《公倍数与最小公倍数的应用》（讲义）-2024-2025学年五年级下册数学人教版

五年级数学下册《公倍数与最小公倍数的应用》讲义 一、考点梳理 （一）公倍数与最小公倍数的定义 ★公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。例如，4 的倍数有 4、8、12、16、20、24……，6 的倍数有 6、12、18、24、30……，其中 12、24 等就是 4 和 6 的公倍数。 ★最小公倍数：公倍数中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。如 4 和 6 的最小公倍数是 12。 （二）求最小公倍数的方法 ★列举法：分别列出几个数的倍数，找出它们公有的倍数，进而确定最小公倍数。以求 8 和 12 的最小公倍数为例，8 的倍数有 8、16、24、32、40……，12 的倍数有 12、24、36、48……，它们公有的倍数中最小的是 24，所以 8 和 12 的最小公倍数是 24。 ★分解质因数法：把这几个数分解质因数，相同的质因数取最多的个数，不同的质因数都要取，然后将这些质因数相乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。比如，8 = 2×2×2，12 = 2×2×3，8 和 12 公有的质因数是 2 个 2，8 独有的质因数是 1 个 2，12 独有的质因数是 1 个 3，那么 8 和 12 的最小公倍数就是 2×2×2×3 = 24。 ★短除法：先用这几个数的公因数去除，一直除到任意两个商互质为止，然后把所有的除数和最后的商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数 。 （三）最小公倍数的应用场景 在生活中，当需要将不同周期的事件或不同长度、数量的物品，按照相同的方式进行组合或安排时，常常会用到最小公倍数的知识。如推算日期、安排工作轮班、设计周期性活动等。 二、重点题型解析 例 1：推算日期问题 甲、乙两人去图书馆借书，甲每 4 天去一次，乙每 6 天去一次。如果 5 月 1 日他们在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？ 【解题思路】 甲每 4 天去一次，乙每 6 天去一次，他们下一次都到图书馆的时间间隔应该是 4 和 6 的最小公倍数。 方法一：列举法：4 的倍数有 4、8、12、16、20……，6 的倍数有 6、12、18、24……，4 和 6 的最小公倍数是 12。也就是说，他们每隔 12 天会在图书馆相遇一次。5 月 1 日相遇后，再过 12 天，即 5 月 13 日会再次相遇。 方法二：分解质因数法：4 = 2×2，6 = 2×3，4 和 6 公有的质因数是 1 个 2，4 独有的质因数是 1 个 2，6 独有的质因数是 1 个 3，所以 4 和 6 的最小公倍数是 2×2×3 = 12，同样得出 5 月 13 日他们会再次相遇。 方法三：短除法：用短除法对 4 和 6 进行计算，除数为 2，商分别为 2 和 3，将除数和商相乘 2×2×3 = 12，确定 12 天后他们再次相遇，也就是 5 月 13 日。 例 2：包装物品问题 把一些苹果平均装在若干个袋子里，如果每袋装 6 个，还多 2 个；如果每袋装 8 个，也多 2 个。这些苹果最少有多少个？ 【解题思路】 两种装法都多 2 个苹果，说明苹果总数减去 2 个后，既是 6 的倍数，也是 8 的倍数，即苹果总数减去 2 是 6 和 8 的公倍数。要求苹果最少有多少个，就是求 6 和 8 的最小公倍数，然后再加上 2。 先求 6 和 8 的最小公倍数，用分解质因数法，6 = 2×3，8 = 2×2×2，6 和 8 公有的质因数是 1 个 2，6 独有的质因数是 1 个 3，8 独有的质因数是 2 个 2，所以 6 和 8 的最小公倍数是 2×2×2×3 = 24。 再用最小公倍数加上 2，24 + 2 = 26（个），即这些苹果最少有 26 个。 三、巩固练习 （一）基础题 学校组织五年级学生参加义务劳动，人数在 40 到 60 人之间。若分成 4 人一组，5 人一组或 8 人一组，都恰好分完。五年级参加义务劳动的学生有多少人？ 【分析】本题考查在一定人数范围内，求 4、5、8 这三个数的公倍数。解题关键在于先求出这三个数的最小公倍数，再找出在指定范围内的公倍数。 王老师给学生们买奖品，无论是分给 9 名同学，还是分给 12 名同学，都能正好分完。王老师至少要买多少份奖品？ 【分析】该题是求 9 和 12 的最小公倍数，以此确定王老师购买奖品的最少份数，可运用求最小公倍数的多种方法解题。 （二）进阶题 有一盒巧克力豆，平均分给 3 个人余 1 颗，平均分给 4 个人也余 1 颗，平均分给 5 个人还是余 1 颗。这盒巧克力豆至少有多少颗？ 【分析】这表明巧克力豆的总数减去 1 颗后，是 3、4、5 的公倍数。要求巧克力豆至少有多少颗，需先求出 3、4、5 的最小公倍数，再加上 1。 五年级学生参加团体操表演，8 人一排少 3 人，10 人一排也少 3 人。五年级参加团体操表演的学生至少有多少人？ 【分析】说明学生人数加上 3 人后，是 8 和 10 的公倍数。求至少有多少人，即求 8 和 10 的最小公倍数，再减去 3。 （三）拓展题 甲、乙、丙三人在环形操场上跑步，甲跑一圈需要 3 分钟，乙跑一圈需要 4 分钟，丙跑一圈需要 6 分钟。三人同时从起点出发，经过多长时间三人又同时回到起点？此时他们各跑了几圈？ 【分析】三人再次同时回到起点的时间，就是 3、4、6 的最小公倍数。求出最小公倍数后，用其分别除以三人跑一圈所需的时间，就能得到各自跑的圈数。 在一条长 240 米的街道一侧安装路灯（两端都装），最初每隔 5 米安装一盏，后来改为每隔 8 米安装一盏。不用重新安装的路灯有多少盏？ 【分析】本题考查 5 和 8 的公倍数在实际距离中的应用。先求出 5 和 8 的最小公倍数，再用街道总长度除以最小公倍数，最后加上起点处的一盏路灯，就是不用重新安装的路灯数量。 某公共汽车站有三条线路的公共汽车。第一条线路每隔 5 分钟发车一次，第二条线路每隔 10 分钟发车一次，第三条线路每隔 6 分钟发车一次。三条线路在上午 6：30 同时发车，下一次同时发车是什么时间？ 【分析】下一次同时发车的时间间隔是 5、10、6 的最小公倍数。求出这个时间间隔后，在初始发车时间的基础上加上该间隔，就能得到下一次同时发车的时间。 参考答案 （一）基础题 4 = 2×2，5 = 1×5，8 = 2×2×2，所以 4、5、8 的最小公倍数是 2×2×2×5 = 40。在 40 到 60 人之间，4、5、8 的公倍数只有 40，所以五年级参加义务劳动的学生有 40 人。 9 = 3×3，12 = 2×2×3，9 和 12 的最小公倍数是 2×2×3×3 = 36，所以王老师至少要买 36 份奖品。 （二）进阶题 3、4、5 两两互质，它们的最小公倍数是 3×4×5 = 60，所以这盒巧克力豆至少有 60 + 1 = 61 颗。 8 = 2×2×2，10 = 2×5，8 和 10 的最小公倍数是 2×2×2×5 = 40，所以五年级参加团体操表演的学生至少有 40 - 3 = 37 人。 （三）拓展题 3、4、6 的最小公倍数是 12，即经过 12 分钟三人又同时回到起点。甲跑了 12÷3 = 4 圈，乙跑了 12÷4 = 3 圈，丙跑了 12÷6 = 2 圈。 5 和 8 的最小公倍数是 40，240÷40 = 6，再加上起点的 1 盏，不用重新安装的路灯有 6 + 1 = 7 盏。 5 = 1×5，10 = 2×5，6 = 2×3，5、10、6 的最小公倍数是 2×3×5 = 30，即 30 分钟后三条线路再次同时发车。6 时 30 分 + 30 分 = 7 时，所以下一次同时发车是上午 7：00。 学科网（北京）股份有限公司 $$