精品解析：2025年河南省濮阳市华龙区濮阳油田实验学校中考一模数学试题

濮阳油田实验学校 2024-2025 学年九年级第二学期一模 数学试题 时间：100分钟 满分：120分 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年河南省乡村振兴扎实推进，连续6年粮食总产量稳定在0.13万亿斤以上．将0.13万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C D. 5. 关于的一元二次方程的根的情况，说法最恰当的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有实数根 6. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线与直线同一坐标系的大致可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图（1）所示，实验小组的同学设计了一种测量温度的电路．已知电源电压为，其允许通过的最大电流为，是定值电阻，阻值为，是热敏电阻，其阻值随温度变化的图像如图（2）所示．下列说法正确的是（  ） 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和． A. 随着温度的升高，热敏电阻的阻值增大 B. 随着温度升高，电流表的示数减小 C. 随着温度的升高，定值电阻两端的电压增大 D. 当环境温度是时，电流表的示数是 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个比大且比小的整数：____________． 12. 若单项式与是同类项，则_______． 13. 全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》．若小明从这四部影片中随机选择两部影片观看，则这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是_______． 14. 如图，在等腰中，，，将绕点顺时针旋转至，使得，延长交于，点的运动路径为，则图中阴影部分的面积为___________． 15. 如图，将放置在菱形中，使得顶点、、分别在线段、、上，已知，，，且，若的三个顶点、、分别在线段、、上运动，则长的最大值为______，最小值为________． 三．解答题（本大题有8小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 17. 某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98； 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：82，83，86，89，89． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 87 86 b 52.4 八年级 87 a 89 62.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级共有900人参赛，八年级共有850人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有多少人？ 18. 如图，正比例函数图象与反比例函数的图象相交于点． （1）求反比例函数解析式； （2）请用无刻度直尺和圆规作线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写做法） （3）若（2）中所作的垂直平分线交x轴于点D，求线段的长． 19. 如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，此时船长接到台风预警信息，台风将在小时后袭来，他计划立即沿正南方向航行，赶往位于灯塔的南偏东方向上的避风港处． （1）问避风港处距离灯塔有多远． （2）如果轮船的航速是海里时，问轮船能否在小时内赶到避风港处．参考数据：，，， 20. 如图，已知三角形ABC的边AB是圆O的切线，切点为B． AC经过圆心O并与圆相交于点D，C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E， (1)求证：CB平分∠ACE； (2)若BE=3，CE=4，求圆O半径． 21. 近日，许昌以其厚重的文化底蕴，吸引了不少外地游客游览打卡．在曹魏古城景区，游客们穿上汉服，戴上簪花，穿梭于亭台楼榭之间，与古城相映成趣．景区内某汉服商店计划购进一批汉服用于出租，已知购买1件A型汉服和4件B型汉服共550元；购买2件A型汉服和3件B型汉服共需600元 （1）求A，B两种类型汉服的单价． （2）该商店计划购买两种类型汉服共100件，且A型汉服的数量不少于B型汉服数量的2倍．请计算该商店购买两种类型汉服各多少件时费用最少．并求出最少费用． 22. 如图，一小球（看作一个点）从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线可以用抛物线刻画，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用直线刻画，若小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题： （1）求和的值． （2）若小球落点为，求点的坐标． （3）在斜坡上的点处有一棵树（树高看成线段且垂直于轴），点的横坐标为6，树高为2，小球能否飞过这棵树？请通过计算说明理由． 23. 问题解决 （1）如图1，在等边三角形中，点，分别在，边上，，交于点，且．则线段，的数量关系为__________，的度数为__________； 类比迁移 （2）如图2，是等腰直角三角形，，点D，E分别在，边上，，交于点F，且． ①判断线段之间的数量关系并说明理由； ②求度数． 拓展探究 （3）如图3，是等腰直角三角形，，若点是边上一动点，点E是射线上一动点，在（2）的条件下，当动点D沿边从点A移动到点C（可以与点C重合）时，直接写出运动过程中长的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 濮阳油田实验学校 2024-2025 学年九年级第二学期一模 数学试题 时间：100分钟 满分：120分 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐项进行判断即可得到答案，熟练掌握轴对称图形是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合是解决此题的关键． 【详解】A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：A． 2. 2024年河南省乡村振兴扎实推进，连续6年粮食总产量稳定在0.13万亿斤以上．将0.13万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，将0.13万亿写成，再写成的形式即可，其中，n的值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：0.13万亿， 故选C． 3. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】其俯视图为： ． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，利用同底数幂相乘法则、合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方法则计算并逐项判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，原计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 关于的一元二次方程的根的情况，说法最恰当的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先确定a、b、c的值，再根据一元二次方程的根的判别式的值（当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根）进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴方程有实数根． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，是常见考点，熟记判别式并灵活应用是解题关键． 6. 如图，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得的度数，根据垂直的定义可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解本题的关键． 7. 如图，是直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理可进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键． 8. 已知点，，均在二次函数（m为常数）的图象上，则，，三者之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，增减性，图象的开口方向． 先求出该二次函数的对称轴，开口方向，点的对称点，根据对称性增减性即可进行分析解答． 【详解】解：∵ ， ∴函数图象开口向下， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为， ∵当时，y随x的增大而增大， ， ∴． 故答案为：B． 9. 抛物线与直线同一坐标系的大致可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数和二次函数中 的正负情况，即可判断哪个选项是正确的； 【详解】A、一次函数 中，二次函数中 ，即，故选项A不符合题意； B、一次函数 中 ，二次函数 中 ，即，故选项B不符合题意； C、一次函数 中，二次函数 中 ，即，故选项C不符合题意； D 、一次函数 中 ，二次函数 中，即 故选项D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数的性质，用数形结合的思想解答． 10. 如图（1）所示，实验小组的同学设计了一种测量温度的电路．已知电源电压为，其允许通过的最大电流为，是定值电阻，阻值为，是热敏电阻，其阻值随温度变化的图像如图（2）所示．下列说法正确的是（  ） 1．欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比． 2．串联电路中，电路的总电阻等于各电阻的阻值之和． A. 随着温度的升高，热敏电阻的阻值增大 B. 随着温度的升高，电流表的示数减小 C. 随着温度的升高，定值电阻两端的电压增大 D. 当环境温度是时，电流表的示数是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象中获取信息，根据图象所给的信息，结合题意，逐一判断即可，熟练根据图象得出信息是解题的关键． 【详解】解：A、根据图象可得随着温度的升高，热敏电阻的阻值减小，故不符合题意； B、随着温度的升高，热敏电阻的阻值减小，则电路的总电阻减小，电路中的电流变大，电流表的示数增大，故不符合题意； C、随着温度的升高，热敏电阻的阻值减小，则电路的总电阻减小，电路中的电流变大，故定值电阻两端的电压增大，故符合题意； D、当环境温度是时，热敏电阻的阻值为，则电路中的总阻值为，则电路中的电流为，所以电流表的示数是，故不符合题意， 故选：C． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个比大且比小的整数：____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，根据题意可得出，进而可得出答案． 【详解】解：∵， ∴比大且比小的整数可以是，0，1，2， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若单项式与是同类项，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项．根据同类项的定义直接得出m、n的值，再求解即可． 【详解】解：由同类项的定义可知，， ∴，， ∴． 故答案为：． 13. 全家观影已成为过年新民俗．据悉2025年春节档共有四部重磅影片上映，分别是《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》．若小明从这四部影片中随机选择两部影片观看，则这两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，根据题意列出所有情况，然后用符合题意的情况数除以所有等可能发生的情况数即可．解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 【详解】解：一共有6种情况发生： 1、《射雕英雄传：侠之大者》《封神第二部：战火西岐》； 2、《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒之魔童闹海》； 3、《射雕英雄传：侠之大者》《熊出没：重启未来》； 4、《封神第二部：战火西岐》《哪吒之魔童闹海》； 5、《封神第二部：战火西岐》《熊出没：重启未来》； 6、《哪吒之魔童闹海》《熊出没：重启未来》； 其中有《哪吒之魔童闹海》的情况有3种，所以两部影片中有《哪吒之魔童闹海》的概率是， 故答案为：． 14. 如图，在等腰中，，，将绕点顺时针旋转至，使得，延长交于，点的运动路径为，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查不规则图形的面积，旋转的性质，含角的直角三角形，勾股定理等知识，利用扇形的面积减去的面积计算即可．掌握割补法求面积是解题的关键． 【详解】解：，， ， 由旋转的性质可知：， ，即， ，， 在中，，． ，．， ， ． 故答案为：． 15. 如图，将放置在菱形中，使得顶点、、分别在线段、、上，已知，，，且，若的三个顶点、、分别在线段、、上运动，则长的最大值为______，最小值为________． 【答案】 ①. 12 ②. 6 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数、圆内接四边形，过点作于点，如图1所示．根据锐角三角函数求出，最后求出，再根据运动情况及圆的性质，判断求出最大和最小值，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：过点作于点，如图所示， ，， ，． 在中，， ， ， ，， ， 点，，，四点共圆， 是此圆的直径时，最大， ， 时，最大， 当，有最大值， 当时，设与交于点， ， ， ， ， ，四边形为菱形， ， ， ，则， 的最大值为12， 如图，当点与点重合时，有最小值， 此时， 的最小值为6． 故答案为：12；6． 三．解答题（本大题有8小题，共75分） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算及分式的运算，解决本题的关键是熟练掌握零指数幂、二次根式运算、三角函数、绝对值、负指数幂以及分式的化简． （1）根据实数的运算法则进行计算即可； （2）将除法转化为乘法，分解因式后约分． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 17. 某校为确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取10名学生的成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示），将学生竞赛成绩分为A，B，C三个等级：A：，B：，C：．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98； 八年级10名学生的竞赛成绩在B等级中的数据为：82，83，86，89，89． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 87 86 b 52.4 八年级 87 a 89 62.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）该校七年级共有900人参赛，八年级共有850人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有多少人？ 【答案】（1）；； （2）七年级的成绩更好，理由见解析 （3）估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有525人． 【解析】 【分析】本题考查了数据的统计与分析，熟练掌握平均数，众数，中位数，样本估计总体等知识是解题的关键． （1）八年级名学生的竞赛成绩中，可求得等级有2名，故中位数在等级的5人中，根据中位数的计算方法即可得到的值；根据七年级名学生的竞赛成绩，利用众数的定义可得到的值；八年级名学生的竞赛成绩中，等级有3名，由此可得的值； （2）由于平均数相同，比较方差即可得到答案； （3）由样本中优秀人数的占比来估计总体中优秀人数的占比进行计算，即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题可得：八年级名学生的竞赛成绩中，可求得等级有名，等级中有5人， ∴八年级名学生的竞赛成绩的中位数为：， ∵七年级名学生的竞赛成绩为：75，76，85，85，87，87，87，94，96，98；； ∴众数， ∵八年级名学生的竞赛成绩中，等级有2名，等级中有5人， ∴等级有3名， ∴等级所占的百分比为：， ∴， 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：七年级的成绩更好，理由如下： ∵两个年级的平均数相同，而七年级的成绩的方差小于八年级的， ∴七年级的成绩更好； 【小问3详解】 解：由题可得：（人） 答：估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有525人． 18. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点． （1）求反比例函数解析式； （2）请用无刻度直尺和圆规作线段的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写做法） （3）若（2）中所作的垂直平分线交x轴于点D，求线段的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点在正比例函数图象上求出的值，再将点的坐标代入反比例函数的解析式即可求解； （2）利用基本作图作的垂直平分线即可； （3）如图，过点作轴于点，连接，设点，根据垂直平分线的性质可得，根据勾股定理可得，继而得到关于的方程，求解可得点的坐标，即可得解． 【小问1详解】 解：正比例函数的图象经过点， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：作图如下， 【小问3详解】 解：连接，过点A作，垂足为E， 设点D的坐标为． 由题意可知，是的垂直平分线， ∴，设， 在中，， ∴， ∴， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查作图-基本作图：作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，待定系数法求反比例函数解析式，函数图象上点的坐标特征，坐标与图形，勾股定理等知识点．熟练掌握种基本作图是解题的关键． 19. 如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，此时船长接到台风预警信息，台风将在小时后袭来，他计划立即沿正南方向航行，赶往位于灯塔的南偏东方向上的避风港处． （1）问避风港处距离灯塔有多远． （2）如果轮船的航速是海里时，问轮船能否在小时内赶到避风港处．参考数据：，，， 【答案】（1）海里 （2）能 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键； （1）如图，过点作于点，则．解，，求得，即可求解； （2）解，得出，进而根据，求得的距离，根据路程除以速度，即可求解． 【小问1详解】 由题意得，，海里． 如图，过点作于点，则． 在中，， 海里． 在中，， 海里． 答：避风港处距离灯塔约海里． 【小问2详解】 如图，在中， 海里． 在中，，海里， 海里， 海里． 小时， 故轮船能在小时内赶到避风港处． 20. 如图，已知三角形ABC的边AB是圆O的切线，切点为B． AC经过圆心O并与圆相交于点D，C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E， (1)求证：CB平分∠ACE； (2)若BE=3，CE=4，求圆O的半径． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）证明：如图1，连接OB，由AB是⊙0的切线，得到OB⊥AB，由于CE⊥AB，的OB∥CE，于是得到∠1＝∠3，根据等腰三角形的性质得到∠1＝∠2，通过等量代换得到结果． （2）如图2，连接BD通过△DBC∽△CBE，得到比例式，列方程可得结果． 【详解】证明：如图1，连接OB， ∵AB是⊙O的切线， ∴OB⊥AB， ∵CE⊥AB， ∴OB∥CE， ∴∠1＝∠3， ∵OB＝OC， ∴∠1＝∠2 ∴∠2＝∠3， ∴CB平分∠ACE； （2）如图2，连接BD， ∵CE⊥AB， ∴∠E＝90°， ∴BC5， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DBC＝90°， ∴∠E＝∠DBC， ∴△DBC∽△CBE， ∴， ∴BC2＝CD•CE， ∴CD， ∴OC， ∴⊙O的半径． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 21. 近日，许昌以其厚重的文化底蕴，吸引了不少外地游客游览打卡．在曹魏古城景区，游客们穿上汉服，戴上簪花，穿梭于亭台楼榭之间，与古城相映成趣．景区内某汉服商店计划购进一批汉服用于出租，已知购买1件A型汉服和4件B型汉服共550元；购买2件A型汉服和3件B型汉服共需600元 （1）求A，B两种类型汉服的单价． （2）该商店计划购买两种类型汉服共100件，且A型汉服的数量不少于B型汉服数量的2倍．请计算该商店购买两种类型汉服各多少件时费用最少．并求出最少费用． 【答案】（1）A类型汉服的单价为每件150元，B类型汉服的单价为每件100元 （2）购买B类型汉服33件，购买A类型汉服为67件，总花费最少为13350元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，以及一次函数的实际应用． （1）设A类型汉服的单价为每件x元，B类型汉服的单价为每件y元，列出二元一次方程组求解即可． （2）设总费用为w， 购买B类型汉服a件，则购买A类型汉服为件，根据题意得出，再列出w关于a的一次函数，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A类型汉服的单价为每件x元，B类型汉服的单价为每件y元， 根据题意有：， 解得：， 故A类型汉服的单价为每件150元，B类型汉服的单价为每件100元． 【小问2详解】 设总费用为w，购买B类型汉服a件，则购买A类型汉服为件， 且，则， 根据题意有：， 整理得：， ∵， ∴w随着a的增大而减小， 则当a取最大值33时，w取的最小值． 当时， ． 故购买B类型汉服33件，购买A类型汉服为67件，总花费最少为13350元． 22. 如图，一小球（看作一个点）从斜坡上的点处抛出，球的抛出路线可以用抛物线刻画，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用直线刻画，若小球到达的最高点的坐标为，解答下列问题： （1）求和的值． （2）若小球落点为，求点的坐标． （3）在斜坡上的点处有一棵树（树高看成线段且垂直于轴），点的横坐标为6，树高为2，小球能否飞过这棵树？请通过计算说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）小球能飞过这棵树，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式．利用数形结合与方程思想是解题的关键． （1）利用最高点的坐标与顶点横坐标的关系即可得到答案； （2）联立两解析式，可求出交点A的坐标； （3）把分别代入和，即可得到答案； 小问1详解】 解：∵小球到达的最高点的坐标为， ∴， ∴． ∴； 【小问2详解】 令 ∴，． 当时，． ∴． 【小问3详解】 当时，． ∴． 当时，． 而， ∴小球可以飞过这棵树． 23. 问题解决 （1）如图1，在等边三角形中，点，分别在，边上，，交于点，且．则线段，的数量关系为__________，的度数为__________； 类比迁移 （2）如图2，是等腰直角三角形，，点D，E分别在，边上，，交于点F，且． ①判断线段之间的数量关系并说明理由； ②求的度数． 拓展探究 （3）如图3，是等腰直角三角形，，若点是边上一动点，点E是射线上一动点，在（2）的条件下，当动点D沿边从点A移动到点C（可以与点C重合）时，直接写出运动过程中长的最大值和最小值． 【答案】（1），；（2）①；②；（3）长的最小值为，最大值为． 【解析】 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得出，，进而根据三角形外角的性质即可求解； （2）证明，得出，，进而根据（1）的方法即可求解； （3）由题意，可知点在以为弦．所对圆心角为的上，根据题意画出图形，连接．当点在线段上时，取得最小值，当点移动到点时，点与点重合，此时取得最大值，利用勾股定理以及线段的和差即可求解． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵，即． ∴， ∴． ∴，，即； ∴； （3）长的最小值为，最大值为． 由题意，可知点在以为弦．所对圆心角为的上（，则，劣弧所对的圆周角是）． 如解图1所示，． ∵， ∴． 连接．当点在线段上时，取得最小值， 如解图1所示，此时． ∴． ∴长的最小值为． 当点移动到点时，点与点重合，此时取得最大值． 如解图2所示，由（2），知． ∴长的最大值为8． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $