精品解析：陕西省商洛市2025届高三下学期第三次模拟检测数学试卷

商洛市2025届高三第三次模拟检测 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. 10 C. D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】先根据虚数的运算法则化简，再根据复数的模的计算公式求出化简后复数的模. 【详解】,所以. 故选：A. 2. 已知为抛物线上一点，为的焦点，点到轴的距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，则，根据题意求出的值，再利用抛物线的定义可求得的值. 【详解】对于抛物线，，可得， 设点，则，因为点到轴的距离为，即， 由抛物线的定义可得. 故选：B. 3. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用集合的包含关系与运算逐项判断即可. 【详解】因为， 则或， 显然集合、没有包含关系，则A ， B错误； 又，，故C正确，D错误. 故选：C. 4. 某地为促进消费，向当地市民随机发放了面值10元、20元、50元的线下消费满减电子券，每位市民可以领取一张，且每笔消费仅能使用一张.某支持使用该消费券的大型商场统计到某日使用了10元、20元、50元消费券的消费账单的数量之比为5∶3∶2，若对这些账单用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取一个容量为50的样本，则样本中使用了50元消费券的消费账单的份数为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样特点，利用抽样比计算即可. 【详解】样本中使用了50元消费券的消费账单的份数为. 故选：B. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义求出焦距及长轴长，再求出离心率. 【详解】依题意，椭圆的焦距，长轴长， 所以该椭圆的离心率. 故选：A 6. 若函数在上有极值，则的取值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】将函数求导，将函数有极值问题转化为方程在上有两不等实根，通过求二次函数的值域即得的取值范围. 【详解】函数在上有极值， 即在上有变号零点， 也即方程在上有两不等实根， 由可得，当且仅当时，等号成立， 故需使. 故选：B. 7. 已知是偶函数，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数在上的单调性，比较、、的大小关系，结合函数的单调性可得出结果. 【详解】因为函数是偶函数，且在上单调递增，则该函数在上为减函数， 因为， 所以，，且函数在上为增函数， 所以，， 因为函数在上为减函数，则， 故，且， 所以，， 故选：D. 8. 已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，求出正三棱锥的高，找出外接球球心，设外接球半径为，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，结合球体表面积公式可求得结果. 【详解】在正三棱锥中，正的边长为，如下图所示： 取线段的中点，连接，则， 因为正三棱锥的侧面积为，则，可得， 所以，，， 设点在底面的射影为点，则为正的中心，且， ， 设正三棱锥的外接球球心为，则在直线上， 设球的半径为，则， 由勾股定理可得，即，解得， 因此，该正三棱锥的外接球的表面积为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是奇函数 D. 在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，需找出使函数有意义的自变量取值范围；对于B，则根据函数的性质和自变量的取值范围来确定；对于C，奇偶性通过判断与的关系得出；对于D，单调性可利用复合函数单调性的判断规则来分析. 【详解】由，解得，，所以的定义域为，A错误. ，，所以的值域为，B正确. ，所以是奇函数，C正确. 当时，函数单调递增，且.函数在上单调递减，根据复合函数的单调性可得在上单调递减，D正确. 故选：BCD. 10. 过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设切点为，利用导数的几可意义，再结合题设条件得到，解得或，即可求解. 【详解】令，则，设切点为， 则切线方程为， 将点代入，整理得， 即，解得或， 当时，切线方程为；当时，切线方程为． 故答案为：AC. 11. 数列满足，，，…，，依此类推，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据通项公式的规律，分析各项表达式，结合不等式判断选项. 【详解】根据规律可得，，； 当m的值每增加1时，的变化在内，所以的值单调递增. 当时，取最小值，最小值为，正确. 易得，所以，即，所以，错误. 若，则，，，，； 记数列为1，2，3，5，…，则，. 记，则； 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. ，正确. ，要使得取最小值； 则n为奇数，此时，正确. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______，______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】根据商数关系及正切的二倍角公式求解即可. 【详解】由，解得， 则. 故答案为：3；. 13. 已知圆的半径为，弦，为圆上一动点，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以圆心为原点，过点且与直线的直线为轴，线段的垂直平分线所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的最大值. 【详解】以圆心为原点，过点且与直线的直线为轴， 线段的垂直平分线所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则、，设点， ，， 所以，，当且仅当时，取最大值. 故答案为：. 14. 设计一个五位的信息密码，每位数字均在中选取，则含有数字、、，且、、都只出现一次的信息密码有______个． 【答案】 【解析】 【分析】先从个数位选择个数位分别排、、，剩余的个数位上的数字从剩余的个数字中进行选择，每个数位有种选择，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】先从个数位选择个数位分别排、、， 剩余的个数位上的数字从、、、、、、中选择，每个数位有种选择， 由分步乘法计数原理可知，满足条件的信息码的个数为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知、、分别为三个内角、、的对边，且． （1）求； （2）若，求外接圆的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角的正弦公式化简得出的值，结合角的范围即得； （2）利用正弦定理求出外接圆的半径，结合圆的面积公式可求. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 即，即， 因为、，所以，，，则有，故. 【小问2详解】 设外接圆的半径为，由正弦定理，，故， 因此，外接圆的面积为. 16. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，输的一方在下一局当裁判．已知各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第一局丙当裁判． （1）若比赛进行三局，求第三局甲不当裁判的概率； （2）若有人获胜两局，则比赛结束，用表示比赛结束时比赛的局数，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若比赛进行三局，第三局甲不当裁判，则第二局甲赢，第一局甲也赢，或者第一局甲输，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 若比赛进行三局，第三局甲不当裁判，则第二局甲赢，第一局甲也赢， 或者第一局甲输，则甲第三局必定参加比赛，故所求概率为. 【小问2详解】 由题意可知，的可能取值有、、， 若，则甲连胜两局或乙连胜两局，所以，， 若，则第二、三局均为丙赢，所以，， 若，则前三局没有人累计胜两局，必须进行第四局，第四局后无论胜负都有人累计获胜两局， 所以，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 因此，. 17. 已知双曲线经过点，离心率为． （1）求的方程． （2）已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点． ①若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程； ②若经过点，且，求的方程． 【答案】（1） （2）①；②或或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的方程； （2）①设点、，设点，设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，进而可得出点的轨迹方程； ②分三种情况讨论，与轴重合、轴、直线的斜率存在且不为零，前两种情况直接验证即可；在第三种情况下，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线方程联立，求出线段的中点，分析可知，结合斜率关系可求出的值，综合可得出直线的方程. 【小问1详解】 由题意可得，解得，故双曲线的方程为. 【小问2详解】 ①设点、，设点， 设直线的方程为，联立可得， 则， 由韦达定理可得，可得， 则，即点的轨迹方程为； ②易知点、，若直线与轴重合，则、为双曲线的顶点， 显然，不合乎题意； 若直线轴，由对称性可知， 点、关于轴对称，则； 当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为， 设点、， 联立可得， 由题意可得，解得， 由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为， 若，则，，， 所以，，解得. 综上所述，直线的方程为或或. 18. 如图，在等腰梯形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，沿线段EF将四边形AEFD翻折到四边形MEFN的位置，连接MB，NC.已知，，，P为射线FN上一点. （1）若，证明：平面BCNM. （2）若直线FN与平面CEP所成角的正弦值为，求PF. 【答案】（1） 证明：在线段CN上取一点Q，使得，连接PQ，BQ. 因为，所以，且， 因为，，所以，且， 所以四边形EBQP是平行四边形，. 因为平面BCNM，平面BCNM，所以平面BCNM. （2）3 【解析】 【分析】（1）根据题意，在线段CN上取一点Q，使得，即可证明四边形EBQP是平行四边形，再由线面平行的判定定理即可证明； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及线面角的公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以F为坐标原点，FN，FE所在直线分别为x轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，. 设（），则. 设平面CEP的法向量为， 则， 令，则. 直线FN的一个方向向量为. ， 解得（舍去）. 故. 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． （1）若函数和为“契合函数”，求的取值范围． （2）已知函数和为“契合函数”且有两个“契合点”． ①求的取值范围； ②若，证明：． 【答案】（1） （2）①； ②由①得：与的两个不同交点为，且， ，即，，， 令，则由知：，， ，整理可得：，， ， 令，则， 令，则， 令，则， 在上单调递增，，， 在上单调递增，，即， 在上单调递增，，即. 【解析】 【分析】（1）将问题转化为与有交点，求导后可得单调性，进而确定图象，结合图象可求得结果； （2）①令，采用同构法可得，令，结合导数知识可求得图象，结合单调性可将问题转化为与有两个不同交点，结合单调性可求得的范围； ②根据与的两个不同交点为，采用比值代换的方式，令，将表示为关于的函数的形式，利用导数可求得的单调性和最值，由此可得结论. 【小问1详解】 由题意知：与的公共定义域为， 令，即，， 令，若与为“契合函数”，则与有交点. ， 当时，，，即；当时，； 当时，，，即； 在上单调递减，在上单调递增， ，又当时，；当时，； 大致图象如下图所示， 由图象可知：当时，与有交点， 即当与为“契合函数”时，的取值范围为. 【小问2详解】 ①由题意知：与的公共定义域为， 令，则，即； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，又当时，；当时，； 大致图象如下图所示： 令，则， 由得：， 在上单调递增，又与为“契合函数”，与至少有一个交点， 与有两个不同交点，，， ，解得：，即实数的取值范围为. ②略 【点睛】关键点点睛：本题重点考查利用导数证明不等式的问题，所证不等式包含双变量，解决此类问题的关键是能够通过换元的方式将所证不等式转化为单变量的形式，进而将问题转化为单变量函数最值的求解问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 商洛市2025届高三第三次模拟检测 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. 10 C. D. 13 2. 已知为抛物线上一点，为的焦点，点到轴的距离为，则（ ） A. B. C. D. 3. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 某地为促进消费，向当地市民随机发放了面值10元、20元、50元的线下消费满减电子券，每位市民可以领取一张，且每笔消费仅能使用一张.某支持使用该消费券的大型商场统计到某日使用了10元、20元、50元消费券的消费账单的数量之比为5∶3∶2，若对这些账单用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取一个容量为50的样本，则样本中使用了50元消费券的消费账单的份数为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上有极值，则的取值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 7. 已知是偶函数，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则下列命题正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 是奇函数 D. 在上单调递减 10. 过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ） A. B. C. D. 11. 数列满足，，，…，，依此类推，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______，______． 13. 已知圆的半径为，弦，为圆上一动点，则的最大值为______． 14. 设计一个五位的信息密码，每位数字均在中选取，则含有数字、、，且、、都只出现一次的信息密码有______个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知、、分别为三个内角、、的对边，且． （1）求； （2）若，求外接圆的面积． 16. 甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，输的一方在下一局当裁判．已知各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第一局丙当裁判． （1）若比赛进行三局，求第三局甲不当裁判的概率； （2）若有人获胜两局，则比赛结束，用表示比赛结束时比赛的局数，求的分布列与数学期望． 17. 已知双曲线经过点，离心率为． （1）求的方程． （2）已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点． ①若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程； ②若经过点，且，求的方程． 18. 如图，在等腰梯形ABCD中，，，E，F分别为AB，CD的中点，沿线段EF将四边形AEFD翻折到四边形MEFN的位置，连接MB，NC.已知，，，P为射线FN上一点. （1）若，证明：平面BCNM. （2）若直线FN与平面CEP所成角的正弦值为，求PF. 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． （1）若函数和为“契合函数”，求的取值范围． （2）已知函数和为“契合函数”且有两个“契合点”． ①求的取值范围； ②若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $