10.1 二元一次方程组的概念必刷基础题和提高题同步练习（解析版+原卷版）-2024-2025学年七年级数学下册必刷题训练（新人教版）

10.1 二元一次方程组的概念必刷基础题和提高题同步练习（原卷版） 知识点一　二元一次方程(组)的概念 1．（2023春•南岗区校级期中）下列方程组中不是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 2．若ax+6（a﹣1）y＝3是关于x、y的二元一次方程，则a的取值范围为（　　） A．a≠0 B．a≠1 C．a≠0且a≠1 D．a≠0或a≠1 3．（2024•凉州区二模）若方程（a+1）x+3y|a|＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（　　） A．﹣1 B．±1 C．0 D．1 知识点二　二元一次方程(组)的解的概念 4．（2023春•惠城区校级期中）已知是方程x﹣ay＝3的一个解，那么a的值为（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3 5．（2023春•商水县校级月考）已知二元一次方程x+2y＝5，请写出该方程的一组整数解：　 　 ． 6．（2024春•榆树市期中）二元一次方程2x+y＝3的非负整数解有 　 　 组． 7．已知方程组． （1）x分别取﹣3，﹣1，0，2时，填写下表： 3x+y＝﹣1的解 x ﹣3 ﹣1 0 2 y 　 　 　 　 　 　 　 　 2x﹣3y＝﹣8的解 x ﹣3 ﹣1 0 2 y 　　 　　 　　 　　 （2）根据（1）中表内数据写出方程组的解． 知识点三　从实际问题中抽象出二元一次方程(组) 8．（2024•黔南州一模）我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为：今有人合伙买玉石，每人出钱，会多出4钱．设人数为x人，玉石价格为y钱，则可列关于x，y的方程为（　　） A． B． C．y＝x﹣4 D．2y＝x+4 9．（2024秋•桑植县期末）某班有49名学生，一天，该班一男生因事请假，当天的男生人数恰好为女生人数的一半．设该班有男生x人，女生y人，则可列方程组为 10．（2023•新华区校级开学）已知方程组的解为，则■，▲分别为（　　） A．5，1 B．1，5 C．2，1 D．2，4 11．（2024•深圳）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 12．（2024•黑龙江）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 13．（2024•宜宾）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（　　） A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱 14．（2021•新泰市模拟）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来住店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人．可列方程组为：　 ． 15．（2024•玉树市三模）已知是二元一次方程2x﹣7y＝8的一个解，则代数式17﹣4a+14b的值是　 　 ． 16．（2023春•雨花区期中）若x|a|﹣1﹣1+（a﹣2）y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a＝　 　 ． 17．（1）已知是方程ax+y＝2的一个解，则a的值为 　 　 ； （2）若是方程3x+y＝﹣5的一个解，则m的值是 　 　 ． 18．（2024春•鹿邑县期末）在一本书上写着方程组的解是，其中y的值被墨渍盖住了，但我们可解得p的值为 　 ． 19．已知关于x，y的方程（2m﹣6）xn+1+（n+2）0是二元一次方程． （1）求m，n的值； （2）若y＝﹣2，求x的值． 20．若方程2x2m+3+3y5n﹣9＝4是关于x，y的二元一次方程，求m2+n2的值． 21．（2014春•万州区校级月考）已知是关于x、y的二元一次方程组的解，试求（m+n）2012的值． 22．（2024春•新泰市校级月考）甲、乙两人解关于x，y的方程组，甲因看错a，解得，乙将其中一个方程的b写成了它的相反数，解得，求a、b的值． 23．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组解完以后有下面一段对话，请认真阅读对话内容，然后求出的值 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.1 二元一次方程组的概念必刷基础题和提高题同步练习（解析版） 知识点一　二元一次方程(组)的概念 1．（2023春•南岗区校级期中）下列方程组中不是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【思路引领】二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的最高次数是1的方程叫二元一次方程； 二元一次方程组的定义：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组． 【完整解答】解：因为A，B，D都符合二元一次方程组的定义； C中xy是二次． 故选：C． 【总结提升】此题考查了二元一次方程组的定义，正确把握二元一次方程组的定义是解题关键． 2．若ax+6（a﹣1）y＝3是关于x、y的二元一次方程，则a的取值范围为（　　） A．a≠0 B．a≠1 C．a≠0且a≠1 D．a≠0或a≠1 【思路引领】根据二元一次方程的定义（两个未知数且未知数的次数是1的方程）解决此题． 【完整解答】解：由题意得，a≠0且6（a﹣1）≠0． ∴a≠0且a≠1． 故选：C． 【总结提升】本题主要考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义是解决本题的关键． 3．（2024•凉州区二模）若方程（a+1）x+3y|a|＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（　　） A．﹣1 B．±1 C．0 D．1 【思路引领】先根据二元一次方程的定义得出关于a的不等式和方程，求出a的值即可． 【完整解答】解：∵方程（a+1）x+3y|a|＝1是关于x，y的二元一次方程， ∴a+1≠0且|a|＝1， 即a≠﹣1且a＝±1， ∴a＝1． 故选：D． 【总结提升】本题考查的是二元一次方程的定义，熟知含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程是解题的关键． 知识点二　二元一次方程(组)的解的概念 4．（2023春•惠城区校级期中）已知是方程x﹣ay＝3的一个解，那么a的值为（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．3 【思路引领】将代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值． 【完整解答】解：将代入原方程得：1﹣2a＝3， 解得：a＝﹣1， ∴a的值为﹣1． 故选：A． 【总结提升】本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键． 5．（2023春•商水县校级月考）已知二元一次方程x+2y＝5，请写出该方程的一组整数解：　（答案不唯一）　 ． 【思路引领】把x＝1代入x+2y＝5，求出y，即可． 【完整解答】解：当x＝1时，1+2y＝5， 所以y＝2， 所以该方程的一组整数解为． 故答案为：（答案不唯一）． 【总结提升】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 6．（2024春•榆树市期中）二元一次方程2x+y＝3的非负整数解有 　2　 组． 【思路引领】分别令x＝0，1，2，3…，然后代入方程2x+y＝3中，求出y值，再进行判断即可． 【完整解答】解：∵当x＝0时，y＝3； 当x＝1时，2+y＝3，y＝1； 当x＝2时，4+y＝3，y＝﹣1， 当x＝3时，6+y＝3，y＝﹣3； …， ∴二元一次方程2x+y＝3的非负整数解为：，共2组， 故答案为：2． 【总结提升】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值． 7．已知方程组． （1）x分别取﹣3，﹣1，0，2时，填写下表： 3x+y＝﹣1的解 x ﹣3 ﹣1 0 2 y 　8　 　2　 　﹣1　 　﹣7　 2x﹣3y＝﹣8的解 x ﹣3 ﹣1 0 2 y 　　 　2　 　　 　4　 （2）根据（1）中表内数据写出方程组的解． 【思路引领】（1）把x的值分别代入方程3x+y＝﹣1和2x﹣3y＝﹣8中即可求出y的值； （2）找出两个方程的公共解，即可求出方程组的解． 【完整解答】解：（1）对于方程3x+y＝﹣1， 当x＝﹣3时，3×（﹣3）+y＝﹣1，解得y＝8； 当x＝﹣1时，3×（﹣1）+y＝﹣1，解得y＝2； 当x＝0时，3×0+y＝﹣1，解得y＝﹣1； 当x＝2时，3×2+y＝﹣1，解得y＝﹣7； 对于方程2x﹣3y＝﹣8， 当x＝﹣3时，2×（﹣3）﹣3y＝﹣8，解得y； 当x＝﹣1时，2×（﹣1）﹣3y＝﹣8，解得y＝2； 当x＝0时，2×0﹣3y＝﹣8，解得y； 当x＝2时，2×2﹣3y＝﹣8，解得y＝4； 故答案为：8，2，﹣1，﹣7，，2，，4； （2）根据（1）中表内数据可知：两个二元一次方程的公共解为， 所以方程组的解是． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 知识点三　从实际问题中抽象出二元一次方程(组) 8．（2024•黔南州一模）我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为：今有人合伙买玉石，每人出钱，会多出4钱．设人数为x人，玉石价格为y钱，则可列关于x，y的方程为（　　） A． B． C．y＝x﹣4 D．2y＝x+4 【思路引领】根据玉石价格即可得出二元一次方程，此题得解． 【完整解答】解：由题意可得，yx﹣4， 故选：B． 【总结提升】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 9．（2024秋•桑植县期末）某班有49名学生，一天，该班一男生因事请假，当天的男生人数恰好为女生人数的一半．设该班有男生x人，女生y人，则可列方程组为 【思路引领】此题中的等量关系有：①该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半；②男生人数+女生人数＝49． 【完整解答】解：根据该班一男生请假后，男生人数恰为女生人数的一半，得x﹣1y， 即y＝2（x﹣1）；根据某班共有学生49人，得x+y＝49． 列方程组为：． 【总结提升】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，列方程组解应用题的关键是找准等量关系，同时能够根据等式的性质对方程进行整理变形，从而找到正确答案． 10．（2023•新华区校级开学）已知方程组的解为，则■，▲分别为（　　） A．5，1 B．1，5 C．2，1 D．2，4 【思路引领】把x＝2代入②可得▲＝1，把代入①得：■＝4+1＝5，从而可得答案． 【完整解答】解：∵方程组的解为， ∴2+y＝3，解得：y＝1， ∴▲＝1， 把代入①得：■＝4+1＝5． 故选：A． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的解，掌握方程组的解满足方程组中的两个方程是关键． 11．（2024•深圳）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【思路引领】根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【完整解答】解：∵如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住， ∴7x+7＝y； ∵如果每一间客房住9人，那么就空出一间房， ∴9（x﹣1）＝y． ∴根据题意可列方程组． 故选：A． 【总结提升】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 12．（2024•黑龙江）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【思路引领】设购买笔记本x件，笔y支，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，结合x，y均为正整数，即可得出购买方案的数量． 【完整解答】解：设购买笔记本x件，笔y支，根据题意得： 3x+2y＝28， ∴y＝14x， 又∵x，y均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种购买方案． 故选：B． 【总结提升】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费28元”列出二元一次方程是解题的关键． 13．（2024•宜宾）某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（　　） A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱 【思路引领】设可以装x箱大箱，y箱小箱，根据“该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满”，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出x，y的值，再将其代入x+y中，取其中的最大值，即可得出结论． 【完整解答】解：设可以装x箱大箱，y箱小箱， 根据题意得：4x+3y＝32， ∴x＝8y， 又∵x，y均为正整数， ∴或， ∴x+y＝9或10， ∴所装的箱数最多为10箱． 故选：C． 【总结提升】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 14．（2021•新泰市模拟）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来住店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人．可列方程组为：　　 ． 【思路引领】根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可． 【完整解答】解：根据题意得：， 故答案为：． 【总结提升】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组． 15．（2024•玉树市三模）已知是二元一次方程2x﹣7y＝8的一个解，则代数式17﹣4a+14b的值是　1　 ． 【思路引领】将代入二元一次方程2x﹣7y＝8得到2a﹣7b＝8．再将代数式适当变形，利用整体代入可得代数式的值． 【完整解答】解：将代入二元一次方程2x﹣7y＝8得： 2a﹣7b＝8． ∴原式＝17﹣2（2a﹣7b）＝17﹣2×8＝1． 故答案为：1． 【总结提升】本题主要考查了二元一次方程的解，利用整体代入求代数式的值．将方程的解代入原方程是解题的关键， 16．（2023春•雨花区期中）若x|a|﹣1﹣1+（a﹣2）y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a＝　﹣2　 ． 【思路引领】根据二元一次方程的解的定义，即可求解． 【完整解答】解：∵x|a|﹣1﹣1+（a﹣2）y＝1是关于x，y的二元一次方程， ∴|a|﹣1＝1，a﹣2≠0， ∴a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【总结提升】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程，需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次是关键． 17．（1）已知是方程ax+y＝2的一个解，则a的值为 　﹣1　 ； （2）若是方程3x+y＝﹣5的一个解，则m的值是 　﹣1　 ． 【思路引领】根据二元一次方程组解的定义代入即可求出相应的答案． 【完整解答】解：（1）把代入方程ax+y＝2得， a+3＝2， 解得a＝﹣1， 故答案为：﹣1； （2）把是方程3x+y＝﹣5得， 3m+2m＝﹣5， 解得m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【总结提升】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组解的定义是正确解答的关键． 18．（2024春•鹿邑县期末）在一本书上写着方程组的解是，其中y的值被墨渍盖住了，但我们可解得p的值为 　　 ． 【思路引领】依据题意，设被墨渍盖住的y的值为m，将x＝1，y＝m代入方程组可以得解． 【完整解答】解：由题意，设被墨渍盖住的y的值为m， 则将x＝1，y＝m代入方程组可得，， ∴． 故答案为：． 【总结提升】本题主要考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，解题时需要熟练掌握并理解． 19．已知关于x，y的方程（2m﹣6）xn+1+（n+2）0是二元一次方程． （1）求m，n的值； （2）若y＝﹣2，求x的值． 【思路引领】（1）根据二元一次方程的定义，即可求得m，n的值； （2）把y的值代入二元一次方程即可求解． 【完整解答】解：（1）因为关于x，y的方程（2m﹣6）xn+1+（n+2）0是二元一次方程， 可得：， 解得：； （2）把n＝0，m＝﹣3代入可得方程：﹣12x+2y＝0， 把y＝﹣2代入﹣12x+2y＝0，可得：x． 【总结提升】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 20．若方程2x2m+3+3y5n﹣9＝4是关于x，y的二元一次方程，求m2+n2的值． 【思路引领】令各个未知数的次数为1，求得m，n的值，代入所给代数式求值即可． 【完整解答】解：由题意，得： 2m+3＝1，5n﹣9＝1， 解得m＝﹣1，n＝2． ∴m2+n2＝5． 【总结提升】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：只含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程． 21．（2014春•万州区校级月考）已知是关于x、y的二元一次方程组的解，试求（m+n）2012的值． 【思路引领】将x＝2，y＝1代入方程组计算求出m与n的值，即可确定出所求式子的值． 【完整解答】解：将x＝2，y＝1代入方程组得：， 解得：m＝﹣1，n＝0， 则原式＝（﹣1）2012＝1． 【总结提升】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 22．（2024春•新泰市校级月考）甲、乙两人解关于x，y的方程组，甲因看错a，解得，乙将其中一个方程的b写成了它的相反数，解得，求a、b的值． 【思路引领】将代入4x﹣by＝﹣1得：8﹣3b＝﹣1，即可得出b的值，将代入ax﹣3y＝5得：a+3＝5，即可得出a的值，从而得解． 【完整解答】解：将代入4x﹣by＝﹣1得：8﹣3b＝﹣1， 解得：b＝3， ∵乙将其中一个方程的b写成了它的相反数，解得， ∴将代入ax﹣3y＝5得：a+3＝5， 解得：a＝2， 综上所述：a＝2，b＝3． 【总结提升】本题考查了二元一次方程组的解的定义，熟练掌握二元一次方程组的解适合方程组中的每个方程是解答本题的关键． 23．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组解完以后有下面一段对话，请认真阅读对话内容，然后求出的值 【思路引领】根据方程解的定义求出a、b的值，再代入计算即可． 【完整解答】解：∵甲看错了方程①中的a， ∴是方程②的解， 即﹣12+b＝﹣2， 解得b＝10， 又∵乙看错了方程②中的b， ∴是方程①的解， 即5a+20＝15， 解得a＝﹣1， ∴ ＝（﹣1）2019+（﹣1）2020 ＝﹣1+1 ＝0． 【总结提升】本题考查解二元一次方程组，理解方程组解的定义是正确解答的前提． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$