精品解析：新疆哈密市第二中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2024—2025学年第一学期高二期末考试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. 2 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】, 故选：B 2. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 【答案】B 【解析】 【详解】设塔顶的a1盏灯， 由题意{an}是公比为2等比数列， ∴S7==381， 解得a1=3． 故选B． 3. 设为直线与圆的两个交点，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：直线与圆的交点弦长可由两种方法得到:①求出圆心到直线的距离,所以直径②直线与圆联立方程,由弦长公式来求得.故选D. 考点：直线与圆的交点弦长 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆心距和半径的关系即可求解. 【详解】的圆心和半径为，，的圆心和半径为，, 故,,故两圆相交， 故选：D 5. 如图，在四面体中，是的中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的线性关系即可求解. 【详解】, 故选：C 6. 已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ） A. （） B. （） C. （） D. （） 【答案】A 【解析】 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 7. 已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量共面，则存在实数使得，列出方程组，即可求解. 【详解】由向量，，， 因为向量，，共面，则存在实数使得， 即，解得. 故选：C. 8. 设为数列的前项和，若，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的关系可得递推公式，利用递推公式可得. 【详解】当时，，所以， 整理得，所以. 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，，故A正确， 对于B，由于，则，故，B正确， 对于C，，故与不垂直，故C错误， 对于D，，D正确， 故选：ABD 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 取得最大值时， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件列方程组求出等差数列的首项、公差，然后即可对选项进行判断﹒ 【详解】解法一：由题可得，解得故选项A正确，选项B错误； 易知，则，选项C正确. 因为，，，所以当或11时，取得最大值（技巧：由得数列递减，进而判断最大时的临界项） 选项D错误. 故选：AC 解法二：对于A：易知，所以，选项A 正确； 对于B：，选项B错误； 对于C：，选项C正确； 对于D：易知，，，（技巧：由得数列递减，进而判断最大时的临界项） 所以当或11时，取得最大值，所以选项D错误 故选：AC 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点到直线的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式即可求解. 【详解】到直线的距离为， 故答案： 13. 已知双曲线C：的离心率为，直线与C交于A，B两点且，则C的方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的对称性，可得，再由双曲线的性质可解. 【详解】根据题意，由双曲线的对称性，可得， ∴，∴，双曲线：. 故答案为： 14. 等差数列的前项和为，，，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意求出数列的首项和公差，继而求得数列的前项和公式，将的表达式进行裂项，再求即得. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由题意有： ，解得 ， 数列的前n项和， 则有：， 故有 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 斜率为的直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A、B两点． 求该抛物线的标准方程和准线方程； 求线段AB的长． 【答案】（1）抛物线的方程为，其准线方程为；（2） 【解析】 【分析】根据焦点可求出p的值，从而求出抛物线的方程，即可得到准线方程； 设，将直线l方程与抛物线方程联立消去y，整理得，，得到根与系数的关系，由抛物线的定义可知，代入即可求出所求． 详解】 由焦点，得，解得 所以抛物线的方程为，其准线方程为， 设， 直线l的方程为 与抛物线方程联立，得， 消去y，整理得， 由抛物线的定义可知，． 所以，线段AB的长为 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及过焦点的直线与抛物线相交的弦长等问题，属于中档题． 16. 数列满足：，，设. （1）求证：是等比数列； （2）求的通项公式及前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义可证得结论成立； （2）利用（1）中的结论可求出数列的通项公式，由此可求得数列的通项公式，利用分组求和法可求得. 【小问1详解】 因为，所以，即. 又因为，所以，故是首项为，公比为的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，，即，所以， 所以. . 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，平面ABCD，其中，，，，点M在棱PD上，，点N为BC中点. （1）证明：直线平面PAB； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而得线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角； 【小问1详解】 如图所示，在线段上取一点，使，连接，， ，， 又平面，平面， 平面， 又，， 且， 故四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 平面， 又平面， 所以平面平面， 平面， 平面； 【小问2详解】 如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 又是中点，则， 所以，，， 设平面的法向量，则， 令，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 设二面角为， 所以，所以 则二面角的正弦值为. 18. 动点与定点的距离和它到定直线：的距离的比是，动点的轨迹记为曲线． （1）求动点的轨迹； （2）已知直线与曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值． 【答案】（1）M的轨迹是焦点在轴上，实轴长为2、虚轴长为的双曲线 （2） 【解析】 【分析】（1）设是点到直线的距离，由题意得到，转化成方程即可； （2）联立直线与的方程，通过韦达定理求得中点坐标，代入圆方程即可. 【小问1详解】 解：设是点到直线的距离，则动点的轨迹就是点的集合， 由此得， 两边平方，并化简，得，即， 即点M的轨迹是焦点在轴上，实轴长为2、虚轴长为的双曲线； 【小问2详解】 设曲线与直线的交点分别为，， 则，得， ∴， ∴， ∴线段的中点坐标为， 又∵线段的中点在圆上， ∴，解得. 19. 设数列的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意.都有，，，（e是自然对数的底数，）. （1）求数列、的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）试探究是否存在整数，使得对于任意，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据与的关系可求得数列，两边同时取对数可求得； （2）先求出的通项公式，再根据错位相减法可求得前n项和； （3）将不等式化简，求得各自的最值，即可求得结果. 【小问1详解】 对于，当时，，即， 因为，所以， 当时，， 两式相减可得， 化简可得，因为数列的各项都是正数， 所以， 所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列， 根据； 对于，则，即， 因为，所以，所以是以1为首项，公比为2的等比数列， 则，所以； 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以， 则 ， 所以， ，即， 所以； 【小问3详解】 由（1）可得，所以， 因为，所以， 因为对于任意，不等式恒成立， 所以对于任意，不等式恒成立， 当时，， 当时，， 根据基本不等式可得，当且仅当时，等号成立； 当时，；当时，；当时，， 又当时，， 所以数列在上单调递增， 所以，， 要使不等式恒成立， 满足条件的整数为2. 【点睛】关键点点睛： （1）题目中给出数列前项和的公式，求通项公式时，通常用； （2）如果是一个等差数列乘一个等比数列，则这个数列的前项和要用错位相减法求解； （3）对于不等式恒成立问题，若恒成立，则，若恒成立，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第一学期高二期末考试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知空间向量，则（ ） A. B. C. 2 D. 14 2. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 3. 设为直线与圆的两个交点，则 A. B. C. D. 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 内切 C. 外离 D. 相交 5. 如图，在四面体中，是中点.设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ） A. （） B. （） C （） D. （） 7. 已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（ ） A. B. C. D. 8. 设为数列的前项和，若，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知空间向量，，，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知等差数列的公差为，前项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 取得最大值时， 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径圆与l相切 D. 为等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点到直线的距离是______. 13. 已知双曲线C：的离心率为，直线与C交于A，B两点且，则C的方程为_________. 14. 等差数列的前项和为，，，则__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 斜率为直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A、B两点． 求该抛物线的标准方程和准线方程； 求线段AB的长． 16. 数列满足：，，设. （1）求证：是等比数列； （2）求的通项公式及前项和. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，平面ABCD，其中，，，，点M在棱PD上，，点N为BC中点. （1）证明：直线平面PAB； （2）求二面角的正弦值. 18. 动点与定点距离和它到定直线：的距离的比是，动点的轨迹记为曲线． （1）求动点的轨迹； （2）已知直线与曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值． 19. 设数列的各项都是正数，为数列的前n项和，且对任意.都有，，，（e是自然对数的底数，）. （1）求数列、的通项公式； （2）求数列的前n项和； （3）试探究是否存在整数，使得对于任意，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$