精品解析：江苏省宿迁市宿城区宿迁学院附属学校、蔡集初中、屠园初中2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期八年级第一次学情调研数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 蝴蝶曲线 B. 阿基米德螺旋线 C. 卡西尼卵形线 D. 太极曲线 2. 下列调查中，最适合采用普查的是（ ） A. 对旅客上飞机前的安检 B. 检测某市的空气质量 C. 了解一批节能灯泡的使用寿命 D. 对五一节假日期间居民出行方式的调查 3. 现有一张平行四边形纸片，，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点，使得四边形为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 4. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CE∥BD, DE∥AC , AD＝2, DE＝2,则四边形 OCED 的面积为（　　） A. 2 B. 4 C. 4 D. 8 5. 如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（ ） A. 78° B. 75° C. 60° D. 45° 6. 如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 8. 如图，在矩形中，，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 某校七年级（1）班50名学生的健康状况被分成5组，第1组的频数是7，第2，3组的频率之和为0.46，第4组的频率是0.2，则第5组的频数是______． 10. 如图，在平面直角坐标系中，若△ABC绕某点P逆时针旋转一定的角度后得到△A'B'C'，则点P的坐标是___． 11. 在中，，则________． 12. 如图，在中，平分，交于点平分，交于点，则的长为________． 13. 若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为________． 14. 如图，已知菱形的一个内角，对角线，相交于点，点在上，且，则________________． 15. 如图，在中，，D为上不与点A，B重合的一个动点，过点D分别作于点E，于点F，则线段的最小值为__________． 16. 如图，平行四边形中，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），当_______________时，四边形为平行四边形． 17. 如图， 在正方形中， E是对角线上一点， 且满足，连接并延长交于点F，连接， 过B 点作 于点G， 延长交于点 H． 在下列结论中∶ ①； ②； ；其中正确的结论有 _____(填正确的序号)． 18. 如图，在边长为3的正方形内取一点E，连接，，，若，，则线段的长为______． 三、解答题：（本题共10小题，共96分） 19. 育才中学举行“祖国大好河山”主题作文比赛，七、八、九年级共有100名学生报名参赛，各年级参赛人数的百分比和各年级的获奖率如下统计图表所示： 年级 七 八 九 获奖率 根据信息完成以下问题： （1）的值是___________，八年级参赛人数对应的圆心角度数是___________； （2）求九年级的获奖人数； （3）求本次作文比赛获奖率． 20. 某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 频数分布表 运动时间t/min 频数 频率 4 0.1 7 0.175 a 0.35 9 0.225 6 b 合计 n 1 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）频数分布表中的=________，=________，=________； （2）请补全频数分布直方图； （3）若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120 min的学生人数． 21. 如图，的顶点坐标分别为． （1）画出， 使 与关于原点O对称． （2）画出绕原点O顺时针旋转90°后得到的，并写出点的坐标． 22. 如图，中，点E、F对角线上，且． 求证：四边形是平行四边形． 23. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，平分，若，求的长度． 24. 如图，在四边形中平分为的中点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若求面积． 25. 如图，点E在正方形的边上，且，过点F作，垂足为M． （1）求证：； （2）延长至点N，使得求证：四边形正方形． 26. 如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 27. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，直线y＝2x－6经过线段OA的中点D，与y轴交于点G，E是线段CG上一点，作点E关于直线DG的对称点F，连接BE，BF，FG．设点E的坐标为（0，m）． （1）写出点B的坐标是（　 　，　 　）； （2）当时，求点E坐标； （3）在点E的整个运动过程中， ①当四边形BEGF为菱形时，求点E的坐标； ②若N为平面内一点，当以B，E，F，N为顶点的四边形为矩形时，m的值为　 　．（请直接写出答案） 28. 在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中． （1）如图1，M、N分别是中点，当四边形是矩形时，求t的值； （2）若G、H分别从点A、C沿折线，运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求t的值； ②如图3，作的垂直平分线交于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，则t的值是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期八年级第一次学情调研数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、选择题：（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 蝴蝶曲线 B. 阿基米德螺旋线 C. 卡西尼卵形线 D. 太极曲线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．直接根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一判断即可． 【详解】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B.既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； C.既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D.是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 下列调查中，最适合采用普查的是（ ） A. 对旅客上飞机前的安检 B. 检测某市的空气质量 C. 了解一批节能灯泡的使用寿命 D. 对五一节假日期间居民出行方式的调查 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．据此逐一判断即可． 【详解】A. 对旅客上飞机前的安检，采用全面调查； B. 检测某市的空气质量，采用抽样调查； C. 了解一批节能灯泡的使用寿命，采用抽样调查； D. 对五一节假日期间居民出行方式的调查，采用抽样调查； 故选A． 3. 现有一张平行四边形纸片，，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点，使得四边形为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据甲乙作图的方式可得到边和角相等，再根据平行四边形的性质与判定即可解答． 【详解】解： 由甲图可知，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故甲正确； 由乙的作图可知是的角平分线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故乙正确； 故选． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 4. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,CE∥BD, DE∥AC , AD＝2, DE＝2,则四边形 OCED 的面积为（　　） A. 2 B. 4 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】解：连接OE，与DC交于点F， ∵四边形ABCD为矩形， ∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD， ∵OD∥CE，OC∥DE， ∴四边形ODEC为平行四边形， ∵OD=OC， ∴四边形ODEC为菱形， ∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE， ∵DE∥OA，且DE=OA， ∴四边形ADEO为平行四边形， ∵AD=，DE=2， ∴OE=，即OF=EF=， 在Rt△DEF中， 根据勾股定理得：DF==1， 即DC=2， 则S菱形ODEC=OE•DC=××2=． 故选A． 5. 如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（ ） A. 78° B. 75° C. 60° D. 45° 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：连接BD， ∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°， ∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°． ∵P为AB的中点， ∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°． ∴∠PDC=90°． ∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°． 在△DEC中，∠DEC=180°-(∠CDE+∠C)=75°． 故选B． 6. 如图，中，M是的中点，平分，于点D，若，则等于（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．延长交于H，证明，根据全等三角形的性质得到，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：延长交于H， ， ， ， 是的中位线， ， 故选：D． 7. 如图，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交的延长线于点，以为邻边作矩形，连接．下列结论：①矩形是正方形；②；③平分；④．其中结论正确的序号有（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】过作于，于，证明得到，即可判断①；当时，点与点重合，不一定等于，即可判断②；根据正方形性质得，，推出，得到，，即可判断④；进而得到，即可判断③，综上即可求解． 【详解】解：如图，过作于，于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，故①正确； 当时，点与点重合， ∴不一定等于，故②错误； ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，，故④正确； ∵， ∴， ∴， ∴平分，故③正确； 综上，结论正确的序号有①③④， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，余角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 8. 如图，在矩形中，，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，由矩形的性质可得点重合，的值最小，即为的长，即得的最小值为，得到的最小值为，延长相交于点，过点作的延长线于点，证明得到，可得当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值，当取最大时，点重合，此时，即得，得到，最后利用三角形面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， 当时，取最小值， ∵四边形为矩形， ∴， ∴点重合，的值最小，即为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 延长相交于点，过点作延长线于点，则， ∵四边形为矩形，四边形为菱形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值， 当取最大时，点重合，此时， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题：（本题共10小题，每小题3分，共30分） 9. 某校七年级（1）班50名学生的健康状况被分成5组，第1组的频数是7，第2，3组的频率之和为0.46，第4组的频率是0.2，则第5组的频数是______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据各组频率和为1求出第5组的频率，再乘以总人数即可得到第5组的频数． 【详解】解：第5组的频率， 第5组的频数， 故答案为：10． 【点睛】本题考查频数与频率，求出第5组的频率是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，若△ABC绕某点P逆时针旋转一定的角度后得到△A'B'C'，则点P的坐标是___． 【答案】（1，-1） 【解析】 【分析】连接，，作线段，的垂直平分线相交点P，则点P即为所求，再确定点P的坐标即可． 【详解】解：如图所示，点P即为所求，点P的坐标为（1，-1）． 故答案为：（1，-1） 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化----旋转，解题的关键是作出对应点连线的垂直平分线． 11. 在中，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等、邻角互补即可得出的度数． 【详解】解：如图所示： ∵四边形平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质以及平行线的性质；解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等，邻角互补的性质． 12. 如图，在中，平分，交于点平分，交于点，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质，等腰三角形的判断和性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质，角平分线的性质可得，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 同理，，， ∴， ∴， 故答案为： ． 13. 若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：该菱形的面积为：． 故答案为：24． 14. 如图，已知菱形的一个内角，对角线，相交于点，点在上，且，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质求得的度数，再根据，求得的度数，即可求解． 【详解】解：在菱形中， ∴，， 又∵ ∴ ∴ 故答案为25． 【点睛】此题考查了菱形的性质，涉及了等腰三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 15. 如图，在中，，D为上不与点A，B重合的一个动点，过点D分别作于点E，于点F，则线段的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可证四边形是矩形，利用矩形的性质可得，再有“垂线段最短”即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得： ∵ ∴四边形是矩形 ∴ 故当时，有最小值，的最小值也为 ∵ ∴ 故线段最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等．利用矩形的性质得到是解题关键． 16. 如图，平行四边形中，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），当_______________时，四边形为平行四边形． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定可得当时，以点、、、为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 此题考查了平行四边形的判定．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用． 【详解】解：设经过秒，以点、、、为顶点组成平行四边形， 以点、、、顶点组成平行四边形， ， 分为以下情况： ①点的运动路线是，方程为， 此时方程，此时不符合题意； ②点的运动路线是，方程为， 解得：； ③点的运动路线是，方程为， 解得：； ④点的运动路线是，方程为， 解得：； 综上所述，或或时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形， 故答案为：或或 17. 如图， 在正方形中， E是对角线上一点， 且满足，连接并延长交于点F，连接， 过B 点作 于点G， 延长交于点 H． 在下列结论中∶ ①； ②； ；其中正确的结论有 _____(填正确的序号)． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和等知识，先由判断④正确，得出，从而证明，得出①正确；根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出即可求出，得出②正确；连接，判断得出③不正确． 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴，， 在和中， ∵， ∴， 故④正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； 连接， ∵，， ∴，是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵不垂直， ∴， ∴， ∴， 故③不正确； 故答案是①②④． 18. 如图，在边长为3的正方形内取一点E，连接，，，若，，则线段的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．根据正方形得到，，过A作于G，求得，根据勾股定理得到，，过E作于F，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】四边形是正方形， ，， 过A作于G，如图， ， ， ，， ， ， ， 过E作于F， ， ， ，， ， ，， ， ， 三、解答题：（本题共10小题，共96分） 19. 育才中学举行“祖国大好河山”主题作文比赛，七、八、九年级共有100名学生报名参赛，各年级参赛人数的百分比和各年级的获奖率如下统计图表所示： 年级 七 八 九 获奖率 根据信息完成以下问题： （1）的值是___________，八年级参赛人数对应的圆心角度数是___________； （2）求九年级的获奖人数； （3）求本次作文比赛的获奖率． 【答案】（1）45，； （2）5人； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，求扇形图中的圆心角等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用减去七、九年级学生占的百分比即可求出，用乘八年级参赛人数所占的百分比即可求出圆心角； （2）用乘九年级人数百分比和获奖率即可求解； （3）用获奖的人数除以总人数即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴， 八年级参赛人数对应的圆心角度数是：， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：（人）， 九年级的获奖人数为5人； 【小问3详解】 解：， 本次作文比赛的获奖率是． 20. 某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 频数分布表 运动时间t/min 频数 频率 4 0.1 7 0.175 a 0.35 9 0.225 6 b 合计 n 1 请根据图表中的信息解答下列问题： （1）频数分布表中的=________，=________，=________； （2）请补全频数分布直方图； （3）若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120 min的学生人数． 【答案】（1）14，0.15，40； （2）补图见解析； （3）约有180人 【解析】 【分析】从频数分布表中得知，频数4占比例为0.1，由此可推出样本容量是40，在求出后，和可随之求出，继而（2）可解决；接下来，从样本去估计总体，就是（3）的结果． 【小问1详解】 n==40 a=40-（4+7+6+9）=14， b= 故= 14 ，= 0.15 ，= 40 【小问2详解】 补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 被抽到的40人中，运动时间不低于120分钟的有9+6=15人，占频率0.225+0.15=0.375， 以此估计全年级480人中，大概有480×0.375=180（名）． 【点睛】本题主要考查了统计和概率，总体和样本；能够准确的根据频数分布表和直方图计算样本和总体的各项数据是解题的关键． 21. 如图，的顶点坐标分别为． （1）画出， 使 与关于原点O对称． （2）画出绕原点O顺时针旋转90°后得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转变换的定义和性质是解题的关键． （1）分别作出三角形三顶点原点O对称的对应点，再顺次连接可得； （2）分别作出三角形三顶点原点O顺时针方向旋转得到的对应点，再顺次连接可得． 【小问1详解】 如图所示即为所求； 【小问2详解】 如图所示即为所求，． 22. 如图，中，点E、F在对角线上，且． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定．连接交于，则可知，，又，所以，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】证明：连接交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 即． ∴四边形为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 23. 如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）已知，平分，若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再结合证明为矩形； （2）根据含30度角的直角三角形的性质求出，再用勾股定理求出，结合矩形的性质可得，，再解求出即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形 ∴，， ∵， ∴且 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形 ∴，， ∵是的平分线，， ∴，且， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，综合应用上述知识是解题的关键． 24. 如图，在四边形中平分为的中点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先通过一组对边平行且相等证明四边形是平行四边形．再结合角平分线的定义以及边的等量代换，得邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答． （2）先由菱形的性质，证明是等边三角形．再结合勾股定理得，根据三角形的面积公式建立式子，进行计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵E为的中点， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形． ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴ ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∴． ∴ ∴． 25. 如图，点E在正方形的边上，且，过点F作，垂足为M． （1）求证：； （2）延长至点N，使得求证：四边形是正方形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）先根据正方形的性质以及已知条件证明可得，然后根据线段的和差即可解答； （2）先证明可得，再证明可得四边形是平行四边形，再结合、即可证明结论． 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴,, ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴,即． 【小问2详解】 证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵ ∴, ∵, ∴， ∴, ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形． 26. 如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接AC，根据三角形中位线定理即可证得； （2）连接BD ，由（1）得，四边形EFGH是平行四边形，再由三角形中位线定理，证得邻边相等，即可证得菱形． 【详解】（1）四边形EFGH为平行四边形，理由如下： 连接AC，如图， 在△ABC和△ADC中， ∵EF、GH分别为其中位线， ∴EF∥AC,且EF=AC; GH∥AC且GH=AC ， ∴EF=GH，EF∥GH， ∴四边形EFGH为平行四边形； （2）若AC=BD, 则四边形EFGH为菱形， 连接BD ，如图， 在△BCD中， ∵GF为其中位线， ∴GF=BD ， ∵EF=AC（已证），且AC=BD， ∴EF=GF ， 又∵四边形EFGH为平行四边形（已证）， ∴四边形EFGH为菱形． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理．连接三角形两边中点的线段，平行且等于第三边的一半． 27. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，直线y＝2x－6经过线段OA的中点D，与y轴交于点G，E是线段CG上一点，作点E关于直线DG的对称点F，连接BE，BF，FG．设点E的坐标为（0，m）． （1）写出点B的坐标是（　 　，　 　）； （2）当时，求点E的坐标； （3）在点E的整个运动过程中， ①当四边形BEGF为菱形时，求点E的坐标； ②若N为平面内一点，当以B，E，F，N为顶点四边形为矩形时，m的值为　 　．（请直接写出答案） 【答案】（1）（6，6）；（2）E（0，2）； （3）① E（0，）； ② 4 【解析】 【分析】（1）对于y＝2x−6，令y＝0，即2x−6＝0，解得x＝3，故点D的坐标分别为（3，0）、则点A（6，0），即可求解； （2）对于y＝2x−6，令x＝0，求出G点的坐标，由对称性得出，所以，列出等式求解即可； （3）①根据菱形的性质得出EG//BF，BE＝GF＝BF＝EG，判断出BF在OA的延长线上，由BE2＝EG2列出等式，求解即可； ②当B，E，F，N四点构成的四边形为矩形时，BE＝BF，则该矩形为正方形，则∠EBF为直角，过点F作x轴的平行线交BA的延长线于点T，由三角形形全等判定推出△BCE≌△BTF（AAS），推出点A、T重合，则点F在x轴上，则AF＝CE，即可表示出点F的坐标，由GE＝GF，列出等量关系求解即可． 【详解】解：（1）对于y＝2x−6，令y＝0，即2x−6＝0，解得x＝3， ∴D的坐标分别为（3，0）， ∵线段OA的中点D，正方形OABC的边OA， ∴A（6，0）， B（6，6）， 故答案为：6；6； （2）对于y＝2x−6，令x＝0，即y＝−6， ∴ G（0，﹣6）， ∵点E关于直线DG的对称点F， ∴， ∴ 设点E的坐标为（0，m）． ∴EG＝m+6， ∵， B（6，6）， ∴， ∴， 解得m＝2， ∴E（0，2）； （3）①若四边形BEGF为菱形，则EG//BF， ∴ BF⊥x轴，即BF在BA的延长线上， 根据菱形的性质知：BE＝GF＝BF＝EG， ∵点E的坐标为（0，m）， ∴BE2＝EG2，BE2＝BC2 +CE2 ∴， 解得：， ∴E（0，）； ②如下图，当B，E，F，N四点构成的四边形为矩形时， ∵BE＝BF，则该矩形为正方形，则∠EBF为直角， 过点F作x轴的平行线交BA的延长线于点T， ∵∠CBE＋∠EBA＝90°，∠EBA＋∠FBA＝90°， ∴∠CBE＝∠FBA， ∵∠BCE＝∠BTF＝90°，BE＝BF， ∴△BCE≌△BTF（AAS）， ∴CE＝TF＝6−m，BT＝BC， 故点A、T重合，则点F在x轴上，则AF＝CE＝6−m， 故点F（12−m，0）， ∵GE＝GF， ∴GE2＝GF2，GE2＝（m＋6）2，GF2＝（12−m）2＋（−6）2 ∴（m＋6）2＝（12−m）2＋（−6）2， 解得：m＝4． 故答案为：4 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、三角形全等的性质和判定，勾股定理，熟练掌握所学性质定理是解题的关键． 28. 在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中． （1）如图1，M、N分别是中点，当四边形是矩形时，求t的值； （2）若G、H分别从点A、C沿折线，运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求t的值； ②如图3，作的垂直平分线交于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，则t的值是______． 【答案】（1）或 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先证明，则，，可得，则，得四边形是平行四边形，连接，证明四边形是矩形，则，，当时，四边形是矩形，则或，解方程即可得到答案； （2）①由（1）知：，连接，由四边形为菱形得到，，则，则，由勾股定理得到，则，求得，则，则，即可得到； ②连接，由①同理得，，由①知，则，可证明，则，同理可证，得到四边形是平行四边形，由四边形的面积是矩形面积的得到，则，即，求得，得到． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 如图1，连接， ∵四边形是矩形，M，N分别是中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵矩形中，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形， ∴或， 解得：或； 【小问2详解】 ①由（1）知：， 如图2，连接， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，连接， 由①同理得：，， 由①知：， ∴， ∵G、H分别从点A、C沿折线，运动， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积是矩形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握特殊平行四边形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$