解三角形方法讲义-2025届高三数学一轮复习

解三角形 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设的三个内角的对边分别为，则有以下关系成立： （1）边的关系：，，（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：，，，， ， ，， （3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形 板块一：正弦定理及其应用 1．正弦定理：，其中为的外接圆半径 2．正弦定理适用于两类解三角形问题： （1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边； （2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解 的可能），再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边 【例1】考查正弦定理的应用 （1）中，若，，，则_____； （2）中，若，，，则____； （3）中，若，，，则____； （4）中，若，则的最大值为_____。 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在中，已知、、 （1）若为钝角或直角，则当时，有唯一解；否则无解。 （2）若为锐角，则当时，三角形无解； 当时，三角形有唯一解； 当时，三角形有两解； 当时，三角形有唯一解 实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。 板块二：余弦定理及面积公式 1．余弦定理：在中，角的对边分别为，则有 余弦定理： ， 其变式为： 2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题： （1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； （2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3．三角形的面积公式 （1） （、、分别表示、、上的高）； （2） （3） （为外接圆半径） （4）； （5） 其中 （6）（是内切圆的半径，是三角形的周长） 【例】考查余弦定理的基本应用 （1）在中，若，，，求； （2）在中，若，，，求边上的高； （3）在中，若，，，求 【例】（1）在中，若，，，则中最大角的余弦值为________ （2）（10上海理）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则（ ） A．不能作出这样的三角形 B．作出一个锐角三角形 C．作出一个直角三角形 D．作出一个钝角三角形 （3）以为三边组成一个锐角三角形，则的取值范围为__________ 【例】考查正余弦定理的灵活使用 （1）在中，若，其面积，则_____ （2）在中，若，则_____ （3）（07天津理）在中，若，，则_____ （4）（10江苏）在锐角中，若，则_________ 【例】判断满足下列条件的三角形形状 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）， 板块三：解三角形综合问题 【例】（09全国2） 在中，角的对边分别为、、，，，求 【例】（11西城一模）在中，角的对边分别为，且， （1）当时，求角的度数； （2）求面积的最大值 【例】在中，，，，求的值和的面积 【例】在中，角的对边分别为，已知， （1）若的面积等于，求； （2）若，求的面积 【例5】（09江西理）在中，角的对边分别为，且， （1）求 （2）若，求 【例】（09安徽理）在中，, （1）求的值； （2）设，求的面积 【例】（10辽宁理）在中，角的对边分别为， 且 （1）求的大小； （2）求的最大值 【例】在中，角的对边分别为，， （1）求的大小； （2）求的范围 【例】（11全国2）设的内角的对边分别为，已知， ，求 【江西理】在中，角的对边分别是，已知 （1）求的值； （2）若，求边的值 【11江西文】在中，角的对边分别是，已知 （1）求的值； （2）若，，求边的值 正弦定理 专题：公式的直接应用 1、已知中，，，，那么角等于（ ） A． B． C． D． 2、在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°，则A等于（ C ） A．30° B．60° C．60°或120° D． 30°或150° 3、的内角的对边分别为，若，则等于（ ） A． B．2 C． D． 4、已知△ABC中，，，，则a等于（ B ） A． B. C. D. 5、在△ABC中，＝10，B=60°,C=45°,则等于 （ B ） A． B． C． D． 6、已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则等于 ． （） 7、△ABC中，，，，则最短边的边长等于（ A ） A . B. C . D . 8、△ABC中，，的平分线把三角形面积分成两部分，则（ C ） A . B . C . D . 9、在△ABC中，证明：。 证明： 由正弦定理得： 专题：两边之和 1、在△ABC中，A＝60°，B＝45°，，则a＝ ；b＝ . （,） 2、已知的周长为，且． （1）求边的长； （2）若的面积为，求角的度数． 专题：三角形个数 1、△ABC中，∠A=60°, a=, b=4, 那么满足条件的△ABC ( C ) A.有 一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 2、ΔABC中,a=1,b=, ∠A=30°,则∠B等于 （ B ） A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120° 3、在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 （ D ） A．b = 10，A = 45°，B = 70° B．a = 60，c = 48，B = 100° C．a = 7，b = 5，A = 80° D．a = 14，b = 16，A = 45° 4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ D ） A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b= ,∠A=30° C．a=1,b=2,∠A=100° C．b=c=1, ∠B=45° 5、在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（ B ） A．无解 B．一解 C． 二解 D．不能确定 6、满足A=45°,c= ,a=2的△ABC的个数记为m,则a m的值为（ A ） A．4 B．2 C．1 D．不定 7、已知△ABC中，121°，则此三角形解的情况是 无解 8、在△ABC中，已知，，，则边长 。或 专题：等比叠加 1、△ABC中，若，，则等于（ A ） A .2 B . C . D. 2、在△ABC中，A=60°, b=1, 面积为，则= . 专题：变式应用 1、在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则 2、已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶∶2，则A∶B∶C等于(　A　　) 　　A．1∶2∶3 B．2∶3∶1 C．1：3：2 D．3：1：2 3、在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：① ② ③ ④ 其中成立的个数是 ( C ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4、在△ABC中，已知边, ，求边a、b 的长。 解：由，,可得 ， 变形为sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B, 又∵a≠b, ∴2A=π－2B, ∴A+B=. ∴△ABC为直角三角形. 由a2+b2=102和，解得a=6, b=8。 5、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c ，若，则_________________。 6、设锐角三角形的内角的对边分别为，． （1）求的大小； （2）求的取值范围． 专题：求取值范围 1、△ABC中，已知 60°，如果△ABC 两组解，则x的取值范围( C) A． B． C． D． 2、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ B ） A． B． C． D． 3、在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 . 2 答案 ：设由正弦定理得 由锐角得， 又，故，所以 余弦定理 专题：公式应用 1、在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于（ C ） A． 30° B．45° C．60° D．120° 2、在三角形中，，则的大小为（ ） A． B． C． D． 3、长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( B ) A. 90° B. 120° C. 135° D. 150° 4、在△ABC中，150°，则b＝ 7 5、在△ABC中，若，则（ C ） A. B. C. D. 6、在△中，三边长分别为,则的值为（ D ） A．38 B．37 C．36 D．35 7、在△ABC中，已知，则角A为（C ） A． B． C． D． 或 8、在钝角△ABC中，已知，，则最大边的取值范围是 。 9、设a、b、c是的三边长，对任意实数x，有（ B ） A. B. C. D. 9、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程的根，则三角形的另一边长为（ B ） A．52 B． C．16 D．4 10、在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线，那么BC= 9 11、设A、B、C为三角形的三内角,且方程(sinB－sinA)x2+(sinA－sinC)x +(sinC－sinB)=0有等根，那么角B （ D ） A．B>60° B．B≥60° C．B<60° D．B ≤60° (sinA-sinC)²-4（sinB-sinA)(sinC-sinB) =sin²A-2sinAsinC+sin²C-4(sinBsinC-sinAsinC-sin²B+sinAsinB) =(sinA+sinC)²-4sinB(sinA+sinC)+4sin²B=(sinA+sinC-2sinB)² 专题：判断三角形 1、若，则△（ A ） A. 一定是锐角三角形 B. 可能是钝角三角形 C. 一定是等腰三角形 D. 可能是直角三角形 2、 在△ABC中，角均为锐角，且则△ABC的形状是（ C ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3、△ABC中，，，则△ABC一定是 （ D ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 4、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ A ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 由增加的长度决定 5、△ABC中，，则△ABC一定是 （ D ） A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 6、在△ABC中，若，则△ABC是（ B ） A．有一内角为30°的直角三角形 B．等腰直角三角形 C．有一内角为30°的等腰三角形 D．等边三角形 7、 若的内角的对边分别为，且则（ ） A．为等腰三角形 B．为直角三角形 C．为等腰直角三角形 D．为等腰三角形或直角三角形 8、的内角的对边分别为，根据下列条件判断三角形形状： 9、若(a+b+c)(b+c－a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是 （ B ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 10、在△ABC中，已知,那么△ABC一定是 ( B ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 11、在△ABC中，若，则△ABC的形状是（D ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 12在中，，，分别为角，，所对边，若，则此三角形一定是（ C ） A.等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 13、在△ABC中，若，则△ABC的形状是（ B ） A. 直角三角形 B. 等腰或直角三角形 C. 不能确定 D. 等腰三角形 14、已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是（ B ） A． B． C． D． 15、A为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=, 则ΔABC是______三角形. 钝角 16、在△ABC中，已知，，试判断△ABC的形状。 解：由正弦定理得：，，。 所以由可得：，即：。 又已知，所以，所以，即， 因而。故由得：，。所以，△ABC 为等边三角形。 17、已知的三个内角A、B、C所对的边分别为,向量 ，且 . （1）求角A的大小； （2）若，试求当取得最大值时的形状. 9.解：（1）由 又因为 解得分 （Ⅱ）在， ． ， 即, 又由（Ⅰ）知所以，为正三角形 18、在ΔABC中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b2=ac； ①由余弦定理 ， . 由a=c及B=60°可知△ABC为等边三角形. ②b2tanA=a2tanB；②由 ∴A=B或A+B=90°，∴△ABC为等腰△或Rt△. ③sinC=③，由正弦定理：再由余弦定理： . ④ (a2－b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A－B).④由条件变形为 . ∴△ABC是等腰△或Rt△. 专题： 1、在△ABC中，如果，那么等于 。 2、在中，已知，则___________ 3、在△ABC中，，则△ABC的最大内角的度数是 120 4、在△ABC中，，cosC是方程的一个根，求△ABC周长的最小值。 解： 又是方程的一个根 由余弦定理可得： 则： 当时，c最小且 此时 △ABC周长的最小值为 5、在中，角所对的边分别为，且满足，． （I）求的面积； （II）若，求的值． 解 （1）因为，，又由 得， （2）对于，又，或，由余弦定理得 ， 专题：已知面积 1、已知△ABC的面积为，且，则∠A等于 （ D ） A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120° 2、在中，已知角、、所对的边分别是、、，边，且，又的面积为，则____________ 3、已知△中，，，，，，则（ ） A. B ． C． D． 或 4、若△ABC的周长等于20，面积是，A＝60°，则BC边的长是（ C ） A． 5 B．6 C．7 D．8 5、在ΔABC中，若SΔABC= (a2+b2－c2),那么角∠C=______. 6、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程的两个根，且。求：(1)角C的度数； (2)AB的长度。 解：（1） C＝120° （2）由题设： 7、在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b 解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,. 所以 ① 又， ，即 由正弦定理得，故 ② 由①，②解得. 专题：求三角形面积 1、在△ABC中，,,∠A＝30°，则△ABC面积为 （ B ） A． B． C．或 D． 或 2、已知△ABC的三边长，则△ABC的面积为 （ B ） ( A C B 30米 20米 )A． B． C． D． 3、三角形的一边长为14，这条边所对的角为，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为 。 4、在△ABC中，°，°，∠C＝70°，那么△ABC的面积为（ C ） A． B． C． D． 5、 △ABC中，，，，则等于 （ C ） A B C 或 D 或 6、在ABC中，, sinB=.（I）求sinA的值； (II)设AC=，求ABC的面积. 7、、、为的三内角，对边分别为、、，若． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 解：（Ⅰ） 又， ， （Ⅱ）由余弦定理得 即：， ∴ 8、在锐角三角形中，边a、b是方程x2－2x+2=0的两根，角A、B满足：2sin(A+B)－=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。 解：由2sin(A+B)－=0，得sin(A+B)=, ∵△ABC为锐角三角形 ∴A+B=120°, C=60°, 又∵a、b是方程x2－2x+2=0的两根，∴a+b=2, ∴c=, =×2×= 。 a·b=2, ∴c2=a2+b2－2a·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6, ∴c=, =×2×= 。 9、已知△的内角的对边分别为，其中，又向量m，n，m·n=1． （1）若，求的值； （2）若，求△的面积． 解：（1）∵mn ∴ ∴ 由正弦定理得，， ∴， （2）∵，， ，∴， 又∵，∴，∴， ∴． 10、在中，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设，求的面积． 10.解：（Ⅰ）由，得．----2分 ∵，∴-----4分 ．-----6分 （Ⅱ）由，得，------8分 由正弦定理得．-----10分 所以的面积．----12分 11、在中，角所对的边分别为，且满足，． （I）求的面积； （II）若，求的值． 解（Ⅰ） 又，，而，所以，所以的面积为： （Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以 所以 定理应用 1、在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（    ） A. 米 B. 米 C. 200米 D. 200米 2 、海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 (  C  ) A.10 海里    B.5海里     C. 5 海里      D.5 海里 3、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ D ） A． 450a元 B．225a元 C． 150a元 D． 300a元 4、甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ A ） A． 分钟 B．分钟 C．21.5分钟 D．2.15分钟 5、飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B处，此时测得目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为（ A ） A． 5000米 B．5000 米 C．4000米 D． 米 ( A B )6、如图：D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点仰角分别是β,α(α<β),则A点离地面的高度AB等于 （ A ） A． B． ( D C ) C． D． 7、在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？（如图所示） 解： 设游击手能接着球，接球点为B，而游击手从点A跑出，本垒为O点（如图所示）.设从击出球到接着球的时间为t，球速为v，则∠AOB＝15°，OB＝vt，。 在△AOB中，由正弦定理，得，  ∴ 而，即sin∠OAB>1,∴这样的∠OAB不存在，因此，游击手不能接着球. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$