立体几何中平行垂直的证明体育单招零基础讲义-2025届高三数学一轮复习

【2025届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 立体几何中平行、垂直的证明知识点·梳理 1、点、线、面的位置关系 ①四个公理 （1）公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内. （2）公理二：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面. （3）公理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. （4）公理四：平行于同一条直线的两条直线平行. ②用集合语言描述点、线、面间的关系 （1）点与平面的位置关系：点在平面内记作，点A不在平面α内记作． （2）点与线的位置关系：点在直线上记作，点A不在直线l上，记作． （3）线面的位置关系：直线在平面内记作，直线l不在平面α内记作． （4）平面与平面相交于直线，记作． （5）直线与平面相交于点，记作． （6）直线与直线相交于点，记作． ③空间直线与直线的位置关系 （1）位置关系的分类：共面直线（平行、相交）、异面直线（不同在任何一个平面内的两条直线）； （2）异面直线所成的角：设是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线，， 把与所成的角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)；异面直线所成角的取值范围： 2、直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 (线线平行⇒线面平行) ∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b 3、平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b 如果两个平面互相平行，其中一个平面内的一直线平行与另外平面 4、线线平行证明的常见思路 ①相似比（常用三角形的中位线） ②构造平行四边形（证明一组对边平行且相等） ③平行的传递性 ④线面垂直的性质：垂直同一个平面的两条直线平行 ⑤线面平行的性质 ⑥面面平行的性质 5、直线与平面垂直 ①直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直 ②直线与平面垂直的判定定理及性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 6、平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质 定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 7、证明线线垂直的思路 ①正方形、矩形产生垂直②菱形对角线互相垂直③等腰三角形和等边三角形取中点产生垂直④通过算变成结合勾股定理得到垂直 重点题型·归类精讲 题型一 立体几何中点、线、面的位置关系 【例1-1】（2022年真题）设是三个平面，有下列四个命题，其中所有真命题的序号是 ． 【例1-2】（2021年真题）已知为两条直线，为两个平面，下述四个结论正确的是（    ） A．①② B．②④ C．①④ D．③④ 【例1-3】（2020年真题）若平面满足，有下列四个判断: (1) (2)当时， (3) (4)当时， 其中，正确的是 (填写所有正确判断的序号) 【例1-4】（2015年真题）设直线，平面，有4个命题： ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中真命题是 A、①③ B、 C、①④ D、 【变式1】（2012年真题）下面是关于三个不同平面的四个命题 ：若 ：若 ：若 ：若 其中真命题是 A、 B、 C、 D、 【变式2】（2010年真题）下面是关于两条直线和两个平面的四个命题： 其中的假命题是 A、 B、 C、 D、 【变式3】（2009年真题）关于空间中的平面和直线，有下列四个命题： 与相交 其中真命题为 A、 B、 C、 D、 【变式4】设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式5】已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 .题型二 立体几何中平行问题的证明 【例2-1】（2024年真题节选）在四面体中，点分别为的中点。证明:平面 【例2-2】（2021年真题节选）如图，正方形中，分别是AB，AD的中点。证明：直线； 【例2-3】（2019年真题节选）如图，四棱雉的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，分别为的中点，证明:平面 【例2-4】（2018年真题节选）如图，是棱长为1的正方体，是的中点证明：平面 【例2-5】（2016年真题节选）如图，正三棱柱中，是的中点，证明平面 【例2-6】（2015年真题节选）如图，四棱锥中，底面为梯形，，且平面是的中点，证明平面 【变式1】（2009年真题节选）正三棱柱，已知为的中点，证明平面 【变式2】（2007年真题节选）已知为正三棱柱，是中点，证明平面 【变式3】如图，在直三棱柱中，，，，，D，E分别是，的中点.证明：平面平面； 【变式4】如图，在四棱锥中，，，平面，底面为正方形，，分别为，的中点.求证：平面； 【变式5】如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，分别为的中点.证明：平面；. 题型三 立体几何中垂直问题的证明 【例3-1】（2020年真题改编）如图，正三棱柱中，为中点，证明:平面平面 【例3-2】（2018年真题节选）如图，是棱长为1的正方体，是的中点。证明：平面 【例3-3】（2017年真题节选）如图，四面体中，在棱上，证明：平面 【例3-4】（2014年真题节选）如图，长方体中分别是的中点 【例3-5】（2012年真题节选）如图，已知正方体的棱长为是中点证明： 【变式1】（2010年真题改编）长方体中，为的中点，已知，，证明：平面 【变式2】（2004年真题节选）已知是等腰直角三角形，，且，又为等边三角形，平面平面，求证平面平面 【变式3】（2003年真题）如图在正四棱柱中，为底面的对角线，为的中点，求证： 【变式4】如图，在四棱锥中，平面，，，且． 求证：平面； 【变式5】如图、四棱锥的底面ABCD是菱形，，.求证：平面平面ABCD； 课后模拟·巩固练习 1．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 2．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 3．设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 4．已知m，n是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则与相交 7．已知直线m，n，l，平面，下列正确的是（   ） A．若，则与异面 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．已知是两个平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．下列命题中不正确的是（   ） A．如果平面平面，且直线平面，则直线平面 B．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 C．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D．如果平面平面，平面平面，，那么 10．空间中有两个不同的平面、和两条不同的直线m、n，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 11．如图平面．若平面，证明：； 12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，面为棱上的动点． 若为棱中点，证明：面； 13．如图，在棱长为的正方体中，为的中点．求证：平面； 14．在四棱锥中，已知平面，，，，是线段上的点，.证明：平面； 15．如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形，，，分别为，的中点．求证：平面； 16．四棱锥中，，侧面底面，且是棱上一动点.当平面时，求的值； 17．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．平面平面． 18．如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点.求证：平面； 19．三棱柱中，底面，且各棱长均相等，为的中点．F为AB的中点. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面平面． 20．如图，在三棱锥中，为正三角形，E是的中点，.求证：； 21．如图在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点．求证：平面； 22．如图，在正三棱柱中，是棱的中点． (1)证明：； (2)证明：平面； 23．如图，在四面体中，，是的中点.求证：平面； 24．已知直三棱柱中，，且，点分别为线段和的中点. 证明：平面； 25．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； 26．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第1页共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$【2025届体育单招数学零基础讲义】 数学朱老师 立体几何中平行、垂直的证明知识点·梳理 1、点、线、面的位置关系 ①四个公理 （1）公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内. （2）公理二：过不在一条直线上的三点有且只有一个平面. （3）公理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. （4）公理四：平行于同一条直线的两条直线平行. ②用集合语言描述点、线、面间的关系 （1）点与平面的位置关系：点在平面内记作，点A不在平面α内记作． （2）点与线的位置关系：点在直线上记作，点A不在直线l上，记作． （3）线面的位置关系：直线在平面内记作，直线l不在平面α内记作． （4）平面与平面相交于直线，记作． （5）直线与平面相交于点，记作． （6）直线与直线相交于点，记作． ③空间直线与直线的位置关系 （1）位置关系的分类：共面直线（平行、相交）、异面直线（不同在任何一个平面内的两条直线）； （2）异面直线所成的角：设是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线，， 把与所成的角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)；异面直线所成角的取值范围： 2、直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 (线线平行⇒线面平行) ∵l∥a，a⊂α，l⊄α，∴l∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α，l⊂β，α∩β＝b，∴l∥b 3、平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”) ∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，∴α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b 如果两个平面互相平行，其中一个平面内的一直线平行与另外平面 4、线线平行证明的常见思路 ①相似比（常用三角形的中位线） ②构造平行四边形（证明一组对边平行且相等） ③平行的传递性 ④线面垂直的性质：垂直同一个平面的两条直线平行 ⑤线面平行的性质 ⑥面面平行的性质 5、直线与平面垂直 ①直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直 ②直线与平面垂直的判定定理及性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 6、平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质 定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 7、证明线线垂直的思路 ①正方形、矩形产生垂直②菱形对角线互相垂直③等腰三角形和等边三角形取中点产生垂直④通过算变成结合勾股定理得到垂直 重点题型·归类精讲 题型一 立体几何中点、线、面的位置关系 【例1-1】（2022年真题）设是三个平面，有下列四个命题，其中所有真命题的序号是 ． 【答案】(2)(3) 【解析】(1)平面均与平面垂直,在保证与平面垂直的前提下转动平面,可知与平面的位置关系不确定;(2)正确;(3)正确:(4)正确结论应该是。 【例1-2】（2021年真题）已知为两条直线，为两个平面，下述四个结论正确的是（    ） A．①② B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】D 【解析】思路，本题考查空间想象能力，考试时遇到这种问题，可以把考场的天花板、地面、黑板当成平面，把中性笔、涂卡笔当成两条直线，比划比划得出正确的选项。 (1)，找两个平行的平面，如天花板和地面，一条直线(笔)与其中一个平面平行，另一条直线(笔)与另一个平面平行，在保持平行的同时转动其中一条直线，可以发现直线与不一定平行。 (2)，找两个垂直的平面，如黑板和地面，一条直线(笔)与其中一个平面平行，另一条直线(笔)与另一个平面平行，在保持平行的同时转动其中一条直线，可以发现直线与不一定平行。 【例1-3】（2020年真题）若平面满足，有下列四个判断: (1) (2)当时， (3) (4)当时， 其中，正确的是 (填写所有正确判断的序号) 【答案】(2)(4) 【解析】本题考查空间想象能力，可把房间、教室、考场的墙壁当作平面，取几个笔当作直线，比划计划求解。，可想象成天花板与黑板垂直，并且相交与直线 ，可想象成取一张纸垂直于黑板，并且与黑板交于直线在与垂直的前提下，顺时针或逆时针转动纸张，可知与可能平行、垂直，或者既不平行，也不垂直，排除(1)(3);当纸张与天花板平行时，它们与黑板的交线也平行，当纸张与天花板交于直线(纸张作为平面可以无限延伸)，直线也与黑板垂直。 【例1-4】（2015年真题）设直线，平面，有4个命题： ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中真命题是 A、①③ B、 C、①④ D、 【答案】A 【解析】②若，则，或相交、或异面;④若，则，或相交 【变式1】（2012年真题）下面是关于三个不同平面的四个命题 ：若 ：若 ：若 ：若 其中真命题是 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】：若或相交;;若或相交 【变式2】（2010年真题）下面是关于两条直线和两个平面的四个命题： 其中的假命题是 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】平行于同一平面的两个直线，位置关系无法确定，假如两个笔同时平行于桌面，在保证平行的前提下转动笔，故两直线位置关系无法确定，故为假;两个平面平行，如天花板、地面平行，一条直线与天花板平行，另一条直线与地面平行，在保证平行的情况下转动直线，故两直线位置关系无法确定。 【变式3】（2009年真题）关于空间中的平面和直线，有下列四个命题： 与相交 其中真命题为 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】平面内垂直与同一直线的两直线平行，空间内不一定，可以在保证垂直的前提下，转动，故位置关系不确定，为假命题;在保证与平面平行的前提下，转动，故位置关系不确定，假命题;与平行时，，故假命题 【变式4】设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】A选项：如图： 在正方体中，，此时与夹角为，A选项错误； B选项：如图： 在正方体中，，此时，B选项错误； D选项：如图： 在正方体中：，此时，D选项错误； C选项：如图： 过作平面，使得，，∵，∴，则， 又∵，∴，∴，C选项正确.故选：C. 【变式5】已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】若，则,故A选项正确；由，，可以推出，故B选项正确； 由平面与平面垂直的判定定理可知，若，则，故C选项正确；，，则或异面，故D不正确.故选：D. .题型二 立体几何中平行问题的证明 【例2-1】（2024年真题节选）在四面体中，点分别为的中点。证明:平面 证明:(1)分别为的中点 为中位线，即 平面平面平面 【例2-2】（2021年真题节选）如图，正方形中，分别是AB，AD的中点。证明：直线； 证明:分别为的中点 平面平面平面 【例2-3】（2019年真题节选）如图，四棱雉的底面是边长为2的正方形，侧面底面，且，分别为的中点，证明:平面 证明:(1)是的中点 也是的中点 是的中位线 又平面平面平面 【例2-4】（2018年真题节选）如图，是棱长为1的正方体，是的中点证明：平面 证明:连接交于点，连接 为中点，为中点 平面平面 平面 【例2-5】（2016年真题节选）如图，正三棱柱中，是的中点，证明平面 证明：(1)连接，交于点，则是的中点 是的中点 //平面平面 平面 【例2-6】（2015年真题节选）如图，四棱锥中，底面为梯形，，且平面是的中点，证明平面 证明：找的中点，连接 分别为的中点 又 为平行四边形 又平面平面 平面 【变式1】（2009年真题节选）正三棱柱，已知为的中点，证明平面 (1)证明：连接与交于点，连接 是四边形对角线的交点 是的中点 又是的中点是的中位线 平面平面平面 【变式2】（2007年真题节选）已知为正三棱柱，是中点，证明平面 证明：连接，交于点，连接 因为是长方形对角线的交点 所以又因为是的中点 所以是的中位线 所以因为平面平面 所以平面 【变式3】如图，在直三棱柱中，，，，，D，E分别是，的中点.证明：平面平面； 由直三棱柱性质，以及D，E分别是，的中点， 所以，即四边形为平行四边形， 可得，又平面，平面， 所以平面；又易知，即四边形为平行四边形,可得，又平面，平面，所以平面；显然平面，所以平面平面； 【变式4】如图，在四棱锥中，，，平面，底面为正方形，，分别为，的中点.求证：平面； 因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面； 【变式5】如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，分别为的中点.证明：平面； 取的中点，连接， 在中，因为分别为中点，所以， 在四边形中，且相等，， 所以，即四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面. 题型三 立体几何中垂直问题的证明 【例3-1】（2020年真题改编）如图，正三棱柱中，为中点，证明:平面平面 (2)找的中点，连结 为等腰直角三角形 又交于点 平面 平面平面平面 【例3-2】（2018年真题节选）如图，是棱长为1的正方体，是的中点。证明：平面 平面平面又交于点 平面又平面 连接交于点， 平面 又交于点平面 【例3-3】（2017年真题节选）如图，四面体中，在棱上，证明：平面 连接 ，即又交于点平面 【例3-4】（2014年真题节选）如图，长方体中分别是的中点 交于点平面 又是的中点又交于点 平面又平面平面平面 【例3-5】（2012年真题节选）如图，已知正方体的棱长为是中点证明： 证明(1)连接，交于点又交于点 平面又平面 【变式1】（2010年真题改编）长方体中，为的中点，已知，，证明：平面 平面，因为平面所以连接，则四边形为正方形为正方形对角线所以 相交于点所以平面 【变式2】（2004年真题节选）已知是等腰直角三角形，，且，又为等边三角形，平面平面，求证平面平面 证明：因为平面平面为平面和平面的交线 所以平面又因为平面 所以平面平面 【变式3】（2003年真题）如图在正四棱柱中，为底面的对角线，为的中点，求证： (1)证明：因为四边形为正方形所以 又因为平面平面 所以因为相交于点所以平面因为平面 所以 【变式4】如图，在四棱锥中，平面，，，且． 求证：平面； 因为平面，平面，所以， 又因为，所以，而，且平面， 所以平面； 【变式5】如图、四棱锥的底面ABCD是菱形，，.求证：平面平面ABCD； 证明：设是AD的中点，连结OP，OB， ，，， 由勾股定理得，， ，∵四边形ABCD是菱形，∴，故为等腰直角三角形， ∴，∵，，，∵平面，， 平面ABCD，∵平面，平面平面ABCD； 课后模拟·巩固练习 1．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．若，且，则 【答案】C 【详解】对于A，若，且，则或与相交，故A错误；对于B，在正方体中，取为，为，平面为，平面为，符合题意，但，故B错误； 对于C，因为，所以直线的方向向量是平面的法向量， 直线的方向向量是平面的法向量，又， 所以两直线的方向向量垂直，即两平面的法向量垂直，所以，故C正确； 对于D，在正方体中，取为，为，平面为，平面为，此时符合题设，但与不垂直，故D错误.故选：C. 2．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】作正方体， 对于A，取平面为平面，平面为平面，直线为直线，直线为直线， 则，但直线异面，故A选项错误；对于B，取平面为平面，平面为平面，直线为直线，直线为直线，则，但直线不垂直，故B选项错误；对于C：若，，，则，故C选项错误；对于D：若，，，则，故D选项正确.故选：D. 3．设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（   ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【详解】对于A中，由，只有当与相交时才能得到，所以A错误；对于B中，由，，可得，又由，所以，所以B错误；对于C中，若，，所以，又，所以，所以C正确；对于D中，由，，则或，当时，由，则或与异面；当时，由，则或与相交，所以D错误．故选：C 4．已知m，n是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】选项A中若，，则可能异面、相交或平行，故A不正确，选项B中若，，则可能平行或相交，故B不正确，选项C中若，，则可能平行或相交，故C不正确．选项D，若，，则，满足直线与平面垂直的性质，所以D正确； 5．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，两直线平行于同一平面，两直线可能相交，平行，异面，故A错误；对于B，此时，m有可能在平面内，故B错误；对于C，此时，m有可能在平面内，故C错误；对于D，因，，则，故D正确.故选：D 6．若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则与相交 【答案】C 【详解】对于A，若，，则，或与相交，或与异面，故A错误；对于B，若，，则或与相交，或与异面，故B错误；对于C，若，，则，故C正确；对于D，若，，则与相交，或与异面，故D错误.故选：C. 7．已知直线m，n，l，平面，下列正确的是（   ） A．若，则与异面 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】若，则与异面或，故A错误；若，则或，故B错误；若，当时，可得，若，可能有，故C错误；若，设，在内作直线，则，又，所以，又，所以，所以，故D正确.故选：D. 8．已知是两个平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对A：若，则或，故A错误；对B：因为平行于同一个平面的两条直线的位置关系不能确定，故B错误；对C：若，则；，则，所以，所以，所以C正确；对D：若，，则或，故D错误.故选：C 9．下列命题中不正确的是（   ） A．如果平面平面，且直线平面，则直线平面 B．如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 C．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 D．如果平面平面，平面平面，，那么 【答案】A 【详解】对于A，由题意可作图如下：设平面为平面，平面为 平面，直线为直线，显然平面平面，且直线平面， 但此时直线平面，故A错误；对于B，设平面平面直线， 一定存在直线平面，使得直线直线，由平面平面，则直线平面，故B正确； 对于C，当平面内存在一条直线垂直于平面，则两个平面必定垂直，故C正确；对于D，由平面平面，平面平面，则存在，使得，存在，使得，即，因为，，所以，因为，，所以，则，故D正确.故选：A. 10．空间中有两个不同的平面、和两条不同的直线m、n，则下列说法中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【详解】对于选项A：若，，，则可能异面，故A错误；对于选项B：若，，则与不一定垂直，且，所以与不一定垂直，故B错误；对于选项C：若，，可知，且，所以，故C正确；对于选项D：若，，，则可能有，故D错误；故选：C. 11．如图平面．若平面，证明：； 因为，故，所以⊥，又平面，平面， 所以，因为，平面，所以⊥平面，因为平面， 所以⊥，因为平面，平面，平面平面， 所以，因为⊥，所以； 12．如图，在四棱锥中，底面是正方形，面为棱上的动点． 若为棱中点，证明：面； 连接交于，则为三角形中位线，易知， 又因为上，面，所以面； 13．如图，在棱长为的正方体中，为的中点．求证：平面； 在正方体中，， 则四边形为平行四边形，因此， 而平面，平面，所以平面. 14．在四棱锥中，已知平面，，，，是线段上的点，.证明：平面； 连接交于点，连接，如下图所示：   因为，则，，所以，， 所以，，又因为，所以，， 因为平面，平面，故平面. 15．如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形，，，分别为，的中点．求证：平面； 连接，在中，因为，分别为，的中点， 所以,又平面，平面， 所以平面． 16．四棱锥中，，侧面底面，且是棱上一动点.当平面时，求的值； 连接交于点，连接， 因为当平面平面，平面平面， 所以，所以， 在梯形中，，所以； 17．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．平面平面． 因为，，是棱的中点，所以， 所以为正三角形．因为为等腰梯形，，， 所以．取的中点，连接，则， 所以．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 18．如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点.求证：平面； 由底面，可得以为坐标原点， 所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 可得, ；则，， 设平面的一个法向量为，则，令，可得， 即，因为，可得，且平面，所以平面 19．三棱柱中，底面，且各棱长均相等，为的中点．F为AB的中点. (1)证明：平面平面； (2)证明：平面平面． （1）如图，连结，因为点分别是和的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以，且平面，平面， 所以平面，因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，且平面，平面，所以平面，且，平面所以平面平面   （2）因为平面，且平面，所以平面平面，平面平面，因为是等边三角形，且点是的中点，所以，且平面， 所以平面，且平面，所以平面平面. 20．如图，在三棱锥中，为正三角形，E是的中点，.求证：； 为正三角形，为中点，故⊥， 因为，，，所以≌， 故，又为中点，故⊥，因为， 平面，所以⊥平面，因为平面， 所以； 21．如图在三棱柱中，侧面，均为正方形，，，点是棱的中点．求证：平面； ∵，，∴为等腰直角三角形， 故在三棱柱中为等腰直角三角形， 又是棱的中点，则， 因为侧面，均为正方形，即，，又， 平面，所以平面，即三棱柱为直三棱柱，所以平面，平面，则，又且、平面，∴平面 22．如图，在正三棱柱中，是棱的中点． (1)证明：； (2)证明：平面； （1）因为为等边三角形，是棱的中点，所以⊥， 三棱柱为正三棱柱，故⊥平面，因为平面，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以； （2）连接，与相交于点，连接，因为四边形为矩形，故为的中点， 又为的中点，故，又平面，平面，所以平面； 23．如图，在四面体中，，是的中点.求证：平面； 在四面体中，由，是的中点， 得，而平面， 所以平面. 24．已知直三棱柱中，，且，点分别为线段和的中点. 证明：平面； 平面平面， 又，又，平面， 平面又平面.又 ， 即.又平面，平面. 25．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，M是的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； （1）连接BD交AC与O，连接，如图所示： 因为M，O分别是边PD，BD的中点，则MO为的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面. （2）因为侧面底面， 平面底面， ，所以平面，所以， 因为侧面是正三角形，M是的中点，所以， 因为 ，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面； 26．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. （1）因为，、分别是、的中点，则∥， 又因为∥，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. （2）因为底面，底面，则，又因为为矩形，则， 且，平面，所以平面. 挫折是强者的进身之阶，弱者的无底深渊第1页共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$