四川省资阳天立学校2024-2025学年高一下学期数学第二次周测试卷

天之骄子 立己达人 高一年级下学期数学第二次周测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知四边形满足条件，且，其形状是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．下列说法正确的是（   ）． A．向量的模是一个正实数 B．若与不共线，则与都是非零向量 C．若，则 D．两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同 3．已知是两个不共线的向量，向量， .若，则（    ） A． B． C．2 D． 4．若是非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设向量，满足，则以，，为边长的三角形面积最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．中，是的中点，在线段上，且，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 7．下列命题中错误的有（   ） A．的充要条件是且 B．若，，则 C．若，则存在实数，使得 D． 8．关于平面非零向量，向量的夹角为，下列说法中正确的是（    ） A． B．在向量上的投影向量为 C．若，则与的夹角为钝角 D． 三、填空题 9．化简 10．已知向量，且，，则 11．已知、均为单位向量且，则在方向上的投影向量为 12．如图，在中，点满足，过点的直线分别交直线于不同的两点，设，则的值为 ． 13．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为 . 四、解答题 14．已知非零向量，不共线． (1)如果，，，求证：，，三点共线； (2)若和是方向相反的两个向量，试确定实数的值． 15．已知向量与的夹角为，，． (1)求； (2)若向量与夹角为锐角，求实数的取值范围． 16．如图，在中，，线段与线段交于点F． (1)求的值； (2)求的值： (3)若O为内一动点，求的最小值． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 《高一年级下学期数学第二次周测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A D A C ABC BD 1．B 【分析】由，分析出四边形一组对边平行且相等，又由，分析出四边形对角线相等，即可得到结果. 【详解】由，可知且， 则四边形为平行四边形， 又由，可知四边形为矩形， 故选:B. 2．B 【分析】利用向量的相关概念，逐项判断. 【详解】对于A，零向量的模是0，A错误； 对于B，由零向量与任意向量共线知，若与不共线，则与都是非零向量，B正确； 对于C，向量的模是非负实数，可以比较大小，而向量不能比较大小，C错误； 对于D，相等的两个向量起点是任意的，D错误. 故选：B 3．A 【分析】根据向量共线定理结合向量的数乘运算、平面向量基本定理求解. 【详解】由题意，，设，即， 则，解得. 故选：A. 4．D 【分析】结合，设，，根据充分性和必要性两个角度分别判断即得. 【详解】如图作，设，， 由向量加法的平行四边形法则知：由可得是菱形， 因菱形的对角线不一定相等，故不一定成立，即充分性不成立； 又由可得是矩形，因矩形的一组邻边不一定相等， 故也不一定成立，即必要性不成立. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 5．A 【分析】根据题意可知，以，，为边长的三角形为直角三角形，两直角边长设为m，n，则，再根据基本不等式计算最值即可. 【详解】根据平行四边形法则可知，是平行四边形的对角线长， 依题意，，则平行四边形为矩形， 所以以，，为边长的三角形为直角三角形，且斜边长为， 两直角边长设为m，n，则， 则三角形面积，当且仅当时等号成立， 则以，，为边长的三角形面积最大值为1． 故选：A. 6．C 【分析】根据已知及向量共线的推论得，进而求的最大值即可. 【详解】由是的中点得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当时，的最大值为1. 故选：C 7．ABC 【分析】对于选项A，根据相等向量的定义，即可做出判断；对于选项B，根据零向量与任意向量平行即可做出判断；对于选项C，根据向量与共线的充要条件即可做出判断；对于选项D，根据向量加法的三角形法则即可做出判断. 【详解】对于选项A，若，则和的长度相等且方向相同. 当时，和的长度相等； 当时，和的方向不一定相同，故A不正确； 对于选项B，若，，则当，和不一定平行，故B不正确； 对于选项C，若，则当，则存在唯一一个实数，使得； 当，时，则不存在实数，使得，故C不正确； 对于选项D，由向量加法的三角形法则可知，，故D正确. 故选：ABC. 8．BD 【分析】由向量数量积的概念及投影向量的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，取， 则，显然不成立，故错误； 对于B，在向量上的投影向量为，正确； 对于C，当时，，此时与的夹角不为钝角，错误； 对于D，， 可得或，正确； 故选：BD 9． 【分析】利用向量的加、减法运算即可. 【详解】 故答案为：. 10．2 【分析】利用向量求模公式即可. 【详解】，且，，则， 则 故答案为：2 11．# 【分析】对已知左右两边完全平方，然后通过计算得到，然后代入投影向量的计算公式即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 12．3 【分析】运用向量线性运算及三点共线结论即可求得结果. 【详解】由，得， 而，，则， 又、、三点共线，则，所以. 故答案为：3 13．1 【分析】由，为上一点，且满足，可求得，再用及表示出及，进而求数量积即可. 【详解】由，可得， 又，，三点共线， 则有， 由于，所以，即， 又， 且，，， 故 . 故答案为：1. 14．(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据平面向量基本定理用分别表示出，有，且都过点B，进而可证A，B，D三点共线； （2）根据已知条件有，进而可求解. 【详解】（1）证明：，，， 则， 所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线； （2）因为和是方向相反的两个向量， 所以存在实数， 使，且， 又，不共线，所以，解得或， 因为，所以， 所以． 15．(1)1 (2) 【分析】（1）通过求平方即可求解； （2）根据与的夹角为锐角，由且与的夹角不为求解； 【详解】（1）， 所以 （2）因为与的夹角为锐角， 所以且与的夹角不为． 首先， 因为， 所以，解得； 其次当时，由（1）得与的夹角为，所以， 所以的取值范围为． 16．(1); (2); (3). 【分析】（1）通过数量积已知可求夹角，再通过余弦定理求边，最后由勾股定理证明直角，然后建立直角坐标系来求数量积即可； （2）把所求角转化为两向量的夹角，从而利用数量积的坐标运算即可； （3）利用极化恒等式把向量积转化为中线与边的关系，再利用坐标运算来表示，最后可求得最小值. 【详解】（1）由可得，， 在中，由可知：， 由余弦定理得：，又因为， 所以由勾股定理可得：， 则以为坐标原点，如图建立平面直角坐标系， 有：，由可得：， 所以 ， 则； （2）由图可得：； （3） 由， 设中点为， 同理可得， 所以， 在如图坐标系中，可设，， 则 , 此时， 即点作轴垂线垂足为，点作轴垂线垂足为， 则为的八等分点，为的四等分点，显然此时点在内部，满足题意.所以取到最小值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$