精品解析：广东省佛山市金桂实验高级中学2024-2025学年高一下学期第一次统检（3月）数学试题

金桂实验高级中学2024--2025学年度第二学期高一年级数学科第一次统检试题 （全卷共 4 页，考试时间：120 分钟 ，满分 150 分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 1 2. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，D是AB边上的中点，则=（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且和均为钝角，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 7. 在中，若，则的形状为（    ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 8. 在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列命题不正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若与是共线向量，与 ⃗是共线向量，则与是共线向量 C. 对于非零向量，若，则⊥ D. 若与单位向量，则 10. 在△ABC中，若a＝2bsinA，则B等于（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的部分图象如下图所示，则下列给论中正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 是函数图象的一条对称轴 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 已知，则__________ 13. 若向量，则向量在向量上投影向量坐标为________ 14. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即三个内角所对的边分别为，则的面积.已知在中，，，则面积的最大值为_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.. 15. 已知，． （1）求、、； （2）若与垂直，求实数值. 16. 已知，其中 （1）求； （2）求． 17. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求的值； （2）若，求的值. 18. 某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境.如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上.设. （1）若，求边的长； （2）现要在四边形ABCD内种满郁金香，若，则当何值时，郁金香种植面积最大； （3）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若，则当为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值（单位：百米）. 19. 对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求函数的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为； ①当时，求相伴函数的值域； ②当时，不等式恒成立，求实数的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金桂实验高级中学2024--2025学年度第二学期高一年级数学科第一次统检试题 （全卷共 4 页，考试时间：120 分钟 ，满分 150 分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦的二倍角公式计算即可． 【详解】. 故选：A. 2. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角的余弦公式可得，根据最小正周期的计算公式可求该函数的最小正周期． 【详解】由二倍角的余弦公式可得，故最小正周期为， 故选：B． 【点睛】本题考查二倍角的余弦以及余弦型函数的最小正周期，本题为基础题． 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，，由，得，即， 所以. 故选：B 4. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象左右平移的法则即可得到平移后的图象对应的函数的解析式. 【详解】把函数的图象向右平移个单位长度后， 得到函数的图象. 故选：D. 5. 在中，D是AB边上的中点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可. 【详解】 故选：C 【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单. 6. 已知，且和均为钝角，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据角度范围求解，再求解，结合角度范围判断即可. 【详解】∵和均为钝角， ∴，． ∴． 由和均为钝角，得，∴． 故选：D 7. 在中，若，则的形状为（    ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据正弦定理，将边化为角，再结合两角差的正弦公式，即可判断. 【详解】因为，由正弦定理可得，即， 所以， 所以，所以的形状为等腰三角形. 故选：C． 8. 在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】， 由三点共线可得，且， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 下列命题不正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若与是共线向量，与 ⃗是共线向量，则与是共线向量 C. 对于非零向量，若，则⊥ D. 若与单位向量，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据单位向量的意义可以判定AD的正误；零向量与任何向量都共线，取时可以判定B的正误；两边同时平方结合数量积的运算律可判断C. 【详解】长度为1的所有向量都称之为单位向量，方向可能不同，故A错误; 因为零向量与任何向量都共线，当，与可以为任意向量，故B错误; 因为，则，即， 所以，所以⊥，故C正确; 若与单位向量，则，故D正确. ∴错误的是AB. 故选：AB. 10. 在△ABC中，若a＝2bsinA，则B等于（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】直接利用正弦定理进行边换角即可求解. 【详解】依题意， 因为a＝2bsinA， 由正弦定理，得sinA＝2sinBsinA， 所以sinA·(2sinB－)＝0， 因为0<A<，0<B<，所以sinA≠0， 所以2sinB－＝0，解得sinB＝， 所以B＝或. 故选：AC. 11. 已知函数的部分图象如下图所示，则下列给论中正确的是（ ） A. B. 在区间上单调递增 C. 是函数图象的一条对称轴 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数图象可求得解析式，知A正确；采用代入检验法可知BC正误；由最值可确定，知D正确. 【详解】由图象知：，，； 又的最小正周期，， ，， ，解得：，又， ，； 对于A，，A正确； 对于B，当时，， 当时，单调递减，B错误； 对于C，当时，， 是的一条对称轴，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 已知，则__________ 【答案】##0.75 【解析】 【分析】直接根据二倍角正切公式即可得结果. 【详解】. 故答案为：. 13. 若向量，则向量在向量上的投影向量坐标为________ 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量求解公式进行计算. 【详解】因为向量，则，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 14. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角所对的边分别为，则的面积.已知在中，，，则面积的最大值为_________ 【答案】 【解析】 分析】根据题意，结合余弦定理得，，利用基本不等式得，再根据公式求解即可. 【详解】因为， 又，则， 所以（当且仅当时取等号）. 则， 所以面积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.. 15. 已知，． （1）求、、； （2）若与垂直，求实数的值. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）由向量模长和数量积的坐标运算直接求解即可； （2）根据向量垂直的坐标表示可直接构造方程求解. 【小问1详解】 ，， ，， . 【小问2详解】 ，，又与垂直， ，解得：. 16. 已知，其中 （1）求； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，然后利用两角差的余弦代入即可． （2）根据，利用倍角公式算出代入即可求解． 【小问1详解】 由题意得： ，， ， 【小问2详解】 ，， ， . 17. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理结合条件即可得到结果； （2）根据题意，可得，然后再由正弦定理即可得到结果. 【小问1详解】 在中，. 由余弦定理， . 【小问2详解】 由（1）知，. ， 又 18. 某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境.如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上.设. （1）若，求边的长； （2）现要在四边形ABCD内种满郁金香，若，则当何值时，郁金香种植面积最大； （3）为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若，则当为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值（单位：百米）. 【答案】（1） （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得出的长. （2）四边形，得出，进而求出结果. （3）分别在和中，用角θ表示出线段和线段的长度，求出最值，即可解出． 【小问1详解】 由题意知,,在中，由余弦定理：，解得. 【小问2详解】 由题意可知四边形面积 ，当时，四边形面积最大. 【小问3详解】 在三角形中，由余弦定理可得，， ∴， 在中，， ， ∴当时，取最大值（百米）． 19. 对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求函数的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为； ①当时，求相伴函数的值域； ②当时，不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1） （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）直接根据两角差的正弦公式以及诱导公式化简即可得结果； （2）根据定义求出相伴函数，①直接根据正弦函数的性质即可得结果；②分为和以及三种情形结合正切函数的性质即可得结果. 【小问1详解】 ， ∴由题可知：函数的相伴特征向量的坐标. 【小问2详解】 向量的相伴函数. ①因为，所以， 所以在上单调递增，所以， 故相伴函数的值域为. ②当时，不等式 即可化为恒成立. ，. ，即时，， 恒成立，所以， ，， 则，， 当，即时，， 恒成立，即， ， 则，， 当时，， 对任意实数，不等式都成立， 综上可知的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $