北京市2025年九年级中考数学模拟训练试卷

北京市2025年九年级中考数学模拟训练试卷 一、选择题：本题共8题，每题2分，共16分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1． 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D．   2.若点A(−1，a)，B(1，b)，C(2，c)在反比例函数的图象上， 则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3 .“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”， 小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑” 四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同）， 让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张， 则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（   ） A． B． C． D． 4 . 我们知道四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中， 边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O， 固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处， 则点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5 . 2025年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现： 2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人． 则1艘大船可以满载游客的人数为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 6. 已知：中，是中线，点在上，且，．则的值为（   ） A． B． C． D． 7 . 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程， 它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥， 其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度， 站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处， 此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（   ）      A．80米 B．米 C．160米 D．米 8． 如图，已知矩形纸片，其中，现将纸片进行如下操作： 第一步，如图①将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图②； 第二步，再将图②中的纸片沿对角线折叠，展开后如图③； 第三步，将图③中的纸片沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，如图④． 则的长为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共8个小题．每小题2分，共16分．把答案填在题中横线上．） 9．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 10．因式分解： ． 11．一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个， 摸到白球的概率为，则白球的个数为___________ 12．如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°， 假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了__________    13． 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴， 小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F， 则的长为 ． 14．如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为 cm（结果保留π）． 15 .在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），AB=，点A在y轴上，反比例函数经过点B，求反比例函数解析式 ． 16 . 如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， 然后把再对折到，使点A落在上的点G处，若，则的长度为 ． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分， 第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．计算：． 18 . 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 19．先化简，再求值：，其中 20 . 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：    (1)△ABE≌△CDF； (2)四边形AECF是平行四边形． 21 .“4G改变生活，5G改变社会”，不一样的5G手机给人们带来了全新的体验， 某营业厅现有A，B两种型号的5G手机出售，售出1部A型、1部B型手机共获利600元， 售出3部A型、2部B型手机共获利1400元． (1) 求A，B两种型号的手机每部利润各是多少元； (2) 某营业厅再次购进A，B两种型号手机共20部，其中B型手机的数量不超过A型手机数量的， 请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出最大利润． 22． 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到， 且经过点． (1) 求k，b的值； (2) 当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值， 直接写出m的取值范围． 23． 为弘扬劳动精神，提升劳动技能，某校开展了“劳动教育”主题活动，活动结束后， 随机抽取20名学生每周的劳动时间情况进行了调查统计，并将统计结果进行收集、整理和分析， 给出部分信息如下： 收集数据： 学生每周参与劳动时间t（单位：分钟）：，． 整理数据： 列频数分布表 分组 范围 划记 频数 A 一 1 B 正 5 C 7 D 4 E 画频数分布直方图 根据以上信息，解答下列问题： (1)请把上面的频数分布表中的空白处和频数分布直方图补充完整； (2)在本次调查中，众数为______分钟，中位数为______分钟； (3)若该年级有名学生，试估算调查中每周劳动时间不低于1小时的人数； (4)若要求学生每周劳动时间不低于1小时，请根据以上信息提出一条合理化建议． 24．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且， 过点E作于点F，延长和的延长线交与点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 25． 图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图， 其中支杆，可绕支点调节角度，为手机的支撑面，， 支点A为的中点，且． (1)若支杆与桌面的夹角，求支点到桌面的距离． (2)在（1）的条件下，若支杆与的夹角，求支撑面下端到桌面的距离． 26．【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形． 那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图像的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第 　 　象限内的公共点坐标． （2）画出函数图像 ①画函数的图像； ②在同一直角坐标系中直接画出的图像， 则的图像可以看成是由的图像向右平移_____________个单位长度得到． （3）研究函数图像：平移直线，观察两函数的图像； ①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时， 公共点的坐标为_________，周长m的值为___________； ②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况？ 请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为10的矩形的周长m的取值范围为________． 27．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口，灌溉车到l的离为d（单位：m）．若，． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的标； (3)若，灌溉车行驶时喷出的水________（填“能”与“不能”）浇灌到整个绿化带； (4)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 28.（1）【问题发现】如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线． 猜想线段、之间的数量关系为______；______； （2）【类比探究】 如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段、之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数； （3）【拓展延伸】 如图3所示，在中，，，，为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市2025年九年级中考数学模拟训练试卷解答 一、选择题：本题共8题，每题2分，共16分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1． 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D．   【答案】A 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选A． 2.若点A(−1，a)，B(1，b)，C(2，c)在反比例函数的图象上， 则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出a、b、c的值，判断即可； 【详解】∵点A(−1，a)，B(1，b)，C(2，c)在反比例函数的图象上， ∴，，， ∵， ∴ 故选：C． 3 .“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”， 小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑” 四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同）， 让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张， 则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种， 故其概率为：． 故选：C． 4 . 我们知道四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中， 边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O， 固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处， 则点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：由已知得， ∵AB的中点是坐标原点O， ∴， ∴， ，， ． 故选：A． 5 . 2025年元旦期间，小华和家人到汾河公园景区游玩，湖边有大小两种游船，小华发现： 2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人． 则1艘大船可以满载游客的人数为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人，由题意：2艘大船与3艘小船一次共可以满载游客人，1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客人．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设1艘大船可以满载游客x人，1艘小船可以满载游客y人， 依题意得：， 解得：， 即1艘大船可以满载游客的人数为人， 故选：D 6. 已知：中，是中线，点在上，且，．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得出，则，进而证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵中，是中线， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ， 故选：B． 7 .港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程， 它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥， 其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学生为了测量该主塔的高度， 站在B处看塔顶A，仰角为，然后向后走160米（米），到达C处， 此时看塔顶A，仰角为，则该主塔的高度是（   ）      A．80米 B．米 C．160米 D．米 【答案】B 【分析】过点A作于点D，先根据三角形的外角性质可得，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：如图，过点A作于点D，    根据题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴米， 在中，米． 即该主塔的高度是米． 故选：B 8．如图，已知矩形纸片，其中，现将纸片进行如下操作： 第一步，如图①将纸片对折，使与重合，折痕为，展开后如图②； 第二步，再将图②中的纸片沿对角线折叠，展开后如图③； 第三步，将图③中的纸片沿过点的直线折叠，使点落在对角线上的点处，如图④． 则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质得出，，等面积法求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵折叠， ∴ ∴在以为圆心，为直径的圆上， ∴， ∴ ∵矩形，其中， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：D． 二、填空题：（本大题共8个小题．每小题2分，共16分．把答案填在题中横线上．） 9．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 10．因式分解： ． 【答案】 【分析】先提取公因式3，再利用平方差公式分解可得结果 【详解】原式= =． 故答案为： 11．一个袋子中装有4个黑球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个， 摸到白球的概率为，则白球的个数为___________ 【答案】6 【分析】根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答． 【详解】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为， ∴摸到黑球的概率为． ∵袋子中有4个黑球， ∴袋子中共有10个球， ∴白球有6个． 故答案为：6． 12．如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°， 假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了__________    【答案】2πcm 【分析】根据定滑轮的性质得到重物上升的高度即为滑轮转过的弧长，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意得：滑轮转过的弧长 则重物上升了2πcm， 故答案为：2πcm 13． 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴， 小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F， 则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，利用菱形的性质结合勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14．如图，折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°，图中的长为 cm（结果保留π）． 【答案】18π 【分析】根据弧长公式即可得到结论． 【详解】解：∵折扇的骨柄长为27cm，折扇张开的角度为120°， ∴的长＝＝18π（cm）， 故答案为：18π． 15 .在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），AB=，点A在y轴上，反比例函数经过点B，求反比例函数解析式 ． 【答案】 【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长，在Rt△OAC中利用勾股定理求出OA的长，然后证明△OAC≌DCB，可得BD，CD的长，即可得点B的坐标，最后利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式． 【详解】解：过点B作BD⊥x轴于点D， 在Rt△ABC中，AC=BC，AB=， 由勾股定理可得AC=BC=2， ∵点C的坐标为（1，0）， ∴OC=1， 在Rt△OAC中， OA===． ∵∠OCA+∠DCB=90°，∠OCA+∠OAC=90°， ∴∠OAC=∠DCB， 在△OAC和△DCB中， ， ∴△OAC≌△DCB， ∴CD=OA=，BD=OC=1， ∴OD=CD+OC=+1， 即点B的坐标为（+1，1）． 设反比例函数的解析式为y=， 则1=， 解得k=+1， 所以反比例函数的解析式为y=． 故答案为：y=． 16 . 如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， 然后把再对折到，使点A落在上的点G处，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】由折叠的性质可得，可得是等边三角形，即可求，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵对折矩形的纸片，使与重合， ∴， ∴， ∵把再对折到， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，． 故答案为：． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分， 第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．计算：． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂、零指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值，绝对值的性质，开平方运算即可解答． 【详解】解： ； 18 . 解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析． 【分析】分别解两个不等式，求出解集公共部分即可． 【详解】 解：由①得：， 由②得：， 不等式组的解集在数轴上表示如图：      所以，不等式组的解集是 19．先化简，再求值：，其中 【答案】 ， 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算， 同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20 . 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF．求证：    (1)△ABE≌△CDF； (2)四边形AECF是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，结合已知条件根据SAS即可证明； （2）根据可得，根据邻补角的意义可得，可得，根据一组对边平行且相等即可得出． 【详解】（1）证明：解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又， ∴（SAS）； （2）证明：∵， ∴ ∴， ∴四边形AECF是平行四边形 21 .“4G改变生活，5G改变社会”，不一样的5G手机给人们带来了全新的体验， 某营业厅现有A，B两种型号的5G手机出售，售出1部A型、1部B型手机共获利600元， 售出3部A型、2部B型手机共获利1400元． (1)求A，B两种型号的手机每部利润各是多少元； (2)某营业厅再次购进A，B两种型号手机共20部，其中B型手机的数量不超过A型手机数量的， 请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出最大利润． 【答案】(1)A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元 (2)营业厅购进A种型号的手机12部，B种型号的手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元 【分析】（1）设A种型号手机每部利润是x元，B种型号手机每部利润是y元，由售出1部A型、1部B型手机共获利600元，售出3部A型、2部B型手机共获利1400元，再建立方程组即可； （2）设购进A种型号的手机a部，则购进B种型号的手机部，获得的利润为w元，，再利用一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设A种型号手机每部利润是x元，B种型号手机每部利润是y元， 由题意得： 解得． 答：A种型号手机每部利润是200元，B种型号手机每部利润是400元； （2）设购进A种型号的手机a部，则购进B种型号的手机部，获得的利润为w元， ， ∵B型手机的数量不超过A型手机数量的， ∴ 解得， ∵，， ∴w随x的增大而减小， ∴当时， w取得最大值，此时，． 答：营业厅购进A种型号的手机12部，B种型号的手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元． 22． 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到， 且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）分别列方程即可求出k和b的值； （2）求出两直线交点坐标，数形结合解决问题． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由正比例函数的图象平移得到， ∴． ∵一次函数的图象经过点， ∴． ∴； （2）解：由（1）一次函数的解析式为， 当时，， 把点代入，得， 解得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴ ． 23．为弘扬劳动精神，提升劳动技能，某校开展了“劳动教育”主题活动，活动结束后，随机抽取20名学生每周的劳动时间情况进行了调查统计，并将统计结果进行收集、整理和分析，给出部分信息如下： 收集数据： 学生每周参与劳动时间t（单位：分钟）：，． 整理数据： 列频数分布表 分组 范围 划记 频数 A 一 1 B 正 5 C 7 D 4 E 画频数分布直方图 根据以上信息，解答下列问题： (1)请把上面的频数分布表中的空白处和频数分布直方图补充完整； (2)在本次调查中，众数为______分钟，中位数为______分钟； (3)若该年级有名学生，试估算调查中每周劳动时间不低于1小时的人数； (4)若要求学生每周劳动时间不低于1小时，请根据以上信息提出一条合理化建议． 【答案】(1)见解析 (2) (3)名 (4)学校多组织有关劳动教育的活动，提高劳动技能 【分析】（1）由题意知，E组的频数为，然后补表与统计图即可； （2）由题意，将学生每周参与劳动时间t从小到大依次排序，然后根据众数、中位数的定义求解即可； （3）根据，计算求解即可； （4）建议合理即可． 【详解】（1）解：由题意知，E组的频数为， 补表与统计图如下； 分组 范围 划记 频数 A 一 1 B 正 5 C 7 D 4 E 3 （2）解：由题意，将学生每周参与劳动时间t从小到大依次排序为： ∴众数为， 中位数为第位的平均数为， 故答案为：； （3）解：由题意知，（名）， ∴估算调查中每周劳动时间不低于1小时的人数为名； （4）解：可提建议为：学校多组织有关劳动教育的活动，提高劳动技能． 24．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且， 过点E作于点F，延长和的延长线交与点G． (1)证明：是的切线； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接，先证明，再证明，，进而证明，即可证明是的切线； （2）设的半径为r，根据勾股定理得到，解方程即可得到的半径，即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：设的半径为r，， ∵在中，， ∴， 解得， 即的半径为3． 25． 图1是某种手机支架在水平桌面上放置的实物图，图2是其侧面的示意图， 其中支杆，可绕支点调节角度，为手机的支撑面，， 支点A为的中点，且． (1)若支杆与桌面的夹角，求支点到桌面的距离． (2)在（1）的条件下，若支杆与的夹角，求支撑面下端到桌面的距离． 【答案】(1)支点到桌面的距离 (2)支撑面下端到桌面的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的判定与性质， （1）过点B作，则，在中，，，，，进行计算即可得； （2）过点A作于点G，过点B作于点H，过点E作于点K，则，，根据题意和平行线的性质得，根据角之间的关系和三角形内角和定理得，，，在中，，，，，计算得，根据，支点A为的中点得，根据三角形内角和定理得，在中，，，，，计算得，根据，得四边形是矩形，则，即可得， 掌握锐角三角形函数，平行线的判定与性质，构造直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作， ∴， 在中，，，，， 即， ， 即支点到桌面的距离． （2）解：如图所示，过点A作于点G，过点B作于点H，过点E作于点K， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，，，， 即， ， ∵，支点A为的中点， ∴， ∵，， ∴， 在中，，，，， 即， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 则支撑面下端到桌面的距离： ， 即支撑面下端到桌面的距离为． 26．【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形． 那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图像的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第 　 　象限内的公共点坐标． （2）画出函数图像 ①画函数的图像； ②在同一直角坐标系中直接画出的图像， 则的图像可以看成是由的图像向右平移_____________个单位长度得到． （3）研究函数图像：平移直线，观察两函数的图像； ①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时， 公共点的坐标为_________，周长m的值为___________； ②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况？ 请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为10的矩形的周长m的取值范围为________． 【答案】（1）一；（2）①见解析过程；②见解析过程，；（3），8；（4）． 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法． （1）由，，可得在第一象限； （2）①直接画出图象即可；②直接画出图象即可，求出与轴的交点坐标，即可求解； （3）①联立方程组，可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，结合图象可求解； （4）联立方程组，可得，由根的判别式可求解． 【详解】解：（1），都是边长，周长为， ，，， 满足要求的应该是函数与的图象在第一象限内的公共点坐标． 故答案为：一； （2）①的图象如图所示： ②的图象如图所示， 与轴的交点为，， 的图象可以看成是由的图象向右平移个单位长度得到， 故答案为：； （3）①联立方程组可得：， 整理得：， 两图象有唯一交点， △， ， ， 解得：， 交点坐标为， 故答案为：，8； ②由①知：0个交点时，；2个交点时，；1个交点时，； （4）设相邻的两边长为、，则，，即，， 联立方程组可得， 整理得：， 两函数有交点， ， ， 故答案为：． 27．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口，灌溉车到l的离为d（单位：m）．若，． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的标； (3)若，灌溉车行驶时喷出的水________（填“能”与“不能”）浇灌到整个绿化带； (4)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围． 【答案】(1)，喷出水的最大射程为6m (2)点B的坐标为 (3)不能 (4) 【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，可得点B的坐标； （3）根据，，，可求得点F的坐标为，当时，求出y的值，再与0.7比较，从而得出答案； （4）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值与最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点，设， 又抛物线经过点，∴， 解得：， 上边缘抛物线的函数解析式为． 当时，， ，（舍去）． 喷出水的最大射程为6m． （2）解：对称轴为直线， 点的对称点的坐标为． 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的， 即点B是由点C向左平移4m得到，则点B的坐标为． （3）解：，，， 点F的坐标为， 当时，， 当时，y随x的增大而减小， 灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 故答案为：不能． （4）解：先看上边缘抛物线，， 点F的纵坐标为， 抛物线恰好经过点F时，，解得，（舍去）， 当时，y随着x的增大而减小， 当时，要使，则． 当时，y随x的增大而增大，且时，， 当时，要使，则． ，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带， d的最大值为． 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， d的最小值为2． 综上所述，d的取值范围是． 28.（1）【问题发现】如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线． 猜想线段、之间的数量关系为______；______； （2）【类比探究】 如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段、之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数； （3）【拓展延伸】 如图3所示，在中，，，，为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长． 【答案】（1），60；（2），的度数为，过程见解析；（3）或． 【分析】（1）证，得，，进而判断出即可； （2）证，得，，则，再求出，即可得出结论； （3）分两种情况，根据相似三角形的判定与性质结合勾股定理分别求出的长即可． 【详解】解：（1）∵和均为正三角形， ∴，，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点B，D，E在同一直线上， ∴， ∴， ∴， 综上所述, 线段、之间的数量关系为，， 故答案为：，60． （2）∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∴，， ∵和中，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 、之间的数量关系是，的度数为； （3）分两种情况： ①如图4， ∵，，， ∴， ∴， ∵为的中位线， ∴，，，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴， ∴，， ∵， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：或（舍去）， ∴； ②如图5， 同①可得，， ∴，， ∴， ∴, 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：或（舍去）， ∴； 综上所述，的长为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$