精品解析：广东省阳江市第三中学2023-2024学年高三下学期数学模拟考试试题（三）

2024年阳江市第三中学高三年级模拟考试解析卷（三） 数学 2024.5.25 一、单选题 1. 已知集合，则集合中的元素个数为 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】由已知得中元素均为偶数， 应为取偶数，故 ，故选D. 2. 已知向量，．若，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量平行的判定方法得到，再解方程即可. 【详解】由，知，解得. 故选：C. 3. 若实数，满足， 则 的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 4. 从长方体的个顶点中任选个，则这个点能构成三棱锥的顶点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出基本事件总数，再计算出这个点在同一个平面的概率，最后利用对立事件的概率公式计算可得. 【详解】根据题意，从长方体的个顶点中任选个，有种取法， “这个点构成三棱锥的顶点”的反面为“这个点在同一个平面”， 而长方体有个底面和个侧面、个对角面，一共有种情况， 则这个点在同一个平面的概率， 所以这个点构成三棱锥的概率为. 故选：B． 5. 已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点．若，则点的横坐标为（　　） A. B. C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】设P的坐标，根据平面向量的坐标表示可得，联立椭圆方程求出x即可. 【详解】由，得， 设， 即，则，解得. 故选：B. 6. 已知函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知的最小正周期，则在处取得最小值，得，即可求解. 【详解】在上单调递增，又的最小正周期， 则在处取得最小值，在处取得最大值， 所以，即， 又，所以. 故选：D 7. 函数的大致图象如图所示，则它的解析式可能是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象关于原点对称，可知函数为奇函数，结合函数零点情况，逐项验证即可. 【详解】函数图象关于原点对称，可知函数为奇函数，且函数在有唯一零点， 对于A，函数的定义域为，且，函数为偶函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，，函数为奇函数， 但当时，恒成立，无零点，故B错误； 对于C，函数的定义域为，且，函数为偶函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，且，函数为奇函数，经验证，符合题意，故D正确， 故选：D. 8. 设，，，…，是1，2，3，…，7的一个排列.且满足，则的最大值是（ ） A. 23 B. 21 C. 20 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】依据绝对值的几何意义和题给条件即可求得的最大值. 【详解】即为相邻两项之差的绝对值之和， 则在数轴上重复的路径越多越好，又， 比如，其对应的一个排列为 则的最大值是 故选：B 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. ， C. 若，，则的最小值为2 D. 若是关于的方程的根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由的乘方的周期性解出即可；对于B，设分别求出等式两边比较即可；对于C，求出，由，求出最小值即可；对于D，由是关于x的方程的根，则也是关于x的方程的根，由根与系数的关系求出值即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，设，则， 由，所以，故B正确； 对于C，设，则， 所以，因为， 所以当时，的最小值为2，故C正确； 对于D，是关于x的方程的根， 则也是关于x的方程的根， 故， 解得，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的图象关于轴对称 C. 的值域为 D. 是减函数 【答案】AC 【解析】 【分析】由，解出不等式解集即为的定义域，即可判断A；根据函数奇偶性的定义即可判断B；化简函数为，进而判断D；求出的值域，进而判断C. 【详解】由，即，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 又， 所以函数为奇函数，故B错误； 又， 因为函数在上为增函数， 所以函数在上为增函数，故D错误； 又，所以，即， 所以，即， 所以， 故函数的值域为，故C正确. 故选：AC. 11. 若，则下列结论不正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由两角和与差的正弦，余弦，和同角三角函数关系化简可得. 【详解】因为， 所以可得： ， 化简可得， 即， 所以， 故ACD错误，B正确； 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 在中，，则最大角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理边角的转化，将正弦值之比转化为边长之比，然后利用余弦定理即可求解. 【详解】∵， ∴由正弦定理化简得： 分别设，则最大角为C， ∴． 故答案为：. 13. 某种红糖的袋装质量服从正态分布，随机抽取5000袋，则袋装质量在区间的约有______袋．（质量单位：） 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】4093 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，结合求解即可. 【详解】由题意知，， 所以，，得 ， 所以袋装质量在区间的约有袋． 故答案为：4093 14. 已知圆和，则圆与圆的所有公切线中斜率的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆心和半径判断两圆为外切，结合图形可得内公切线时斜率最大，根据垂直关系即可求解. 【详解】的圆心和半径分别为，的圆心和半径分别为， 由于，因此两圆外切，有3条公切线， 作出两圆的位置关系图如下： 由图可知：外公切线一条平行于轴，斜率为0，一条斜率为负， 而内公切线的斜率为正，故斜率最大， 由于,故内公切线的斜率为, 故答案： 四、解答题 15. 在某次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，每道灯谜由甲、乙两名同学轮流一人一次独立竞猜，甲同学猜对概率为0.6，乙同学猜对概率为0.4，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： （1）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率； （2）任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次乙猜对1次的概率； （3）记20道灯谜猜灯谜活动中，甲猜对的次数为X，求X的期望． 【答案】（1） （2） （3）期望为12 【解析】 【分析】（1）设出事件，得到，，利用求出结果； （2）根据独立重复性试验求概率公式求出结果； （3）判断出X服从二项分布，代入公式即可． 【小问1详解】 设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则，， 任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为： ； 【小问2详解】 任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次，乙猜对1次的概率为： ． 【小问3详解】 甲猜对的次数为，期望为． 16. 已知在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，满足，若，点为的中点，点为的三等分点（靠近点）． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，结合等腰三角形性质推理即得. （2）由（1）中信息，求出三棱锥的体积，再利用比例法求出体积. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面，平面，则，又， 而，平面，于是平面，又平面，则， 由，点为中点，得，而，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知平面，又平面，则， 的面积， 因此三棱锥的体积， 而，，即， 所以三棱锥的体积． 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）先求函数的导函数，若曲线在点处的切线平行于轴，只需保证，求实数的值即可； （2）求得有两个根“和”，再分、和三种情况分析函数的单调性即可. 【小问1详解】 由题可得， 因为在点处的切线平行于轴，所以， 即，解得，经检验符合题意． 【小问2详解】 因为， 令，得或． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，因为，当且仅当时，， 所以在区间上单调递增． 当时，随的变化，，的变化情况如下表所示： 单调递增 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 18. 已知椭圆的上顶点为，且经过点． （1）求的标准方程； （2）过点的直线与交于，两点，判断的形状并给出证明． 【答案】（1）； （2）为直角三角形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质和点在椭圆上代入标准方程解出即可； （2）设出直线方程，直曲联立，用韦达定理表示出，再求出和，利用向量垂直的坐标表示证明即可. 【小问1详解】 由题意知，所以椭圆方程为，代入点，解得， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 直角三角形，证明如下： 由题意可知斜率一定存在，设为， 设直线，，， 联立，消去得．易知． 则 又因为，， ， 所以，故为直角三角形． 19. 汉诺塔（Hanoi）游戏是源于印度古老传说的益智游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A、B、C），在A杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个金盘（如下图）．游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好．操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上．记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为． （1）求，，； （2）写出与的关系，并求出． （3）求证： 【答案】（1）；；； （2）（，）， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，可算出，，； （2）先得到递推关系式，再由构造法求出通项公式； （3）利用裂项相消法求和，从而证明. 【小问1详解】 ；；； 【小问2详解】 （，） （，）即（，）， 由于，所以（，）， 所以（，）． 即数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即； 小问3详解】 记， 因为， 所以 所以 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年阳江市第三中学高三年级模拟考试解析卷（三） 数学 2024.5.25 一、单选题 1. 已知集合，则集合中的元素个数为 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 2. 已知向量，．若，则（ ） A. B. C. 3 D. 6 3. 若实数，满足， 则 的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 从长方体的个顶点中任选个，则这个点能构成三棱锥的顶点的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点．若，则点的横坐标为（　　） A. B. C. 4 D. 9 6. 已知函数在上单调递增，则（ ） A B. C. D. 7. 函数的大致图象如图所示，则它的解析式可能是（ ） A B. C. D. 8. 设，，，…，是1，2，3，…，7的一个排列.且满足，则的最大值是（ ） A. 23 B. 21 C. 20 D. 18 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. ， C. 若，，则的最小值为2 D. 若是关于的方程的根，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的图象关于轴对称 C. 的值域为 D. 是减函数 11. 若，则下列结论不正确的是（ ）． A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 在中，，则最大角余弦值为______. 13. 某种红糖的袋装质量服从正态分布，随机抽取5000袋，则袋装质量在区间的约有______袋．（质量单位：） 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 14. 已知圆和，则圆与圆的所有公切线中斜率的最大值为___________. 四、解答题 15. 在某次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，每道灯谜由甲、乙两名同学轮流一人一次独立竞猜，甲同学猜对概率为0.6，乙同学猜对概率为0.4，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： （1）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率； （2）任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次乙猜对1次的概率； （3）记20道灯谜猜灯谜活动中，甲猜对的次数为X，求X的期望． 16. 已知在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，满足，若，点为的中点，点为的三等分点（靠近点）． （1）求证：平面； （2）求三棱锥体积． 17. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值； （2）求函数的单调区间． 18. 已知椭圆的上顶点为，且经过点． （1）求的标准方程； （2）过点的直线与交于，两点，判断的形状并给出证明． 19. 汉诺塔（Hanoi）游戏是源于印度古老传说的益智游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A、B、C），在A杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个金盘（如下图）．游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好．操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上．记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为． （1）求，，； （2）写出与关系，并求出． （3）求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$