精品解析：陕西省汉中市某校2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷

2027届高一下学期第一次月考 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出各个集合，再利用交集和补集的性质求解即可. 【详解】令，解得，则，故， 因为，所以，故A正确. 故选：A 2. 设，则的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法计算即可. 【详解】因为， ， ， 所以. 故选：D. 3. 设为等差数列的前项和，已知，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列片段和的性质求解即得. 【详解】由等差数列的片段和性质知，成等差数列， 由，得该数列首项为4，公差为2， 所以. 故选：B 4. 已知函数，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式及奇偶性定义判断函数的奇偶性，再结合上的函数值符号、排除法即可得. 【详解】由解析式易知函数定义域为R，且， 所以为偶函数，排除A、D； 当时，，则，排除B. 故选：C 5. 2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形（图1），并把每一条边三等分，再以中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线（图2），如此继续下去形成雪花曲线（图3），直到无穷，形成雪花曲线．设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分别写出，，的通项公式，且当时用累加法可求出通项，然后对选项进行逐一判断求解. 【详解】由题意知，边长，边数，周长，面积， 所以得：，， 所以得： ，， 因为：， 当时，， 所以得： ， 当时，，也适用， 所以：， 所以得：，故A项错误；所以得：，故B项正确； 所以得：，故C项错误；所以得：，故D项错误； 故选：B. 6. 二次函数在区间上为减函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次函数的单调性，即可求得参数的范围. 【详解】∵二次函数在上为减函数， . 故选：D. 【点睛】本题考查二次函数的单调性，属基础题. 7. 设函数的最小正周期为. 若，且对任意，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，由对任意，恒成立，可得，计算即可得. 【详解】由，且，故， 即有，解得， 又，，故，即， 综上，. 故选：B. 8. 已知是数列的前n项和，，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过变形，化成，得数列是首项为1、公差为1的等差数列，进而求出通项，然后利用错位相减法求和，代入原不等式，根据不等式求最值结合恒成立条件可得答案 【详解】∵，∴，又， ∴数列是首项为1、公差为1的等差数列， ∴，∴， ∴ ① ∴ ② ①－②得， ∴， ∴不等式， 即， 即， ∵， 当且仅当，即时等号成立，∴， 故选：A． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. B. 第一象限角都是锐角 C. 在半径为2的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为 D. 终边在直线上的角的集合是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据弧度制、象限角、终边相同的角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，A正确； 角也是第一象限角，不是锐角，B错误； 在半径为的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为，C正确； 终边在上的角的集合是，D错误． 故选：AC 10. 已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知递推公式进行变形求解判断AB．求出数列前几项，验证后判断C，求出前20项和可判断D， 【详解】因为，所以， 又，所以是等比数列，A正确； 同理，而， 所以是等比数列，B正确； 若，则，但，C错； 由A是等比数列，且公比为2， 因此数列仍然是等比数列，公比为4， 所以，D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：本题考查数列的递推公式，解题关键是由已知递推关系变形推导出新数列的递推关系，从而得证新数列的性质．而对称错误的结论，可以求出数列的某些项进行检验． 11. 已知函数，若方程有三个不同的零点，且，则（ ） A. 实数的取值范围为 B. 函数在单调递增 C. 的取值范围为 D. 函数有个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出函数的图像，根据图像可判断A错误，B正确；根据图像确定出，再根据对数运算求解出，即可得的范围，则C正确；采用换元法令，确定出的值，结合的图像求解出的零点个数. 【详解】作出函数的图像如图所示： 对于A，由图像可知，实数的取值范围是，故A错误； 对于B，由图像可知，函数在上单调递增，在上单调递减，故B正确； 对于C，由图像可知，，由，即，解得，所以的取值范围是，故C正确； 对于D，由，令，则，解得或，由图象可知当时，方程有1个解，当时，方程有3个解，所以函数有4个零点，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由及对数函数的性质，可得到的取值范围，进而得到的取值范围，从而得到的取值范围，即可求得函数的值域. 【详解】因为，所以，， 所以，即的值域为． 故答案为：. 13. 已知，则________. 【答案】##-0.6 【解析】 【分析】先利用诱导公式将进行变形，再结合二倍角公式进行求解. 【详解】因为， q， 已知，将其代入可得： . 因为，所以.  故答案为：. 14. 已知各项均为正数的等比数列，若，则的取值范围为________. 【答案】. 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，求得，化简，结合基本不等式，求得，进而求得的取值范围. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，可得，所以， 则 ， 因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，可得，则， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，求下列各式的值. （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式，结合同角三角函数的关系求解即可； （2）根据，结合同角三角函数的关系求解即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且. （1）求数列与数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，根据等差数列以及等比数列定义结合数列的单调性求得和，即可求数列与数列的通项公式； （2）利用等差、等比前项和公式并分组求和即可得. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由，得， 即， 即，解得或. 当时，，不满足单调递增， 当时，，满足单调递增， 所以. 又，所以， 所以， 即数列的通项公式为， 数列的通项公式为. 【小问2详解】 利用等比、等差数列前项和公式可得， 数列的前项和为， 数列的前项和为， 所以数列的前项和 即. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）将的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，求在区间上的最值及取得最值时的值. 【答案】（1）最小正周期；单调递增区间：， （2）在区间上的最大值是，此时；最小值是，此时. 【解析】 【分析】（1）先利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为标准形式，再根据三角函数的周期公式和单调性来求解； （2）根据三角函数图象的平移和伸缩变换规则得到的表达式，然后结合给定区间求其最值. 【小问1详解】 已知，根据二倍角公式，可得：  所以的最小正周期.  令，，解这个不等式可得,. 即得到，. 所以的单调递增区间是，.   的最小正周期是，单调递增区间是，； 【小问2详解】 先根据图象变换规则求的表达式： 将的图象向左平移个单位，根据“左加右减”的原则，得到的图象. 再将所有点的横坐标缩短为原来的倍，根据“横坐标伸缩”的原则，得到的图象. 因为，所以，. 当，即时，取得最大值，此时取得最大值. 当，即时，取得最小值，此时取得最小值. 综上所得，在区间上的最大值是，此时；最小值是，此时. 18. 已知函数，不等式解集为， （1）设函数在上存在零点，求实数的取值范围； （2）当时，函数的最小值为，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解指数不等式得到集合，再判断的单调性，即可得到，解得即可； （2）首先得到，令，，，依题意可得在内的最小值为，即可得到方程（不等式）组，解得即可. 【小问1详解】 因为，则，解得，即, 又因为， 且，在内单调递增，则在内单调递增， 若函数在上存在零点，则， 解得，所以实数的取值范围． 【小问2详解】 因为， 令，由可知，则， 令，， 则在内的最小值为， 由的图象开口向上，对称轴为， 可得，解得，即实数的值为1． 19. 已知数列的前项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围； （3）记，是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，，；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）不存在. 【解析】 【分析】（1）当时，，与题目中所给等式相减得：，即，又时，，解得：，所以. （2）化简得，由裂项相消得，，再根据不等式都成立，化简得：，求出的最大值即可. （3）假设存在互不相等的正整数，，满足条件，则有.证明其成立的条件与，，互不相等矛盾即可. 【详解】（1）因为数列的前项和满足， 所以当时，， 两式相减得：，即， 又时，，解得：， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，从而. （2）由（1）知：， 所以， ， 对任意的，不等式都成立，即， 化简得：，令， 因为， 故单调递减， 所以，故， 所以，实数的取值范围是. （3）由（1）知：， 假设存在互不相等的正整数，，满足条件， 则有. 由与得， 即， 因为，所以. 因为，当且仅当时等号成立， 这与，，互不相等矛盾. 所以不存在互不相等的正整数，，满足条件. 【点睛】本题考查了裂项相消法和反证法，遇到通项公式的分式的分母为两项相似的式子相乘时，可以看是否能裂成两项，从而在求和时前后相消。用反证法时注意判断最后推出的结果与题目已知条件是否矛盾。本题属于难题。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高一下学期第一次月考 数学试题 满分：150分 考试时间：120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则的大小关系为（    ） A. B. C. D. 3. 设为等差数列的前项和，已知，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 4. 已知函数，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花——“科赫雪花”．它的绘制规则是：任意画一个正三角形（图1），并把每一条边三等分，再以中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线（图2），如此继续下去形成雪花曲线（图3），直到无穷，形成雪花曲线．设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数在区间上为减函数，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数的最小正周期为. 若，且对任意，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是数列的前n项和，，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. B. 第一象限角都是锐角 C. 在半径为2的圆中，弧度的圆心角所对的弧长为 D. 终边在直线上的角的集合是 10. 已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列 C. D. 11. 已知函数，若方程有三个不同的零点，且，则（ ） A. 实数的取值范围为 B. 函数在单调递增 C. 的取值范围为 D. 函数有个零点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的值域为__________． 13. 已知，则________. 14. 已知各项均为正数的等比数列，若，则的取值范围为________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知，求下列各式的值. （1）； （2）. 16. 已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且. （1）求数列与数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 已知函数. （1）求的最小正周期和单调递增区间； （2）将的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，求在区间上的最值及取得最值时的值. 18. 已知函数，不等式解集为， （1）设函数在上存在零点，求实数的取值范围； （2）当时，函数的最小值为，求实数的值． 19. 已知数列的前项和满足. （1）求数列的通项公式； （2）记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围； （3）记，是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，，；如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $