2025年九年级数学中考三轮冲刺训练胡不归问题专题训练

2025年九年级数学中考三轮冲刺训练胡不归问题专题训练 一、问题背景 从前，有一个小伙在在外地求学，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？” 早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线：如下图（1），A是出发地，B是目的地；直线l是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB。但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。那么，这合适的路线应该是哪条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在驿道上选定一点C，小伙子从A走到点C，然后从点C折往点B，可望最早到达点B。 二、典型习题 （一）、选择题 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝6，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP+BP的最小值为（　　） A．7 B． C． D． 2．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），C（﹣3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）．若P为y轴上一个动点，连接AP，则的最小值为（　　） A． B．2 C． D．4 3．如图，在△ACB中，∠A＝15°，AB＝2，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），连接BP，则AP+PB的最小值是（　　） A． B．3 C．1 D． 第3题图 第2题图 第1题图 （二）、填空题 4．如图，在△ABC中，AB＝5，tan∠C＝2，则ACBC的最大值为 　 　 ． 5．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA，BD⊥AC交AC于点D．点P为线段BD上的动点，则PCPB的最小值为 　 　 ． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 　 　 ． 第5题图 第6题图 第4题图 （三）、解答题 7．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，连接EN、CN． （1）求证：EN＝CN； （2）求2EN+BN的最小值． 8．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC＝30°延长BC至D使CD＝BC，连接AD． （1）求证：△ABD是等边三角形； （2）若E为线段CD的中点，且AD＝8，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP．求的最小值． 9．如图，正方形OABC的边长为2，以OA为半径作圆，P为弧AC上的一点，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接OP、PA． （1）求证：∠POA＝2∠PAQ； （2）连接PB，求的最小值． 10．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则PDPC的最小值为　 　 ，PDPC的最大值为 　 　 ． （2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PDPC的最小值，以及PDPC的最大值． 11．如图，已知抛物线y（x﹣2）（x+4）（k为常数，且k大于0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线第一象限的图象上，且∠BAD＝30°． （1）若点D的横坐标为5，求抛物线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，设F是线段AD上一点（不含端点），连接BF，一动点M从点B出发，沿线段BF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到点D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少，最少用时是多少？ 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以点C为顶点的正方形CDEF（C，D，E，F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且 CD，连结AF，BD． （1）求证：△BDC≌△AFC； （2）在正方形CDEF旋转过程中，求 BDAD的最小值． 13．抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴分别交于A、B，与y轴交于点C，点B关于y轴的对称点为点P，在y轴上找一点Q，使PQCQ的值最小，求出最小值，以及此时Q点的坐标． 14．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝4，OA＝6，⊙O的半径为2，点P是⊙O上一动点，连接AP，BP，求APBP的最小值． 15．如图，四边形ABCD是菱形，AB＝4，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点． （1）求AM+BM+CM的最小值； （2）求AMBM的最小值． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 答案 D C A 1．【解答】解：在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM． ∵PC＝3，CM＝1，CA＝9， ∴PC2＝CM•CA， ∴， ∵∠PCM＝∠ACP， ∴△PCM﹣△ACP， ∴， ∴， ∴， ∵PM+PB≥BM， 在Rt△BCM中， ∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝6， ∴BM． ∴AP+BP． 则AP+BP的最小值为． 故选：D． 2．【解答】解：连接BC，AP，过点P作PG⊥BC于点G，连接AG，过点A作AH⊥BC于点H，如图， ∵C（﹣3，0），B（0，3）， ∴OC＝OB， ∴∠OBC＝45°， ∴PGBP， ∴PG+AP≥AG≥AH， ∴的最小值为AH的长， ∵A（1，0），C（﹣3，0） ∴AC＝1﹣（﹣3）＝4， 在Rt△ACH中， ∵∠ACH＝45°，AC＝4， ∴AHAC， ∴的最小值为． 故选：C． 3．【解答】解：以AP为斜边在AP的下方作等腰直角三角形ADP，则AD＝DPAP， ∴AP+PB＝DP+PB， ∴当D，P，B在一条直线上时，AP+PB取得最小值． ∵△ADP是等腰直角三角形， ∴∠DAP＝45°． ∵∠BAC＝15°， ∴∠DAP＝60°． 在Rt△ABD中， ∵sin∠BAD， ∴BD＝AB•sin60°＝2． ∴AP+PB的最小值为． 故选：A． 二、填空题、 4．【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图1所示： ∵tan∠C＝2， 在Rt△BCD中，设DC＝x，则BD＝2x，由勾股定理可得， ∴，即， ∴， 延长DC到E，使 EC＝CD＝x，连接BE，如图2所示： ∴， ∵BD⊥DE，DE＝2x＝BD， ∴△BDE是等腰直角三角形，则∠E＝45°， 在△ABE 中，AB＝5，∠E＝45°， 由辅助圆﹣定弦定角模型，作△ABE的外接圆，如图3所示： 由圆周角定理可知，点E在⊙O上运动，AE是⊙O的弦，求 的最大值就是求弦AE的最大值，根据圆的性质可知，当弦AE过圆心O，即AE是直径时，弦最大，如图4所示： ∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE＝90°， ∵∠E＝45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∵AB＝5， ∴BE＝AB＝5，则由勾股定理可得，即 的最大值为， 故答案为：． 5．【解答】解：过点P作PE⊥AB于点E，过点C作CH⊥AB于点H， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝90°， ∵sinA，AB＝5， ∴BD＝4， 由勾股定理得AD， ∴sin∠ABD， ∴EP， ∴PCPB＝PC+PE， 即点C、P、E三点共线时，PCPB最小， ∴PCPB的最小值为CH的长， ∵S△ABC， ∴4×4＝5×CH， ∴CH． ∴PCPB的最小值为． 故答案为：． 6．【解答】解：如图， 在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P， 此时PA+2PB最小， ∴∠AFB＝90° ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°， ∴PF， ∴PA+2PB＝2（）＝2（PF+PB）＝2BF， 在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°， ∴BF＝AB•sin45°＝42， ∴（PA+2PB）最小＝2BF＝4， 故答案为：4． 三、解答题 7．【解答】解：（1）连接AN，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴点A，点C关于直线BD轴对称， ∴AN＝CN， ∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N， ∴AN＝EN， ∴EN＝CN； （2）过点N作NG⊥BC于点G，连接AN，AG，过点A作AH⊥BC于点H， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠DBC＝30°， ∴BN＝2NG， ∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N， ∴EN＝AN， ∴2EN+BN＝2AN+2NG＝2（AN+NG）≥2AG≥2AH， ∴2EN+BN的最小值为2AH， ∵∠ABC＝60°，AB＝2， ∴AH＝AB•sin60°， ∴2EN+BN的最小值为2． 8．【解答】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝30°， ∴AC⊥BD，∠B＝60°， ∴AD＝AB， ∵∠B＝60°， ∴△ABD是等边三角形． （2）如图，作PF⊥AB于F，EF′⊥AB于F′，交AC于P′， ∵∠PAF＝30°，∠PFA＝90°， ∴， ∴， ∴当E、P、F共线时，即EF′⊥AB时，PE+PF最短，最小值为线段EF′， ∴， ∵∠B＝60°， ∴∠BEF′＝30°， ∴ ∴， ∴的最小值为． 9．【解答】（1）证明：延长AO，交圆O于点Q，连接PQ， ∵AQ为圆O的直径， ∴∠QPA＝90°，即∠QPO+∠OPA＝90°， ∵正方形OABC， ∴∠OAB＝90°，即∠PAB+∠OAP＝90°， ∵OP＝OA， ∴∠OPA＝∠OAP， ∴∠QPO＝∠OAP， ∵OP＝OQ， ∴∠QPO＝∠PQO， ∵∠POA为△OPQ的外角， ∴∠POA＝2∠QPO， 则∠POA＝2∠PAQ； （2）解：延长QP到F，使PF＝PQ，在PF下方作正方形PFGN，连接PG，此时PGPFPQ， 要使PBPQ最小，即为BP+PG最小，如图所示，当B、P、Q三点共线，且在OB上时最小值为BG， ∵正方形OABC的边长为2， ∴OBOA＝2， ∵OP＝OA＝2， ∴PB＝OB﹣OP＝22，PQ＝PFPB＝2， ∴PQPF＝22，即BG＝44， 则PBPQ的最小值为44． 10．【解答】解：（1）如图1， 在BC上截取BE， ∴， ∵∠PBE＝∠PBC， ∴△PBE∽△CBP， ∴， ∴PEPC， ∴PDPC＝PD+PE≥DE， PDPC＝PD﹣PE≤DE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°， ∴DE， ∴PDPC的最小值为：，此时点P在P′处， PDPC的最大值为：，此时点P在P″处， 故答案为：，； （2）如图2， 在BC上截取BE＝1，作DF⊥BC交BC的延长线于F， ∴， ∵∠PBE＝∠PBC， ∴△PBE∽△CBP， ∴， ∴PEPC， ∴PDPC＝PD+PE≥DE， PDPC＝PD﹣PE≤DE， 在Rt△DCF中，∠DCF＝∠ABC＝60°，CD＝4， ∴CF＝4•cos60°＝2，DF＝4•sin60°＝2， 在Rt△DEF中，DF＝2，EF＝CE+CF＝3+2＝5， ∴DE， ∴PDPC的最小值为：，此时点P在P′处， PDPC的最大值为：，此时点P在P″处， 11．【解答】解：（1）抛物线y（x﹣2）（x+4）， 令y＝0得，（x﹣2）（x+4）＝0， 解得x＝2或x＝﹣4， ∴A（﹣4，0），B（2，0）， ∴OA＝4， 过点D作DE⊥x轴于E， ∴OE＝5，AE＝9， ∵∠BAD＝30°， ∴DE＝tan30°×AE＝93， ∴D（5，3）， ∵点D在抛物线y（x﹣2）（x+4）的图象上， ∴（x﹣2）（x+4）＝3， ∴k， ∴抛物线的函数解析式为：y（x﹣2）（x+4）， 即y； （2）过点D作x轴的平行线，过点B作BH∥y轴交平行线于H，交AD于F， ∴∠HDF＝∠DAB＝30°， ∴HFDF， 由题意知：动点M的运动路径为BF+DF， ∴点M的运动时间t＝BFDF＝BF+HF， 根据垂线段最短得：t的最小值为BH的长， 即t＝3秒， 此时F的横坐标为2， 设AD的解析式为：y＝kx+b， 将（﹣4，0），（5，3）代入得： ， 解得：， ∴直线AD的解析式为：y， 当x＝2时，y＝2， ∴F（1，2）． ∴当点F的坐标为（2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少，为3秒． 12．【解答】（1）证明：∵四边形CDEF是正方形， ∴CF＝CD，∠FCD＝∠ACB＝90°， ∴∠ACF＝∠BCD， ∵AC＝CB， ∴△FCA≌△DCB（SAS）． （2）解：如图．取AC的中点M．连接DM，BM． ∵CD，CA＝2，CM＝1， ∴CD2＝CM•CA， ∴， ∵∠DCM＝∠ACD， ∴△DCM∽△ACD， ∴， ∴DMAD， ∴BDAD＝BD+DM≥BM， ∴BDAD的最小值为BM的长， ∵BM， ∴BDAD的最小值为． 13．【解答】解：如图， 连接AC，过点Q作QD⊥AC于D， 由x2﹣4x+3＝0得， x1＝1，x2＝3， ∴A （1，0），B（3，0），P（﹣3，0）， 当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， ∴AC， ∴sin∠ACO，cos∠ACO， ∴DQCQ， ∴PQCQ＝PQ+DQ， ∴当点P、Q、D共线时，PQCQ最小， ∵∠PDA＝∠AOC＝90°， ∴∠ACO+∠CAO＝90°，∠APD+∠CAO＝90°， ∴∠APD＝∠ACO， ∴PD＝PA•cos∠APD＝4•cos∠ACO＝4， ∴PQCQ的最小值为：， ∵OP＝OC， ∴△POQ≌△COA（ASA）， ∴OQ＝OA＝1， ∴Q（0，1）． 14．【解答】解：在OB上取点Q，使OQ＝1，连接PO，PQ，AQ， ∵，， ∴， ∵∠POQ＝∠POB， ∴△POQ∽△BOP， ∴， ∴PQPB， ∴APPB＝AP+PQ， 当APBP的值最小，只需AP+PQ最小， ∴当A，P，Q三点共线时，AP+PQ最小，最小值是AQ的长， 此时：AQ． ∴APPB的最小值是． 15．【解答】解：（1）连接AC，MC，将△BCM绕点B逆时针旋转60°得△BAM′，再将△BAM绕点B逆时针旋转60°得△BA′M′，连接CA′，与AB交于点E，如图，则A′M′＝AM，BM′＝BM，A′B＝AB＝BC＝4，∠ABA′＝∠ABC＝60°，∠ABM′＝∠CBM＝∠ABM＝30°， ∴△BMM′是等边三角形，BE⊥A′C， ∴BM＝MM′， ∴AM+BM+CM＝A′M+MM′+CM≥A′C， 当A′、M′、M、C四点共线时，AM+BM+CM＝A′M+MM′+CM＝A′C的值最小， 此时A′C＝2CE＝2． 故AM+BM+CM的最小值为4； （2）如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H． ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠DBC∠ABC＝30°， ∵MH⊥BC， ∴∠BHM＝90°， ∴MHBM， ∴AMBM＝AM+MH， ∵AT⊥BC， ∴∠ATB＝90°， ∴AT＝AB•sin60°＝2， ∵AM+MH≥AT， ∴AM+MH≥2， ∴AMBM≥2， ∴AMBM的最小值为2， 故答案为：2． 学科网（北京）股份有限公司 $$