9.1因式分解学案+同步练习2024-2025学年冀教版数学七年级下册

冀教版七年级数学下册 9.1《因式分解》导学案 学习目标 1. 掌握因式分解的定义，能识别多项式是否可分解. 2. 能准确理解因式分解的定义，区分其与整式乘法的互逆关系 3. 对比不同分解方法的优劣，会选择较好的方法. 导学过程 1、 情景导入 观察下面两位同学计算20112－2011×2010和372－362的过程，分析哪种更简便 小方的方法： 小晴的方法 20112－2011×2010 20112－2011×2010 =2011×(2011－2010) =4044121－4042110 =2011. =2011. 372－362 372－362 =(37－36)×(37－36) =1369－1296 =73. =73. 思考一： (1) 小晴用的什么方法? (2) 小方的第一个算式用了什么方法? (3)小方的第二个算式用了什么方法? 思考二 (1) 观察下面三个算式: (2)上面三个算式能反过来，写成整式乘积的形式吗? 二、新知介绍： 定义：像这样，把一个多项式分解成 的形式，叫做多项式的 ，也叫做将 ，其中每个整式都叫做这个多项式的 . 新知思考：1.多项式的因式分解与乘法运算是相同的吗？请说明理由。 注意：多项式的因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积，而多项式的乘法运算是把几个整式的乘积化成一个多项式.可见，多项式的因式分解与多项式的乘法运算是相反的变形过程 三，新知尝试 1.下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2.下列变形中是因式分解的是(    ) A． B． C． D． 3.列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 4.对于①②从左到右的变形中，属于因式分解的是 ．（填序号） 5.在中，从左到右的变形是 ，从右到左的变形是 ． 总结与思考：对本节知识，你有哪些不足？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.1因式分解 姓名：___________班级：___________ 加油，你能行！ 一、填空题 1．把一个多项式化成_____________的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式，分解因式与___________互为逆变形过程． 2．下列各式中，是整式乘法的是 ，是因式分解的是 ．（填序号） ①；②； ③；④． 3．已知，，则的值为 ． 4．关于的代数式分解因式得，则的值为 ． 5．把一个多项式化成几个整式的 的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于 ． 二、解答题 6．下列代数式从左到右的变形哪些不属于因式分解？请说明理由． (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 7．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．如图②，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形纸板A，2块是边长为的小正方形纸板B，5块是长为，宽为的小长方形纸板C，且． (1)观察图②，从面积恒等变形的角度考虑，可以将代数式因式分解为__________． (2)若图②中大长方形纸板的周长为，则__________．； (3)在(2)的条件下，若图②中阴影部分的面积为，求图①中一张纸板A和一张纸板B的面积和． 8．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式． 例如：，根据以上材料，解答下列问题： (1)运用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式． (2)用多项式的配方法将多项式化成的形式，并直接写出此多项式的最小值． 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《9.1因式分解》参考答案 1．几个整式的积，整式乘法 【分析】根据分解因式的定义即可求解． 【详解】解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式，分解因式与整式乘法互为逆变形过程， 故答案为：几个整式的积，整式乘法． 【点睛】本题主要考查分解因式的概念，理解并掌握分解因式的概念是解题的关键． 2． ①②/②① ③④/④③ 【分析】本题主要考查了整式乘法与因式分解，将多项式写成几个整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，整式的乘法是指单项式与单项式、单项式与多项式以及多项式与多项式相乘，根据各自的定义判断即可． 【详解】解：①是整式乘法， ②是整式乘法， ③是因式分解， ④是因式分解． 故答案为：①②；③④． 3．24 【分析】本题考查了因式分解的应用，由题意可得，再将所求式子进行因式分解，整体代入进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．1 【分析】根据因式分解的定义得，利用多项式乘以多项式展开右边，利用恒等式的性质，比较对应项系数，计算m，n的值，再求的值即可． 本题考查了有因式分解，恒等式的性质，求代数式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 5． 积 整式乘法 【分析】本题考查了因式分解的意义，根据因式分解的意义即可求解，解题的关键是正确理解掌握因式分解的意义． 【详解】解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解．整式乘法是“积化和差”，整式乘法与因式分解为互逆变形，它们都是整式恒等变形．如：属于整式乘法， 故答案为：积，整式乘法． 6．(1)是整式的乘法，不是因式分解 (2)一个多项式转化成几个整式积的形式，是因式分解 (3)没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解 (4)等式的左边不是多项式，不是因式分解 【分析】（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此即可作答； （2）根据因式分解的定义判断即可得答案； （3）根据因式分解的定义判断即可得答案； （4）根据因式分解的定义判断即可得答案． 【详解】（1）是整式的乘法，故（1）不是因式分解； （2），一个多项式转化成几个整式积的形式，故（2）是因式分解； （3），没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故（3）不是因式分解； （4），等式的左边不是多项式，故（4）不是因式分解． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 7．(1) (2)9 (3) 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）代数式所表示的面积正好是长方形的面积，即长乘宽，即可得到因式分解的结果； （2）根据长方形的周长即可得出的值； （3）根据阴影部分的面积求出，由（2）可得，再求出的值即可得解． 【详解】（1）解：观察图②，从面积恒等变形的角度考虑，可以将代数式因式分解为， 故答案为：； （2）解：∵图②中大长方形纸板的周长为， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵图②中阴影部分的面积为， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴图①中一张纸板A和一张纸板B的面积和为． 8．(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握配方法及平方差公式是解此题的关键． （1）仿照题干所给例子，结合配方法及平方差公式进行分解因式即可； （2）先进行分解因式，再结合非负数的性质即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴此多项式的最小值为． 答案第2页，共3页 答案第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$