重难点复习专项练习 抽象函数的综合应用-2025届高三数学二轮复习

2025年高考二轮重难点复习专项练习--抽象函数的综合应用 一、单选题 1．（2025·河北唐山·一模）对于，且，当时，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·二模）已知是定义在R上的奇函数且满足，当时，．若，则实数a的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北秦皇岛·一模）表示不小于的最小整数，如，已知定义在上的函数满足，且，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 5．（2025·山东烟台·一模）已知定义在上的函数满足：为奇函数，且，若，则正整数的最小值为（    ） A．17 B．19 C．21 D．23 6．（2025·江西·一模）已知可导函数的定义域为，是的导函数，且为偶函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·广西·一模）已知函数满足：（1）对任意，都有；（2）对任意，都有．则的值是（   ）． A．324 B．336 C．348 D．360 8．（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知是定义域为的非常值函数，且，，是的导函数，且的定义域为．若设，，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025·安徽合肥·二模）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．， C．的图象关于点对称 D．为偶函数 10．（2025·河南郑州·二模）已知对于任意非零实数，函数均满足，，下列结论正确的有（   ） A． B．关于点中心对称 C．关于轴对称 D． 11．（2025·江苏南京·一模）已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．当时， D．在上单调递减 12．（2025·陕西榆林·二模）对于，满足，，且对于任意，恒有，则（   ） A． B． C． D． 13．（2025·湖南·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，设，，且，若，，则（   ） A． B． C． D． 14．（2025·重庆·一模）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C．是周期为的周期函数 D． 15．（2025·福建漳州·一模）已知函数对任意x，都有，且，则（ ） A． B． C．是奇函数 D．是的极小值点 16．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为R，若，函数为奇函数，且，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C． D． 三、填空题 17．（2025·浙江温州·二模）函数满足：①②，．则的最大值等于 ． 18．（2025·河北沧州·一模）已知函数满足：，，，若，则 . 19．（2025·湖北·一模）已知函数定义域为，值域，且满足：，恒有，则 20．（24-25高三上·江西·期中）已知定义域为的函数的导函数为，若函数和均为偶函数，且，则 ． 21．（2024·河南信阳·一模）函数满足：任意.且.则的最小值是 . 22．（2023·江苏连云港·模拟预测）已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则 ． 23．（2025·青海海南·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，，则 ． 24．（2025·福建·模拟预测）已知函数的定义域为为的导数，，当时，，若，则关于的不等式在区间上的解集为 . 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C A B C C D ACD ABD 题号 11 12 13 14 15 16 答案 ACD ACD ACD BCD AC ACD 1．C 【分析】采用赋值法，令可得，进而推出；令可得，进而推出，，再结合函数的性质，可得的值. 【详解】令，则. 所以；进而， 同理可得：，. 令，则， 所以，，，，. 因为，所以，即.所以 故选：C 【点睛】抽象函数问题可以通过化抽象为具体的方法，即赋予恰当的数值或代数式，经过运算与推理，最后得出结论. 2．D 【分析】依题意可得的奇偶性、对称性与周期性，即可得到的图象，即可得到，，解得即可. 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 又因为，所以函数的图象关于直线对称， 且，所以函数是以4为周期的周期函数. 因为当时，，所以函数在上单调递增. 函数的草图如下： 根据图象可知，若，则，， 解得，. 所以实数的取值范围是：，. 故选：D 3．C 【分析】根据抽象函数性质可确定关于直线对称，关于点对称，从而可确定其周期性，再结合单调性可得函数的大致图象，结合周期性、对称性、对数函数性质、三角函数性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于函数有，，则函数关于直线对称， 由，则函数关于点对称， 所以，所以得， 则，故函数的周期为，且，故函数为偶函数， 因为函数在区间上单调递增，则函数的大致图象如下图： 由对称性可得， 所以 ，故A错误； 由于，，所以，故B错误； 又，，所以，故C正确； ，且， 因为，所以，故， 所以，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：抽象函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性，解决本题的关键是结合函数的性质确定函数的图象，从而可确定函数值的大小关系、对称关系. 4．A 【分析】根据给定条件，利用赋值法探讨求得函数解析式，再按定义求得结果. 【详解】定义在上的函数满足， 取，得，则， 取，得，于是， 而，则，当时，， 因此，，则， 所以，. 故选：A 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 5．B 【分析】根据已知得到是周期为8的偶函数，再利用周期性、偶函数性质有，进而得到，是周期为4的函数且一个周期内函数值依次为，即可得答案. 【详解】由，则， 所以，即是周期为8的函数， 由为奇函数，则，则， 所以，即是偶函数， 由，则，结合周期性， 对于，依次为， 所以是周期为4的函数，则 ， ， ， ， ， ， 综上，易知时，，时，. 所以正整数的最小值为19. 故选：B 【点睛】关键点点睛：首先确定是周期为8的偶函数，再求相关函数值，进而得到，是周期为4的函数且一个周期内函数值依次为是关键. 6．C 【分析】由题意可得，由函数奇偶性的定义得出，求导得出，进而可推出函数是周期为的周期函数，以及函数的对称中心为，求出、的值，结合函数周期性可求得的值. 【详解】因为函数为奇函数，则， 即，令，则， 所以，函数的对称中心为，且，① 在等式①中，令可得，解得， 在等式①中，令可得, 因为函数为偶函数，则， 令，可得，求导得， 则，② 由①②可得，令，则， 所以，函数是周期为的周期函数， 所以，. 故选：C. 【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论： （1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为； （2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为； （3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为. 7．C 【分析】先由条件（1）得到在上为单调增函数，再由条件（2）得到，再根据逐个递推可得. 【详解】对任意的，由（1）得，即. 故在上为单调增函数. 对任意，由（2）得. 显然.否则，.矛盾. 若，则，矛盾. 所以，. 故，. 由，得，. 则，. 故. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够确定在上为单调增函数和，然后利用求解. 8．D 【分析】取，得到函数的对称中心.令，求得，然后令，求得函数对称轴.由两个等量关系求出函数的周期，由求出.然后由函数的对称轴和对称中心得到其导数的对称中心和对称轴，同理由求出，然后写出切线方程. 【详解】令，则，则函数关于点中心对称， 令，则，则或， 当时，令，则，即，不合题意，舍去. 故，则令，即，即函数关于轴对称， ， 令，则，又∵， ∴，则， 即函数是周期为的周期函数， ∴， ∵函数关于点中心对称和轴对称， ∴导数关于对称和点中心对称， 同理可得， ∴， ∴切线方程为：，即. 故选：D 【点睛】关键点睛，本题有两个解题关键：（1）由对称轴和对称中心得到函数的周期；（2）由函数的对称中心和对称轴得到其导数的对称轴和对称中心. 9．ACD 【分析】A选项，令得，令得；D选项，令得，令得，故，的一个周期为1，，所以，故为偶函数，D正确；BC选项，令，结合函数周期，得到，令得，所以，故，故B错误，C正确. 【详解】A选项，中，令得， 又，故，解得， 中，令得，故，A正确； D选项，中，令得 ，即，， 中，令得 ，即， 因为，所以，故， 故的一个周期为1， 故，所以，故为偶函数，D正确； B选项，中，令得 ， 由于，，故， 由于的一个周期为1，故， 所以，解得， 中，令得 ， 又，故，， 所以，故， 故不存在，，B错误； 由上可知，，故的图象关于点对称，C正确. 故选：ACD 10．ABD 【分析】由中令可得A正确；由可得B正确；由可得C错误；换元法求出可得D正确. 【详解】对于A，由可得； 对于B，由可得，即， 所以关于点中心对称，故B正确； 对于C，由可得，所以关于轴对称，故C错误； 对于D，由中令可得， 设，① 又，② 由①②可得， 所以，即， 所以，所以 所以，故D正确； 故选：ABD 11．ACD 【分析】由关系取，可求，取，可求，再求，判断A，取，可得，的关系，再将替换为，求，由此判断函数的奇偶性，判断B，将中的用替换可得，结合条件证明当时，，再结合函数的奇偶性判断C，结合单调性定义证明函数在上单调递减，再利用导数证明函数在上单调递减，判断D. 【详解】因为， 令，，可得， 所以， 令，，可得， 所以， 所以，A正确； 由， 令可得，， 再将中的替换为，可得， 所以， 所以，所以函数为奇函数，B错误； 当时，将中的用替换， 可得，即， 当时，，由已知可得， 所以，， 又函数为奇函数，所以当时，，， 所以当时，，C正确； 因为， 所以若，则， 任取，且， 则， 因为，所以，， 所以，所以， 所以函数在上单调递减， 设， 当时，， 因为，所以， 因为函数在上单调递减，所以， 所以， 所以在上单调递减. 故选：ACD. 12．ACD 【分析】抽象函数，对于ACD选项采用赋值法求解，B选项倒序相加即可； 【详解】A选项：因为，所以取得，，A选项正确； B选项：令，则， 两式相加得， 解得，B选项错误； C选项：因为，所以取得，，由， 取得，，解得， 因为，所以，，，，，C选项正确； D选项：因为，，且， 所以，即，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数，赋值法是基本，针对选项进行赋值即可. 13．ACD 【分析】利用赋值法求出、、的值，可判断ABC选项；利用函数的对称性可判断D选项. 【详解】令，，可得，因为，则，， 令，则，所以，或， 若，则，②，矛盾，故，A对； 令，，得，则， 令，得，即， 即函数的图象关于直线对称， 在等式两边求导得，即， 所以，函数的图象关于点对称， 因为，即，可得出（为常数）， 无法判断的图象是否关于点对称，B错C对； 因为函数的图象关于点对称， 所以，， 因此，，D对. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度； （1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； （3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 14．BCD 【分析】根据给定条件，结合函数对称性、周期性的定义探讨函数性质，再逐项计算判断得解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，，且，， 对于A选项，因为，则，A错； 对于B选项，由可得， 整理可得， 当时，则有，即， 当时，，也满足， 所以，函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，因为是定义域为的奇函数， 且，所以，函数是周期为的周期函数，C对； 对于D选项，因为函数是定义域为的奇函数， 则，，，， ，所以，， 因为，则，D对. 故选：BCD. 【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论： （1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为； （2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为； （3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为. 15．AC 【分析】对于选项A、B、C利用赋值法即可判断；对于选项D，令，取，验证不成立即可. 【详解】对于A，令，则， 令，，则，得，故A正确； 对于B，令，，则，得，故B错误； 对于C，令，则，故是奇函数，故C正确； 对于D，由得， 令，则有， 取，则 当时，，则时，，单调递增； 则时，，单调递减， 则在处取得极大值，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：对于选项D，令，取，则利用导数求得在处取得极大值. 16．ACD 【分析】A.将平移即可求出图象的对称中心；B.举反例说明；C.将的两条关系式结合，即可得，再分组求和；D.对的两条关系式分别求导即可得的周期性. 【详解】为奇函数，即其函数图象关于点中心对称， 将其向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到函数的图象， 则的图象关于点中心对称，即①，故选项A正确； 选项B错误，理由如下：由②可得，，则，若B选项正确，则，矛盾，故选项B错误； ①②两式相加可得，，则 ，， 则 ，故选项C正确； 对①②两式分别求导得，③，④， ③④两式联立可得，⑤，再将替换为， 得⑥，⑤⑥两式联立可得，， 则的周期为4，故， 在④式中令得，，在③式中令得，，故，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：C选项的关键在于利用①②两式得，而后采用分组求和而非逐个运算；D选项的关键在于复合函数求导，能否正确得出③④两式. 17．/0.5 【分析】设且，代入得，令，则有关于的不等式有解，利用判别式求解即可. 【详解】解：设且， 令， 则有， 即， 设，则， 即， 所以有解，， 所以的最大值等于． 故答案为： 【点睛】方法点睛：解答与抽象函数有关的题目时，常用赋值法. 18．2024 【分析】根据已知条件结合赋值法计算得出，再赋值法结合应用不等关系计算求解即可. 【详解】依题意，因为，则， 令，则，因为，所以， 又因为，则，即， 令，则，即， 令，则，所以，故得， 又 ； 又 ， 所以，即. 故答案为：2024. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对赋值法及不等式的综合应用. 19．1或2025/2025或1 【分析】根据已知条件中函数满足的等式关系，通过合理赋值来逐步推导求解. 【详解】显然，函数满足题设要求，此时； 当函数不是函数， 则存在使得，其中，， 从而有， 又， 故，所以① 故 所以② 由①式得，又，故③ 由②③式得， 故 综上可知或2025. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是通过合理赋值来逐步推导求解. 20．2 【分析】为偶函数，则，两边求导得到，即，结合，得到，故是以4为周期的周期函数，由，可得，则可求. 【详解】因为为偶函数，则，即， 又因为为偶函数，则. 由，求导得，即， 所以，则， 所以是以4为周期的周期函数. 由，可得，即， 由，得， 所以， 所以. 故答案为：2 【点睛】知识点点睛：设函数，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； 21． 【分析】由条件等式变形为，再构造函数，得到，并迭代得到，由此得到，并求和，利用放缩法，即可求解最小值. 【详解】因为，所以， 设，那么， 因此 ， 因此， 取，得到，所以， 所以的最小值是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是通过构造得到，关键二是得到的解析式，关键三是根据，利用放缩法求和. 22．48 【分析】根据已知条件推出是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数，从而推出，，，从而求出，并计算出，，故，从而可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，则有， 因为是奇函数，所以， 可得，即有与， 即，所以是周期为4的周期函数，故也是周期为4的周期函数. 因为且. 所以，所以为偶函数， 由是奇函数，则，因为，所以， 又因为，且的周期为4， 所以， 由得，因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； （8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为； （9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a； （10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a． 23．1 【分析】根据条件，通过赋值法，得到，，再利用函数的性质，得到函数周期为，即可求解． 【详解】令，得， 令，得，所以． 将代入，可得． 令，得， 又因为恒成立，且不恒为， 所以，从而为奇函数， 又由，可得， 所以，所以为的周期， 于是， 故答案为：. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于通过赋值，结合函数的性质得到是的一个周期. 24． 【分析】构造函数，并由导数法得在上单调递增，再利用奇函数定义及对称性概念知为奇函数且关于对称，从而得到的对称性和单调性，将所给不等式转化为，结合已知函数值，利用函数性质即可求解不等式. 【详解】设，则当时，， 所以在上单调递增， 因为，所以为奇函数， 又， 所以关于对称，所以， 所以，所以的周期为6，且为偶函数， 又，所以， 故由的单调性可知：在和单调递增， 在和单调递减，又， 由的对称性可知，， 由可得，， 所以关于x的不等式在区间内的解集为． 故答案为： 【点睛】结论点睛：破解抽象函数不等问题需要构建新函数，常见构造形式如下： 1.对于不等式，构造函数； 2.对于不等式，构造函数； 3.对于不等式，构造函数； 4. 对于不等式，构造函数； 5. 对于不等式，构造函数； 学科网（北京）股份有限公司 $$