精品解析：云南省大理白族自治州祥云县初中教育第二集团2024-2025学年下学期3月联考九年级数学试题

祥云县初中教育第二集团2025年3月联考 九年级数学 （全卷三个大题，共27个小题，共4页；满分100分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 负数的概念最早出现在中国古代数学著作《九章算术》中，如果把零上记为“”，那么零下应记为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若零上由正数表示，那么零下就用负数表示，据此可得答案． 【详解】∵零上记为“”，那么零下应记为． 故选：B． 2. 2024年3月12日是我国第46个植树节，昆明市计划实施全民义务植树11500000株．数据11500000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题的关键． 用科学记数法表示较大数时的形式为 ，其中 ，为正整数，确定的值时，把小数点放在原数从左起第一个不是的数字后面即可，确定的值时，比这个数的整数位数小，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，幂的乘方，根据有关知识点逐个计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，选项错误； B、，原计算错误，选项不符合题意； C、，原计算错误，选项不符合题意； D、，原计算正确，选项符合题意； 故选：D． 4. 如图，直线a、b被直线c所截，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是求出． 【详解】解：如图， 由题意可知：， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 5. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键； 在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．设直角边，由三角函数的定义可得的值，由勾股定理可得的值；最后由三角函数的定义可得的值． 【详解】解：在中，， 设直角边，另一个直角边为b，则斜边． 根据勾股定理得． 根据三角函数的定义得：． 故选：A． 6. 有一组单项式依次为，根据它们的规律，第100个单项式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了单项式规律题，算术平方根，理解题意找到式子的规律是解题的关键．根据题意，可以发现第个单项式的规律为，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，第1个单项式为， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， 第5个单项式为， …… 第个单项式为， 第100个单项式是． 故选：C． 7. 在“绿美湘桥”种植活动中，某校八年级7个班同学种植树苗棵数依次为：77，80，79，，，，．这组数据的中位数是（ ） A. 77 B. 79 C. 79.5 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数． 根据按大小排列的数组中间的一个数据或中间两个数据的平均数是中位数计算即可． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为：77，77，79，79，80，80，80， 中间数据是79， 故中位数是79． 故选：B． 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的值可以为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系是解题的关键； 根据一元二次方程根与判别式的关系可求出的取值范围，然后解不等式即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 观察只有A选项的数字符合， 故选：A． 9. 如图，内接于是的直径，是上一点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，以及直角三角形的性质，利用了转化的思想，熟练掌握圆周角定理是解本题的关键．由同弧所对的圆周角相等，得，再根据直径所对的圆周角为直角，得，然后由直角三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：是所对的圆周角， ， 是的直径， ， 在中，， 故选B． 10. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲，乙再经过多少日相逢？设甲，乙再经过日相逢，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设长安到齐国的总路程为单位， ∵甲走完全程需要日，乙走完全程需要日， ∴甲的速度为，乙的速度为， 设甲乙再经过日相逢，则甲走的路程为，乙一共走了日，乙的总路程为， ∵相遇时甲乙的路程和等于总路程， ∴． 11. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：选项A、B、D中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项C中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 12. 一个凸多边形的内角和等于540°，则这个多边形的边数是（   ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】n边形的内角和公式为（n-2）180°，由此列方程求边数n． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则（n-2）180°=540°， 解得n=5， 故选A. 【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 13. 已知反比例函数的图像经过，，中的两点（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，把，，分别代入求得的值，即可得到结论．解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式． 【详解】解：把，，分别代入所得的值分别为： ，，， ∴反比例函数经过，两点． 故选：B． 14. 如图，中，分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线分别交、于点、，连接，若，则的度数为（ ） A. 26° B. 28° C. 32° D. 36° 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知FH是AB的垂直平分线，于是可得，由等腰三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可求出∠CDB的度数，然后根据直角三角形的性质即可求出答案. 【详解】解：由尺规作图可知FH是AB的垂直平分线，∴，， ，. 故选：A. 【点睛】错因分析：1.不能判断出本题所给作法是线段的垂直平分线；2.没有掌握线段垂直平分线的性质. 本题考查了线段垂直平分线的作图和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质和直角三角形的性质等知识，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键. 15. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，由可得，把转化为即可代入求值，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式分解因式，即可． 【详解】解：， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 17. 代数式中x的取值范围是 ________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴且； 故答案为：且． 18. 已知抛物线，且经过点，，试比较和的大小：____________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要考查学生的观察能力和分析能力，本题比较典型，但是一道比较容易出错的题目． 比较两个点离直线的远近即可得到、的大小关系． 【详解】∵ ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， ∵ ∴离对称轴较近， ∴． 故答案为：． 19. 圆锥在生活中随处可见，例如：陀螺、漏斗、屋顶、生日帽等．如图是一个半径为2，圆心角为的扇形，要围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算．设这个圆锥的底面圆半径为r，利用弧长公式得到并解关于r的方程即可． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为r 根据题意得 解得 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数混合运算，先进行零次幂、负指数幂、特殊角的三角函数、去绝对值及二次根式化简运算，再进行加减运算，即可求解；掌握，()，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 21. 如图，，，，点在线段上，求证：． 【答案】证明：∵ ∴ 又∵，， ∴ ∴． 【解析】 【分析】首先根据平行线的性质得到，然后证明出，即可得到． 【详解】略 22. 中秋节被列入首批国家级非物质文化遗产名录，每到这一天，人们都有中秋之夜饮宴赏月的习俗．临近中秋节，某公司准备购买、两种礼盒给员工发放，已知花费810元购买种礼盒的数量与花费720元购买种礼盒的数量相同，且每盒种礼盒的售价比每盒种礼盒的售价贵10元，求每盒种礼盒和每盒种礼盒的售价分别为多少元？ 【答案】每盒种礼盒和每盒种礼盒的售价分别为元、元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：花费810元购买种礼盒的数量花费720元购买种礼盒的数量，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设每盒种礼盒的售价为元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义； （元）， 答：每盒种礼盒和每盒种礼盒的售价分别为元、元． 23. 为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元）与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元． （1）当时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？ 【答案】（1） （2）甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植的总费用w（元）最少，最少5625元 【解析】 【分析】（1）根据题意分当时和当时，分别求解即可得到解答； （2）设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为，根据题意求出a的范围，再结合题意分情况讨论即可． 【小问1详解】 当时，， 当时，设， 把代入得：， 解得， ∴， ∴； 【小问2详解】 设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为， ∵甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍， ∴ ， 解得， 当时， ， ∵， ∴当时，w最小，最小为（元）， 当时， ， ∵，对称轴为直线，且， ∴时，w取最小值，最小为（元）， ∵， ∴当时，w取最小值，最小为5625元， 此时， 答：甲种花卉种植面积为，乙种花卉种植面积为，才能使种植的总费用w（元）最少，最少5625元． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的应用和一元一次不等式组的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 24. 如图，甲、乙是两个可以自由转动的带指针的转盘，甲被分成面积相等的5个扇形，分别标有数字1，3，5，6，8；乙被分成面积相等的4个扇形，分别标有数字2，4，7，9．规则：小明转动甲转盘，小丁转动乙转盘，将两个转盘指针指向的数字之和进行大小比较，若数字之和大于10，则小明获胜；小于10，则小丁获胜；等于10，则平局．（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）． （1）小明随机转动甲转盘一次，指针所指的数字是偶数的概率为___________； （2）若小明、小丁按照上述规则用这两个转盘做游戏，请用列表或画树状图的方法，判断该游戏是否公平． 【答案】（1） （2）游戏公平 【解析】 【分析】本题考查的是求简单事件的概率，游戏公平性的判断． （1）根据偶数可能的次数除以总次数即可； （2）列表求出所有的可能情况，再分别求出两人获胜的概率，最后比较大小即可． 【小问1详解】 解：1，3，5，6，8数字中，偶数有2个， ∴小明随机转动甲转盘一次，指针所指的数字是偶数的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 和 1 3 5 6 8 2 3 5 7 8 10 4 5 7 9 10 12 7 8 10 12 13 15 9 10 12 14 15 17 ∴共有种结果，其中数字之和大于10有8种，小于10有8种，等于10有4种， ∴小明获胜概率为，小丁获胜概率为， ∴该游戏公平． 25. 如图，在中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点作于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形； （2）的长为 【解析】 【分析】（1）证，得，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再由等腰三角形的性质得，则，进而由勾股定理得，然后由面积法求出的长即可． 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的长为． 26. 已知抛物线与轴交于点，当时，该函数有最小值，设是抛物线与轴交点的横坐标． （1）求、的值； （2）求证：． 【答案】（1）， （2） 证明：由（1）得：， 是抛物线与轴交点的横坐标， ， ， ， ， ， 故． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴交点问题，整体代换； （1）由二次函数的性质得结合的坐标即可求解； （2）二次函数与轴交点得，化为，，整体代入进行降次运算，即可求解；能熟练利用二次函数的性质及整体代换进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，该函数有最小值， ， 解得：， 当时，， 故，； 【小问2详解】 略 27. 如图，是的外接圆，为的直径，的平分线交于点，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：； （3）若，求的长（用含m，n的代数式表示）． 【答案】（1） 连接，如图， ∵为的直径， ∴． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵为半径， ∴直线是的切线； （2） ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴． ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，角平分线的定义得到，再利用平行线的性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用角平分线的定义，平行线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可； （3）利用相似三角形的判定与性质得到，再利用（2）的结论和等腰直角三角形的性质，勾股定理求得，最后利用算术平方根的意义解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 由（2）知：为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，圆的切线的判定定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祥云县初中教育第二集团2025年3月联考 九年级数学 （全卷三个大题，共27个小题，共4页；满分100分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 负数的概念最早出现在中国古代数学著作《九章算术》中，如果把零上记为“”，那么零下应记为（ ） A. B. C. D. 2. 2024年3月12日是我国第46个植树节，昆明市计划实施全民义务植树11500000株．数据11500000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线a、b被直线c所截，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 有一组单项式依次为，根据它们的规律，第100个单项式为（ ） A. B. C. D. 7. 在“绿美湘桥”种植活动中，某校八年级7个班同学种植树苗棵数依次为：77，80，79，，，，．这组数据的中位数是（ ） A. 77 B. 79 C. 79.5 D. 80 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数的值可以为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，内接于是的直径，是上一点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，日到齐国；乙从齐国出发，日到长安．现乙先出发日，甲才从长安出发．问甲，乙再经过多少日相逢？设甲，乙再经过日相逢，可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 12. 一个凸多边形的内角和等于540°，则这个多边形的边数是（   ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 13. 已知反比例函数的图像经过，，中的两点（　　） A. B. C. D. 14. 如图，中，分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线分别交、于点、，连接，若，则的度数为（ ） A. 26° B. 28° C. 32° D. 36° 15. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：__________． 17. 代数式中x的取值范围是 ________． 18. 已知抛物线，且经过点，，试比较和的大小：____________（填“”、“”或“”）． 19. 圆锥在生活中随处可见，例如：陀螺、漏斗、屋顶、生日帽等．如图是一个半径为2，圆心角为的扇形，要围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，，，，点在线段上，求证：． 22. 中秋节被列入首批国家级非物质文化遗产名录，每到这一天，人们都有中秋之夜饮宴赏月的习俗．临近中秋节，某公司准备购买、两种礼盒给员工发放，已知花费810元购买种礼盒的数量与花费720元购买种礼盒的数量相同，且每盒种礼盒的售价比每盒种礼盒的售价贵10元，求每盒种礼盒和每盒种礼盒的售价分别为多少元？ 23. 为增强民众生活幸福感，市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区新建一小型活动广场，计划在的绿化带上种植甲乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用y（元）与种植面积之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为15元． （1）当时，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的3倍时．如何分配甲乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用w（元）最少？最少是多少元？ 24. 如图，甲、乙是两个可以自由转动的带指针的转盘，甲被分成面积相等的5个扇形，分别标有数字1，3，5，6，8；乙被分成面积相等的4个扇形，分别标有数字2，4，7，9．规则：小明转动甲转盘，小丁转动乙转盘，将两个转盘指针指向的数字之和进行大小比较，若数字之和大于10，则小明获胜；小于10，则小丁获胜；等于10，则平局．（若指针恰好停在分割线上，则重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）． （1）小明随机转动甲转盘一次，指针所指的数字是偶数的概率为___________； （2）若小明、小丁按照上述规则用这两个转盘做游戏，请用列表或画树状图的方法，判断该游戏是否公平． 25. 如图，在中，，于点，延长到点，使．过点作交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）过点作于点，若，，求的长． 26. 已知抛物线与轴交于点，当时，该函数有最小值，设是抛物线与轴交点的横坐标． （1）求、的值； （2）求证：． 27. 如图，是的外接圆，为的直径，的平分线交于点，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：直线是的切线； （2）求证：； （3）若，求的长（用含m，n的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $