2025年中考数学高频考点复习：一次函数

2025届中考数学高频考点复习： 一次函数 · 考点回顾 1．一次函数的图象 （1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b． 注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象． （2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到． 当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移． 注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然； ②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减； ③两条直线相交，其交点都适合这两条直线． 2．正比例函数的图象 正比例函数的图像是经过坐标原点（0，0）和定点（1，k）两点的一条直线，它的斜率是k（k表示正比例函数与x轴的夹角大小），横、纵截距都为0，正比例函数的图像是一条过原点的直线． 3．一次函数的性质 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 4．正比例函数的性质 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数；[1] 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称．[1] 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 5．一次函数图象与系数的关系 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． ①k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限； ②k＞0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在一、三、四象限； ③k＜0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、四象限； ④k＜0，b＜0⇔y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 6．一次函数图象上点的坐标特征 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 7．一次函数图象与几何变换 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数） ①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b； （关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数） ②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b； （关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数） ③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b． （关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数） 8．待定系数法求一次函数解析式 待定系数法求一次函数解析式一般步骤是： （1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b； （2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组； （3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 9．一次函数与一元一次方程 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决．一元一次方程 的根就是它所对应的一次函数 函数值为0时，自变量 的值．即一次函数图象与x轴交点的横坐标． 10．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞． 11．两条直线相交或平行问题 直线y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合． （1）两条直线的交点问题 两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． （2）两条直线的平行问题 若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同． 例如：若直线y1＝k1x+b1与直线y2＝k2x+b2平行，那么k1＝k2． 12．一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． · 强化训练 一．选择题（共15小题） 1．小王的妈妈即将出国旅行．出发前，小王帮妈妈查询了当地的气温，抵达目的地当日气温是29-38华氏度（℉），我国常用的摄氏温标x（℃）和华氏温标y（℉）满足一次函数关系：，那么小王应建议妈妈抵达目的地时穿（　　） A．春季服装 B．夏季服装 C．秋季服装 D．冬季服装 2．一次函数y=kx+b（k＜0）与y=x+3交于点P（m,5），则关于x的方程kx+b=x+3的解为（　　） A．x=2 B．x=3 C．x=4 D．x=5 3．在平面直角坐标系中，将直线y=2x+6沿y轴向下平移2个单位长度后，得到的直线与坐标轴围成的三角形面积为（　　） A．6 B．4 C．9 D．8 4．如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA=2，OB=1，则关于x的方程kx+b=0的解为（　　） A．x=-1 B．x=1 C．x=-2 D．x=2 5．点A（x1，y1）和B（x2，y2）在一次函数y=kx+b的图象上，已知k+b=0，且当x1-x2＞0时，y1-y2＜0，则一次函数y=kx+b的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．关于函数y=-2x+1，下列结论错误的是（　　） A．图象必经过点（0，1） B．图象经过第一、三、四象限 C．图象与直线y=-2x+3平行 D．函数值y随x的增大而减小 7．已知一次函数y=kx-2（k≠0），y随x的增大而增大，则k的值可能是（　　） A．2 B．-1 C．-3 D．-4 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点C在y轴的负半轴上，将△ABC沿AC翻折，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处，则点C的坐标为（　　） A．（5，0） B．（-5，0） C．（0，6） D．（0，-6） 9．直线y=kx+b与直线y=kbx,它们在同一个坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 10．若点A（1，y1），点B（-2，y2），点C（3，2）都在一次函数y=kx+5的图象上，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．无法确定 11．甲、乙两人骑自行车匀速同向行驶，乙在甲前面300（m）处，同时出发去距离甲1200（m）的目的地，甲的速度比乙快．设甲、乙之间的距离为y（m），乙行驶的时间为x（s），y与x之间的关系如图所示，则C点的坐标为（　　） A．（200，160） B．（200，180） C．（240，160） D．（240，180） 12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，0），点B是直线y=x+2上任意一点，连接OB，将线段OB绕点O顺时针旋转90°得到线段OC．点D是y轴上一个动点，连接AC，AD，CD．当△ACD的周长最小时，点C的坐标为（　　） A． B．（1，1） C． D． 13．现代物流的高速发展，为乡村振兴提供了良好条件．某物流公司的汽车在城市道路上匀速行驶30km后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上匀速行驶30km到达目的地．已知汽车在城市道路的行驶速度是乡村道路行驶速度的2倍．汽车行驶的时间x（单位：h）与行驶的路程y（单位：km）之间的关系如图所示．以下说法正确的是（　　） ①汽车在乡村道路上行驶时间为1h ②汽车在乡村道路上行驶速度为40km/h ③汽车在高速路上行驶时间为2.5h ④汽车在高速路上行驶速度为85km/h A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 14．如图，直线l1的解析式为y=-x+2，与x轴交于点B，直线l2经过点D（0，5），与直线l1交于点C（-1，m），且与x轴交于点A，在l2上存在一点P，使△ABP的面积是△ABC面积的，则P点的坐标为（　　） A． B． C．或 D．或 15．如图，已知点P（6，2），点M，N分别是直线l1：y=x和直线l2：上的动点，连接PM，MN．则PM+MN的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 二．填空题（共5小题） 16．一次函数y=kx+5图象不过第三象限，写出满足条件的k的一个值 ______． 17．如图，一次函数y1=kx-m（k、m是常数，且k≠0），y2=-x+n的图象交于点P（3，2），则关于x的不等式（k+1）x＞m+n的解集为 ______． 18．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），直线与x轴，y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为 ______． 19．在平面直角坐标系xO中，已知△ABC顶点坐标分别为点A（1，0）、B（5，0），C（3，4），l1是过点M（2，0）与x轴垂直的直线．若直线上存在点Q，使点Q关于直线l1的对称点在△ABC的内部或边上，则b的取值范围是 ______． 20．如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…An在x轴上，B1、B2、B3…Bn在直线上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A2024B2024A2025都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S2025．则S2025可表示为 ______． 三．解答题（共6小题） 21．设一次函数y=kx+b（k,b为常数，k≠0）的图象过A（1，3），B（-5，-3）两点． （1）求该函数表达式； （2）若点C（a+2，2a+1）在该函数图象上，求a的值； （3）设点P在y轴上，若S△ABP=15，求点P的坐标． 22．甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销，甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折． （1）以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数关系式； （2）当商品的原价为250时，在哪家商场通过打折后更划算？ （3）当商品的原价为多少元时，两家商场打折后的价格相同． 23．如图，直线y=kx+6（k≠0）与x轴、y轴分别交于点E、F，点E的坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0）． （1）求k的值； （2）若点P（x,y）是直线y=kx+6（k≠0）在第二象限内的一个动点，在点P的运动过程中，试写出△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）在（2）的情况下，当点P运动到什么位置时，△OPA的面积为？ 24．如图，已知直线y=-2x+8与坐标轴分别交于A，B两点，与直线y=2x交于点C． （1）若点P在y轴上，且，求点P的坐标； （2）若点M在直线y=2x上，点M横坐标为m,且m＞2，过点M作直线平行于y轴，该直线与直线y=-2x+8交于点N，且MN=1，求点M的坐标． 25．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k为常数，k≠0）的图象由函数的图象平移得到，且经过点A（3，2），与x轴交于点B． （1）求这个一次函数的解析式及点B的坐标； （2）当x＞-3时，对于x的每一个值，函数y=x+m的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围． 26．五月是圣女果与羊角蜜成熟的季节，这两种水果深受人们的喜爱．水果经销商小明每次从两种水果的产地购进两种水果进行销售，圣女果的批发价为5元/千克，羊角蜜每千克的批发价根据购买量给予优惠．设小明购进羊角蜜x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示． （1）直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）若小明计划一次性购进圣女果、羊角蜜共100千克，且圣女果不少于45千克，但又不超过60千克，如何分配圣女果与羊角蜜的购进量，才能使小明付款总金额W（元）最少？ （3）在（2）的结论下，小明将圣女果与羊角蜜的销售价格分别定为7元/千克和10元/千克，当全部销售完两种水果时，小明决定将总利润的m%（m为正整数）捐赠给儿童福利院，捐赠后使总利润不低于256元，求m的最大值． 2025届中考数学高频考点复习：一次函数 (参考答案) 一．选择题（共15小题） 1、D 2、A 3、B 4、C 5、A 6、B 7、A 8、D 9、A 10、C 11、D 12、D 13、B 14、C 15、B  二．填空题（共5小题） 16、-1（答案不唯一）； 17、x＞3； 18、4； 19、-； 20、；  三．解答题（共6小题） 21、解：（1）根据题意得， 解得， ∴一次函数解析式为y=x+2； （2）把C（a+2，2a+1）代入y=x+2得2a+1=a+2+2， 解得a=3， 即a的值为3； （3）直线y=x+2与y轴交于点D，如图，则D（0，2）， 设P（0，t）， ∵S△ABD+S△ACD=S△ABD， ∴×|t-2|×（5+1）=15， 解得t=-3或t=7， ∴P点坐标为（0，-3）或（0，7）． 22、解：（1）根据题意得：y甲=0.9x,y乙=100+0.8（x-100）=0.8x+20； （2）当x=250时， y甲=0.9x=0.9×250=225； y乙=0.8x+20=0.8×250+20=220， ∴当商品的原价为250时，在乙商场通过打折后更划算； （3）由0.9x=0.8x+20得：x=200， ∴当商品的原价为200元时，两家商场打折后的价格相同． 23、解：（1）∵直线y=kx+6与x轴交于点E（-8，0）， ∴0=-8k+6， ∴； （2）∵， ∴直线的解析式为， ∵点P在直线上， ∴P点的坐标为， ∴OA边上的高是， ∴当点P在第二象限时，， ∵点A的坐标为（-6，0）， ∴OA=6． ∴S=（-8＜x＜0）． （3）∵， 当时，， 解得， 当时，， 故点P运动到点处时，△OPA的面积为． 24、解：（1）∵直线y=-2x+8与坐标轴跟别交于A，B两点， ∴A（0，8），B（4，0）， ∴OA=8， ∵点P在y轴上，且， ∴OP=OA=×8=4， ∴P的坐标为（0，4）或（0，-4）； （2）∵点M在直线y=2x上，点M横坐标为m,且m＞2， ∴M（m,2m），N（m,-2m+8）， ∵MN=1， ∴2m-（-2m+8）=1， ∴， ∴点M的坐标为． 25、解：（1）∵一次函数y=kx+b的图象由函数的图象平移得到，且经过点A（3，2）， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为y=x+1； 在y=x+1中，令y=0得0=x+1， 解得x=-3， ∴B的坐标为（-3，0）； （2）当x=-3时，y=x+m=-3+m,y=x+1=×（-3）+1=0， ∵当x＞-3时，对于x的每一个值，函数y=x+m的值大于一次函数y=x+1的值， ∴-3+m≥0， 解得m≥3， ∴m的取值范围是m≥3． 26、解：（1）当0≤x≤50时，设y与x的函数关系式为y=kx+b（k≠0）， 将（0，0），（40，240）代入y=kx+b得：， 解得：， ∴当0≤x≤50时，y与x的函数关系式为y=6x； 当x=50时，y=6×50=300． 当x＞50时，设y与x的函数关系式为y=mx+n（m≠0）， 将（50，300），（70，380）代入y=mx+n得：， 解得：， ∴当x＞50时，y与x的函数关系式为y=4x+100． 综上所述，y与x的函数关系式为y=； （2）∵小明计划一次性购进圣女果、羊角蜜共100千克，且圣女果不少于45千克，但又不超过60千克， ∴购进羊角蜜不少于40千克，又不超过55千克． 当40≤x≤50时，W=6x+5（100-x）， 即W=x+500， ∵1＞0， ∴W随x的增大而增大， ∴当x=40时，W取得最小值，最小值为40+500=540，此时100-x=100-40=60； 当50＜x≤55时，W=4x+100+5（100-x）， 即W=-x+600， ∵-1＜0， ∴W随x的增大而减小， ∴当x=55时，W取得最小值，最小值为-55+600=545，此时100-x=100-55=45． ∵540＜545， ∴当购进60千克圣女果、40千克羊角蜜时，小明付款总金额W（元）最少； （3）根据题意得：（7×60+10×40-540）（1-m%）≥256， 解得：m≤， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为8． 答：m的最大值为8． 学科网（北京）股份有限公司 $$