的函数解析式； ②请直接写出当点在矩形外部时，的取值范围． 5．如图，二次函数的图象与x轴的交点分别为和，与y轴交于点C，Q是直线上方二次函数图象上一动点． (1)求二次函数的解析式． (2)如图1，过点Q作x轴的平行线交于点E，过点Q作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及点Q的坐标． (3)如图2，设M为抛物线对称轴上一动点，当点Q，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标． 6．已知二次函数的图象过原点，顶点坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)如图1，在x轴下方作x轴的平行线l，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形为正方形时，求A点的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，作直线，动点P从点A出发沿射线以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线于点F，当以A、E、F、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求该抛物线与直线的解析式． (2)点是第一象限内抛物线上一动点，过点作轴，交直线于点，过点作轴交抛物线于点，以，为边作矩形．设点的横坐标为． ①求矩形的周长的最大值． ②当直线将矩形分成面积比为1：3的两个部分时，直接写出的值． 8．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线经过两点，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线上方的抛物线上的一动点（点不与点重合），连接，设四边形的面积为，求的最大值； (3)若点在平面直角坐标系内一点，则在抛物线上是否存在一点，使得以四点为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线过点，点是抛物线上一个动点，过点作矩形，使边在轴上（点在点的左侧），点在抛物线上，设点的横坐标是，当时，．    (1)求抛物线的解析式； (2)当为何值时，四边形是正方形？ (3)保持时的矩形不动，将抛物线向右平移，平移后的抛物线与矩形边的交点分别是，直线平分矩形的面积，请直接写出平移后的抛物线解析式． 10．如图1，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P、Q为直线下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作轴，交于点M，过点Q作轴交于点N，求的最大值及此时点Q的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，且为矩形一边，求出此时所有满足条件的点E的坐标． 11．抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是，过点D作直线轴，垂足为点E，交直线于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长； (3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形邻边之比为时，请直接写出点P的横坐标． 12．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C、D在抛物线上．设，当时，．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G、H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．D是抛物线对称轴上一点，纵坐标为，P是线段上方抛物线上的一个动点，连接．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)当与的面积相等时，求点P的坐标； (3)将抛物线向左平移3个单位，再向下平移5个单位．新抛物线与x轴交于E、F两点(点E在点F左侧)，与y轴交于点G，M是新抛物线上一动点，N是坐标平面上一点，当以备用图点E、G、M、N为顶点的四边形是矩形时，请写出所有满足条件的点M的坐标． 14．如图，抛物线与坐标轴相交于，两点，点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G；交直线于点E． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求的最大值； (3)过点B的直线交y轴于点C，交直线于点F，H是y轴上一点，当四边形是矩形时，求点H的坐标． 15．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，，点的坐标是，点是抛物线上的一个动点，其横坐标为，且． (1)求此抛物线的解析式； (2)若点是直线上的一个动点，且位于轴的上方，当轴时，作，交抛物线于点（点在点的右侧），以，为邻边构造矩形，求该矩形周长的最小值； (3)设抛物线在点与点之间的部分（含点和）最高点与最低点的纵坐标之差为． ①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； ②当时，直接写出的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数中矩形的存在性问题2025年中考数学复习专项》参考答案 1．(1) (2)存在，的横坐标为或或或 【分析】（1）根据二次函数的顶点坐标列出关于的方程组，求解即可； （2）分三种情况：①若是斜边，则；②若是斜边，则；③若是斜边，则，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线交轴于、两点， 当时，得， 解得：或， ∴，， 设，则， ，， ∵构成的四边形是矩形， ∴是直角三角形， ①若是斜边，则， ∴， 解得：，（舍去），（舍去），此时点的横坐标为或； ②若是斜边，则， ∴， 解得：或（舍去），此时点的横坐标是； ③若是斜边，则， ∴， 解得：或（舍去），此时点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与几何图形的综合，矩形的性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握二次函数与几何图形的综合运用，矩形的性质是解题的关键． 2．(1)抛物线的表达式为 (2)点的坐标为或或 (3)存在，满足条件的点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）求出直线的表达式为，设，则，得到，结合，列方程求出，即可求解； （3）画出图形，分是四边形的边和是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理、相似三角形的判定与性质、函数图像的交点、平移等知识点进行解答即可得出答案． 【详解】（1）解：抛物线过原点， ， 将代入抛物线中，得， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设， 是抛物线上一点，轴， ， ， ， ， 解得：，（舍去），，， 点的坐标为或或； （3）存在，满足条件的点的坐标有4个． ①如图，若是四边形的边， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 拋物线的对称轴与直线相交于点，， 联立， 解得：或， ， 过点，分别作直线的垂线交抛物线于点，， ，，， ，，． ， ． ． 点与点重合． 当，时，四边形是矩形． 向右平移个单位，向上平移个单位得到． 向右平移个单位，向上平移个单位得到， 此时直线的解析式为． 直线与平行且过点， 直线的解析式为． 点是直线与拋物线的交点， ， 解得：，（舍去）． ． 当，时，四边形是矩形， 向左平移个单位，向上平移个单位得到． 向左平移3个单位，向上平移3个单位得到． ②如图，若是四边形的对角线， 当时．过点作轴，垂足为，过点作，垂足为． 可得，． ． ． 设， ． 点不与点，重合， 和． ． ，． 如图，满足条件的点有两个．即，． 当，时，四边形是矩形． 向左平移个单位，向下平移个单位得到． 向左平移个单位，向下平移个单位得到． 当，时，四边形是矩形． 向右平移个单位，向上平移个单位得到． 向右平移个单位，向上平移个单位得到． 综上，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式、勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形、进行分类讨论是解题的关键． 3．(1)； (2)，且； (3)或或； (4)存在，或． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为，当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，即可求解； （3），矩形 内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4，当点M的纵坐标为 时，，解得：；当点M的纵坐标为时，，即可求解； （4）当点M在点B的上方时，证明，得到，即可求解；当点M在点B的下方时，同理可解． 【详解】（1）解：（1）抛物线经过原点O， 则抛物线的表达式为：， 将点B的坐标代入上式得：，则， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为， 当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升， 即，点B、M不重合，故， 即且； （3）解：∵点，矩形 内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4， ∴当点M的纵坐标为 时， ∴，解得：； 当点M的纵坐标为时， ∴， 解得：或； 综上，m的值为或或； （4）解：存在，或，理由： 当点M在点B的上方时，如图，设点， 过点B、M分别作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为H、G， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， 则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：（舍去）或， 则； 当点M在点B的下方时， 同理可得，点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去） 则； 综上， 或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 4．(1) (2) (3)①；②点在矩形外部时，或或 【分析】（1）把，点分别代入抛物线，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）确定点A关于对称轴的对称点，连接对称点与点C，与对称轴的交点就是线段和最小的位置，解得即可． （3） ①根据点M坐标为，点，线段的中点Q，得到，当即时，点在点A的右侧，此时；当即时，点在点A的左侧侧，此时，解答即可； ②根据题意，分类讨论，数形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：把，点分别代入抛物线， 得， ∴， 故抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵，点满足， ∴两点是关于直线的对称点， 连接，交直线于点，则点就是满足取得最小值的点， ∵，令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． （3）解：①∵点坐标为，点， ∴线段的中点的横坐标为， ∴， 如图所示，点在点右边， ∴，即时，点在点A的右侧， 此时； 如图所示，点在点左边， ∴，即时，点在点A的左侧， 此时． 综上所述，l关于m的函数解析式为 ②点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为， 点坐标为，点是线段的中点，且， 第一种情况，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线上方，此时点在矩形外部， ∴在点中，，则，在点中，， ∴此种情况不存在； 第二种情况，如图所示，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线下方，过点作于点，当时点在矩形外部，， ∴，即， ∴，， ∴， 解得，或， ∴； 第三种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点右边，则，此时点在矩形外部， ∴； 第四种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点左边，点右边，则，当时点在矩形外部，， ∴，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点在矩形外部时，或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求最值，等腰直角三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，一次函数解析式确定，解方程组，熟练掌握待定系数法，解方程组是解题的关键． 5．(1) (2)最大值为， (3)点N的坐标为或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想的应用． （1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式，设，则，．得到，利用二次函数的性质求解即可； （3）设，，根据矩形的性质，表示出，分当N点在y轴上和点N在x轴负半轴上时，两种情况讨论，列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设． 又∵， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线与y轴交于点C， ∴点C的坐标为． ∵，在直线上 设直线解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． 设，则，． ∴． ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 此时的 （3）设，， 设的中点为． ∵四边形是矩形， ∴的中点为K， ∴． ∵点N在坐标轴上， ∴或， 当时，，轴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴；    当时，点N在x轴上，如图， 过点Q作轴于点H． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得或， ∴点Q在直线上方， ∴， ∴， ∴， 综上所述，点N的坐标为或． 6．(1) (2) (3)4或6或 【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标，进而可得出点C，D的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论； （3）由（2）可得出点A，B，C，D的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点E、F的坐标，由且以A、E、F、Q四点为顶点的四边形为平行四边形可得出，分，，三种情况找出，的长，由可得出关于t的-元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 顶点坐标为 ， 将原点的坐标代入上式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：设直线l的表达式为：， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴点D的坐标为，点C的坐标为． ∵矩形为正方形， ， 解得：（舍去），． ， 即点； （3）解：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形． 由（2）可知：点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为． 设直线的解析式为， 代入，， 得， 解得， 直线的解析式为． 当时， ，， ∴点E的坐标为，点F的坐标为． ∵以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且， ，分三种情况考虑： ①当时， ，， ， 解得：（舍去），； ②当时， ，， ， 解得：（舍去），； ③当时， ，， ， 解得：（舍去），． 综上所述：当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或6或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是∶(1)根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式∶(2)利用正方形的性质，找出关于m的方程∶(3) 分，，三种情况，利用平行四边形的性质找出关于t的一元二次方程． 7．(1)， (2)①，②或 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）①根据解析式写出点的坐标，表示出矩形的周长，再用二次函数的性质求出最值即可；②根据面积比为1：3，得出坐标关系，代入解析式求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， 抛物线解析式为； 设直线的解析式为，把，代入得， ，解得， 直线的解析式为． （2）解：①点的横坐标为， 则点的坐标为，点的坐标为， 因为抛物线的对称轴为直线， 所以点的坐标为， 当点P在对称轴右侧时，，， 矩形的周长为， 即， 当时，矩形的周长最大，最大值为； 当点P在对称轴左侧时，， 矩形的周长= 周长最大值为； 综上，矩形的周长最大值为； ②直线将矩形分成面积比为1：3的两个部分， 当直线与相交所得的三角形占一份时，交点为中点，则， ， 解得，（舍去）； 当直线与相交所得的三角形占一份时，交点为中点，则， ， 解得，（舍去）． 综上，m的值为或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合，解题关键是利用待定系数法求出解析式，利用点的坐标解决问题． 8．(1) (2)的最大值为； (3)点坐标为或或或． 【分析】（1）将代入，即可求解； （2）过作轴于点，与交于点，设，则，则，当时，的最大值为； （3）设点的横坐标为t，分三种情况讨论：①当为边，点在上方时；②当为边，点在上方时；③当为对角线时，计算即可求解． 【详解】（1）解：将代入， ， 解得：， ； （2）解：过作轴于点，与交于点， ，， ， 当时，， ， ， 设，则， ， ， ， 当时，的最大值为； （3）解：存在一点，使得以，，，四点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ，， ∴，，作轴于点，设点的横坐标为t， ①当为边，点在上方时，如图，作于点， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点的坐标为， ∴， 解得（舍去），， ∴点的坐标为； ②当为边，点在上方时，如图， 同理，， ∴点的坐标为， ∴， 解得（舍去），， ∴点的坐标为； ③当为对角线时，如图，作于点， ∴，，，，∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得（舍去），（舍去），， ∴点的坐标为或， 综上所述：点坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 9．(1)抛物线的解析式为； (2)的值为； (3)平移后的抛物线解析式． 【分析】（）由题意抛物线过，，待定系数法即可求解； （）由抛物线的对称性可知，，则，由，四边形是正方形，得出，然后解方程即可； （）连接，，交点为，当时，，，，，求出，又平移后的抛物线与矩形边、的交点分别是、，直线平分矩形的面积，，则平移后得到，从而是中位线，故抛物线向右平移个单位，即可求解； 此题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及平移变换的性质． 【详解】（1）∵抛物线过，， ∴，解得 ∴抛物线的解析式为； （2）由抛物线的对称性可知，， ∴， ∵点的横坐标是， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，即， 整理得：，解得：（舍去），， ∴的值为； （3）连接，，交点为，    当时，，，，， ∴点， ∵平移后的抛物线与矩形边、的交点分别是、，直线平分矩形的面积，， ∴平移后得到， ∴中点对应点是， ∴是中位线， ∴， ∴抛物线向右平移个单位， ∴， 则平移后的抛物线解析式． 10．(1) (2)， (3)或 【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答； （2）设，则，进而得到；再表示出，最后根据二次函数的性质即可解答； （3）分两种情况：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作，当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定理解答即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：抛物线（）与y轴交于点C，令，则， ∴C点的坐标为，设直线的解析式为，把B、C点的坐标代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 点P、Q为直线下方抛物线上的两点，设，则， ∴，， ∴，， ∴， 当时，， ∴； （3）解：由题意可得：， ∴的对称轴为， ∴抛物线与y轴交于点C． ∴， ∵， ∴，， 当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作，如图所示： ∵D在的对称轴为， ∴， ∴，，即点， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到； 当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，如图所示：     设的对称轴为与x轴交于F， ∵D在的对称轴为， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即点， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； 综上分析可知，点E的坐标为：或． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键． 11．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将点，代入解析式即可求解； （2）可求直线的解析式为，可得，，，①当时，可求，，即可求解；②当时，，，即可求解； （3）①当在对称轴的左侧时，得到是矩形，邻边之比为，即，即可求解；②当在对称轴的右侧时，同理可求． 【详解】（1）解：由题意得 解得， 故抛物线的表达式； （2）解：当时，， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 点D的横坐标是，过点D作直线轴， ，，， ①如图，当时，   ， ， ， 整理得：， 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， ； ②如图，当时，   ， ， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ； 综上所述：线段的长为或． （3）解：设点，， 当四边形是矩形时，则为直角， ①当在对称轴的左侧时， 如图，过作轴交轴于，交过作轴的平行线于，   ， ∵为直角， 则， ∵， ∴， ∴， ∵是矩形邻边之比为，即或， 即和的相似比为或， 即， 由题意得：，， ∴， 则， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）； ②当在对称轴的右侧时，    同理可得：， 解得：， 综上，或． 【点睛】本题考查了二次函数综合体，主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，矩形的性质，三角形相似的性质等知识点，分类求解是解答本题的关键． 12．(1) (2)4 【分析】（1）设抛物线的解析式为，结合题意可得点C的坐标；代入点C的坐标即可求出解析式； （2）连接、相交于点P，连接，取的中点Q，连接，结合题意以及矩形和二次函数的对称性可求得，，根据直线平分矩形的面积可得直线过点，利用平移的性质得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，根据矩形的性质可得点P是的中点，分别求出点P和点Q的坐标，求出，根据点P和点Q的纵坐标相等可得，根据两组对边额分别平行的四边形是平行四边形可证明四边形是平行四边形，推得，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为：， ∵当时，， ∴， 将点C坐标代入解析式得；， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）如图，连接、相交于点P，连接，取的中点Q，连接，    ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∵直线过对角线的交点， ∴平分矩形的面积， 由平移的性质可知，四边形是平行四边形， ∴，， ∵P是中点， ∴， ∵Q是中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴抛物线平移的距离是4． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求抛物线解析式，二次函数的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，平移的性质等；解题的关键是掌握二次函数和矩形的对称性，平移变换的性质等知识点． 13．(1)抛物线的函数解析式是； (2)点P的坐标为； (3)点M的坐标为或或或． 【分析】（1）可将点A、点B两点坐标代入，进而求得； （2）当时，与的面积相等，求得直线的解析式，再求得直线的解析式，联立，即可求解； （3）可根据特殊性，发现新抛物线的顶点是符合条件一M点，进而求得相应N点坐标，再次基础上，求得另一个，当是对角线时，根据或“一线三等角”求得结果． 【详解】（1）解：由题意得，， 解之得，， ∴抛物线的函数解析式是：； （2）解：如图，    ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∵， 设直线的解析式是， ∴，解得， ∴直线的解析式是：， 当时，与的面积相等， ∴直线的解析式是：， 解方程， 解得（舍去）或， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：∵将抛物线向左平移3个单位，再向下平移5个单位， ∴平移后的关系式是， ∴， ∴或， ∴点，， 如图3，    当点M落在抛物线的顶点时，， 根据，可得， ∴的解析式是， 由得， 或（舍去）， ∴； 当是对角线时， 设点， 由得， ， ∴，， ∴点M的坐标为或， 综上所述点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象性质，一次函数图象及其性质，一元二次方程与二次函数之间关系，矩形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类及注意特殊性． 14．(1) (2)2 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解抛物线的函数表达式； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，设点D的坐标是，则点E的坐标是，得到，根据二次函数的性质即可得到的最大值； （3）先求出，得到，根据四边形是矩形，得到，，则，由轴得到，，则，，同理可得，，则，得到，得到点H的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与坐标轴相交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）设直线的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设点D的坐标是，则点E的坐标是， ∴， ∴当时，的最大值是2； （3）解：过点B的直线交y轴于点C， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵过点D作x轴的垂线，垂足为G， ∴轴 ， ∴，， ∴， ∴， ∵，，   ∴ ∴ ∴， ∴, ∴， ∴点H的坐标是． 【点睛】此题考查了二次函数图象和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质，数形结合和准确计算是解题的关键． 15．(1)； (2)； (3)①当时，；当时，；当时，；②15． 【分析】（1）将代入，即可求解； （2）分别求出，，，则，，再矩形的周长，即可求解； （3）①分三种情况：当时，；当时，；当时，； ②由已知求出，过点作轴交直线与点，再求直线的解析式为，则，可求，由即可求解． 【详解】（1）解：将代入， ， ， ； （2）解：令，则， ， 设直线的解析式为， ， ， ， 由题可知，， ∵轴，点在直线上， ， ， 对称轴为直线， ， 、关于对称轴对称， ， ，， 矩形的周长， ， 当时，矩形的周长有最小值； （3）解：①当时，； 当时，； 当时，； ②当时，， 解得或（舍， ， 过点作轴交直线与点， 令，则， 解得或， ， 设直线的解析式为， ， ， ， ， ， ． ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质，灵活运用割补法求三角形面积是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$