辽宁省普通高中2024-2025学年高一下学期4月月考数学模拟试题（3）

高一数学答题卡 第 1页（共 6页） 高一数学答题卡 第 2页（共 6页） 高一数学答题卡 第 3页（共 6页） 辽宁省普通高中 2024-2025学年下学期期 4月月考调研试题（3） 高一数学答题卡 姓 名 准考证号 填 涂 要 求 正确填涂 错误填涂示例 缺考考生由监考员 用 2B 铅笔填涂右侧 缺考标记 缺考标记 注 意 事 项 1.首先，检查题卡有无破损及印刷问题，若有问题请及时更换。用 0.5mm黑色字迹签字笔在 规定位置填写姓名、准考证号。核对条形码上姓名、准考证号是否正确，并贴好条形码。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5mm黑色字迹签字笔作答，字体工整、 笔迹清楚。 3.选择题修改时请用橡皮擦净后再作答；非选择题在对应题号答题区内作答，超出答题区域 的答案无效；选择题和非选择题在试卷、草稿纸上作答无效。 4.保持卡面清洁，不可折叠、污损。题卡上禁用涂改液、修正带和胶带纸。 第一部分 选择题（共 58分） （须用 2B铅笔填涂） 第二部分 非选择题（共 92分） （须用 0.5mm黑色字迹签字笔书写） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 条 形 码 粘 贴 处 由监考员负责粘贴 三、填空题：每小题 5分，共 15分． 12． ． 13． ． 14． ． 四、解答题（共 77分） 15．（本小题满分 13分） 1． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 （续 15题） 16．（本小题满分 15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 17．（本小题满分 15分） ·监制 高一数学答题卡 第 4页（共 6页） 高一数学答题卡 第 5页（共 6页） 高一数学答题卡 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 18．（本小题满分 17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出边框的答案无效 19．（本小题满分 17分） ·监制 机密★启用前 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期4月阶段考试调研试题（3） 高一数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 数学调研组 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 数学调研组 命题范围：【（人教B版）必修三第七章、第八章】三角函数、向量的数量积与三角恒等变换 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为 （ ） A． B． C． D． 2．已知，则 （ ） A． B． C． D． 3．若角的终边经过点，则 （ ） A．2 B． C． D． 4．函数的周期，振幅，初相分别是 （ ） A． B． C． D． 5．已知，，，若，则 （ ） A． B． C． D． 6．已知关于的不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 7．在直角梯形中，，，，，，为线段（含端点）上的一个动点．设，，对于函数，下列描述正确的是 （ ） A．的最大值和无关 B．的最小值和无关 C．的值域和无关 D．在其定义域上的单调性和无关 8．已知，，是非零向量，与的夹角为，，，则，的最小值为 （ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，，，下列结论正确的是 （ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，均为锐角，则 10．已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是 （ ） A．函数为偶函数 B． C． D．函数的图象的对称轴方程为 11．若函数，则下列说法正确的是 （ ） A．若，则函数的最大值为2 B．若，则函数为奇函数 C．存在，使得 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，若对任意实数，点P都满足，则的最小值为 ． 13．将函数（且）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，若所得函数的图象与函数的图象重合，则 . 14．已知函数，满足的的最小值为，若函数在区间内有零点，无最值，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 函数的部分图象如图所示. （1）求、及图中的值； （2）设，求函数在区间上的最大值和最小值 16．（本小题满分15分） 已知函数. （1）当，且的最大值为，求的值； （2）方程在上的两解分别为、，求的值. 17．（本小题满分15分） 已知点A, B, C, D的坐标分别为A(3,0) , B(0,3) , C(cosα,sinα),，α∈(,). （1）若，求角α的值； （2）若，求的值. （3）若在定义域α∈(,)有最小值，求的值. 18．（本小题满分17分） 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标． （1）若，求． （2）若，求在上的投影向量斜坐标． （3）若，，，求的最小值． 19．（本小题满分17分） 已知函数. （1）求的值域； （2）若，求的取值范围； （3）解关于的方程：. 高一数学试卷 第 5 页（共 4 页） 高一数学试卷 第 6 页（共 4 页） 高一数学试卷 第 5 页（共 4 页） 高一数学试卷 第 6 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 机密★启用前 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期4月阶段考试调研试题（3） 高一数学 命题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 数学调研组 审题人：辽宁省鸿飞教学研究中心 数学调研组 命题范围：【（人教B版）必修三第七章、第八章】三角函数、向量的数量积与三角恒等变换 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为 （ ） A． B． C． D． 2．已知，则 （ ） A． B． C． D． 3．若角的终边经过点，则 （ ） A．2 B． C． D． 4．函数的周期，振幅，初相分别是 （ ） A． B． C． D． 5．已知，，，若，则 （ ） A． B． C． D． 6．已知关于的不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 7．在直角梯形中，，，，，，为线段（含端点）上的一个动点．设，，对于函数，下列描述正确的是 （ ） A．的最大值和无关 B．的最小值和无关 C．的值域和无关 D．在其定义域上的单调性和无关 8．已知，，是非零向量，与的夹角为，，，则，的最小值为 （ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，，，下列结论正确的是 （ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，且，均为锐角，则 10．已知函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是 （ ） A．函数为偶函数 B． C． D．函数的图象的对称轴方程为 11．若函数，则下列说法正确的是 （ ） A．若，则函数的最大值为2 B．若，则函数为奇函数 C．存在，使得 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，若对任意实数，点P都满足，则的最小值为 ． 13．将函数（且）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，若所得函数的图象与函数的图象重合，则 . 14．已知函数，满足的的最小值为，若函数在区间内有零点，无最值，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 函数的部分图象如图所示. （1）求、及图中的值； （2）设，求函数在区间上的最大值和最小值 16．（本小题满分15分） 已知函数. （1）当，且的最大值为，求的值； （2）方程在上的两解分别为、，求的值. 17．（本小题满分15分） 已知点A, B, C, D的坐标分别为A(3,0) , B(0,3) , C(cosα,sinα),，α∈(,). （1）若，求角α的值； （2）若，求的值. （3）若在定义域α∈(,)有最小值，求的值. 18．（本小题满分17分） 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标． （1）若，求． （2）若，求在上的投影向量斜坐标． （3）若，，，求的最小值． 19．（本小题满分17分） 已知函数. （1）求的值域； （2）若，求的取值范围； （3）解关于的方程：. 高一数学试卷 第 5 页（共 4 页） 高一数学试卷 第 6 页（共 4 页） 高一数学试卷 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省普通高中2024-2025学年下学期4月阶段考试调研试题（3） 高一数学 答案解析与评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C C B C A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 ABD ACD ACD 1．A 【解析】投影即为，利用数量积运算即可得到结论. 【详解】设向量与向量的夹角为， 由题意，得，， 所以，向量在向量方向上的投影为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题. 2．B 【解析】依题意原式为，再利用诱导公式化简计算可得； 【详解】解：因为，所以 故选：B 3．C 【分析】利用诱导公式化简，再由三角函数的定义求出，即可得解. 【详解】由诱导公式可得， ， 又角的终边经过点，所以， 所以. 故选：C. 4．C 【分析】 本题的函数解析式已知，由其形式观察出振幅，初相，再由公式求出函数的周期，对照四个选项得出正确选项 【详解】 解：函数 振幅是2，初相是 又的系数是，故函数的最小正周期是 对照四个选项知应选 故选：． 【点睛】 本题考查中参数的物理意义，解题的关键是理解，，的意义，根据解析式及相关公式求出此三个参数的值．属于基础题． 5．B 【分析】先利用以及倍角公式求出，进而根据可得，再代入计算即可. 【详解】，，， , 解得或，又， 则，， 故选：B. 6．C 【分析】将不等式恒成立问题转化成判断函数与的符号问题，再利用二次函数和三角函数性质即可得出结论. 【详解】根据题意可得对于函数， 当时，即时，，此时满足恒成立， 因此，只需恒成立即可，因此恒成立； 又易知，所以可得， 因此可得； 当时，即或时，此时， 若，可得恒成立， 因此只需满足在上恒成立，显然不合题意； 若，可得恒成立， 因此只需满足在上恒成立， 不妨取，可得，显然不合题意； 综上可知，实数的取值范围是. 故选：C 【点睛】方法点睛：解决三角不等式往往利用三角函数有界性，并根据恒成立条件限定出含参数不等式范围，即可求得结论. 7．A 【解析】建立合适的直角坐标,根据向量的坐标表示和平面向量数量积的坐标表示建立的函数关系式,利用二次函数的性质，分和两种情况通过判断单调性求时函数最值即可 【详解】建立直角坐标系如图所示: 由题意知,， 因为,,所以, 设点则,解得,即点为, 所以,, 由平面向量数量积的坐标表示可得, ,， 即, 所以此函数的对称轴为,因为, 当时,,所以函数在区间上单调递减, 所以当时,函数有最小值为,当时,函数有最大值为; 当时,,由二次函数的单调性知, 函数在上单调递减,在上单调递增; 所以当时,函数有最小值为, 因为,所以函数的最大值为; 综上可知,无论为何值,函数的最大值均为. 故选:A 【点睛】本题考查平面向量数量积的运算性质、二次函数的单调性和最值；考查分类讨论思想、逻辑推理能力和运算求解能力;属于综合型、难度较大型试题. 8．D 【分析】首先设出几何图形，确定给定向量的位置，结合给定条件得到，再对的取值进行讨论，求解最值即可. 【详解】设，，，所以， 因为，所以，即， 因为与的夹角为，所以， 因为，，， 所以，故， 如图，取中点，作，作，连接， 因为，所以，故，， 由向量中线定理得， 所以， 故， ， ， 因为，所以， 因为，所以，得到， 故， 由可得， 故 ， 即，解得，故， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上， 由题意得，而， 当且仅当时，， 此时， 由三角形边长性质得，当且仅当共线时取等， 在直角三角形中，所以，故， 代入数据得，解得， 此时，即的最小值是， 当时，，此时的终点不在， 通过平移，使其终点到达，同时设起点为， 此时三点共线，所以， 所以， 由三角形边长性质得，当且仅当共线时取等， 在直角三角形中，所以，故， 代入数据得，解得， 此时，即的最小值是， 综上，的最小值是，故D正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是作出图形，利用给定条件得到，然后对参数进行分类讨论，得到所要求的最值即可． 9．ABD 【分析】利用平面向量的坐标表示及诱导公式、同角三角函数的关系、余弦的和角公式计算即可. 【详解】由题意可知：，，， 对于A项，若，则，，故A对； 对于B项，若，则，故B对； 对于C项，易知：，， 若，则， 故C错； 对于D项，，则， 则，平方相加得，∴，故D对， 故选：ABD. 10．ACD 【分析】整理可得，根据平移整理得，结合余弦函数得对称轴求解． 【详解】对于A，由已知得， 由，得为偶函数，故A正确； 对于B，C，可得，故C正确； 对于D，令，，可得，故D正确. 故选：ACD. 11．ACD 【分析】对于A：整理可得，结合二次函数求最值；对于B：举反例说明即可；对于C：取，代入检验即可；对于D：根据题意结合诱导公式可得，进而可得，运算求解即可. 【详解】因为，可知的定义域为， 对于选项A：当时，， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以函数的最大值为2，故A正确； 对于选项B：当时，则， 令，则，可得， 所以函数不为奇函数，故B错误； 对于选项C：当时，，则， 且对任意，则， 所以，故C正确． 对于选项D：因为， 若， 可得， 则，解得，故D正确． 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：对于BC：对于直接说明比较麻烦的问题时，常取特值，举例说明即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 【分析】设，用坐标表示出已知不等式，得的关系，然后计算，利用不等式性质得最小值． 【详解】设，， 则，所以对任意实数恒成立，所以，即或， ．当时取等号． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查考查向量的数量积的最值．解题关键是设，用坐标表示出已知不等式，得的不等关系，从而可计算出，然后由不等式性质得最值． 13． 【分析】先求出变换之后的函数解析式，然后根据两函数为同一函数，结合诱导公式可得，然后可解. 【详解】将函数（且）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标保持不变，所得图象的函数为， 所以与为同一函数， 故，即 所以 故答案为： 14． 【分析】根据三角函数图象性质可得，再根据函数在区间内有零点，无最值限定出不等式，再根据的范围可得结果. 【详解】因为函数，且满足的的最小值为， 所以函数的最小正周期，所以，解得， 即可得， 因为，所以. 因为函数在区间内有零点，无最值， 所以，解得， 即， 当时，，不满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据满足的的最小值为求出，再结合正弦函数图象性质由零点和最值个数限定出不等式可解得的取值范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） （1），，； （2），. 【分析】（1）由可得出，结合可求得的值，由结合可求得的值，可得出函数的解析式，再由以及可求得的值； （2）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，由可求得的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求得函数在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1）由题图得，，，， 又，，得，， 又，得，. 又，且，， ，得， 综上所述: ，，； （2） ， ，， 所以当时，；当时，. 【点睛】本题考查利用图象求正弦型函数解析式中的参数，同时也考查了正弦型函数在区间上最值的计算，考查计算能力，属于中等题. 16．（本小题满分15分） （1）； （2）. 【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，令，可得，再令，可将问题转化为二次函数在上的最大值为，利用二次函数的基本性质可求出实数的值； （2）设，由题意求得，，，由两角差的余弦公式可求出的值，求出的取值范围，进而利用二倍角余弦公式可求出的值. 【详解】（1）， 当时，令，则，则. ， 令，令，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线. ①当时，二次函数在区间上单调递减， 则，不合乎题意； ②当时，二次函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则，解得或（舍）； ③当时，二次函数在区间上单调递增， 则，解得（舍）. 综上所述，； （2）设，，则， 由于正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 由，得， 因为方程在上的两解分别为、， 则，必有，， 所以，，同理， ， 由于，且，，则， 由，可得. 【点睛】本题考查利用二次型正弦函数的最值求参数，同时也考查了由正弦型函数的解求三角函数值，考查计算能力，属于中等题. 17．（本小题满分15分） （1）； （2） ； （3） 【分析】（1）利用向量的坐标运算与向量的模，可求得sinα＝cosα，从而可求得角α的值； （2）由可求得sinα+cosα＝，从而可求得sin2α，而 可化简为2sinαcosα，从而可得答案； （3）依题意记y＝f（α）＝﹣2cos2α﹣tsinα﹣t2+2，令x＝sinα，结合题意可求得y＝2x2﹣tx﹣t2，x∈（﹣1，1），利用二次函数的单调性与最值即可求得t的值． 【详解】（1）∵＝（cosα﹣3，sinα），＝（cosα，sinα﹣3）， ∴||＝＝， ||＝＝ 由||＝||得sinα＝cosα，又α∈（，）， ∴α＝ （2）由•＝﹣1得（cosα﹣3）cosα+sinα（sinα﹣3）＝﹣1．∴sinα+cosα＝，① 又＝＝2sinαcosα． 由①式两边平方得1+2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝． ∴＝﹣． （3）依题意记y＝f（α）＝﹣2cos2α﹣tsinα﹣t2+2 ＝﹣2（1﹣sin2α）﹣tsinα﹣t2+2 ＝2sin2α﹣tsinα﹣t2 令x＝sinα，∵α∈（，），∴sinα∈（﹣1，1）， ∴y＝2x2﹣tx﹣t2，x∈（﹣1，1）,其对称轴为x＝， ∵y＝2x2﹣tx﹣t2在x∈（﹣1，1）上存在最小值，∴对称轴x＝∈（﹣1，1）， ∴t∈（﹣4，4）,当且仅当x＝时，y＝2x2﹣tx﹣t2取最小值，为ymin＝2×﹣t•﹣t2＝﹣t2＝﹣1， ∴t＝± 【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查平面向量的坐标运算，考查二次函数性质的综合应用，属于中档题． 18．（本小题满分17分） （1）； （2）； （3）. 【分析】（1）由题可得，利用向量共线的条件即得； （2）由题可知，进而可得，，然后利用投影向量为的概念即得； （3）由题可得，然后利用向量夹角公式可得，再结合条件及函数的单调性即得. 【详解】（1）∵， ∴， ∴，即； （2）∵， ∴， ∴， ， ， ∴在上的投影向量为， 即在上的投影向量斜坐标为； （3）∵， ∴，， ∴， 又，， ∴，，， ∴， 令，则，， 又，在上单调递增， ∴，即的最小值为. 19．（本小题满分17分） （1）； （2）； （3）或 【分析】（1）将代入并利用二倍角公式化简计算可得，再由三角函数值域计算可得结果； （2）由表达式结构特征可构造函数，再利用函数奇偶性和单调性解不等式即可； （3）由方程可判断；对和进行分类讨论，可求得方程的解. 【详解】（1）易知； 因为，所以的值域为， （2）若，即； 整理得， 令函数，易知函数为奇函数，且在上单调递增， 由可得； 化简得，解得； 故的取值范围为； （3）解关于的方程，即解方程； 因为； 所以； 因此问题等价于解方程，且； 当时， 若，则，方程无解； 若，则，方程无解； 当时， 经检验方程的解是或. 【点睛】方法点睛：求解第（2）问不等式时，可根据不等式结构构造函数并利用函数奇偶性以及单调性，再结合三角函数值域及其单调性求解即可. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$