精品解析：浙江省湖州市南太湖双语学校2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试卷

湖州市南太湖双语学校2024-2025学年第二学期第一次月考 高一数学试卷 命题人：王佳爽 审题人：高兴发 班级_____ 姓名_____ 考试时间：120分钟 满分：150分 考生须知： 1.本卷共4页，答题前在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；考试结束后，只需上交答题纸. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知平面向量，，若，则k＝（ ） A. B. 6 C. D. －6 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示进行求解. 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：A. 2. 已知复数，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义即可得到答案. 【详解】由题意得在复平面内对应的点为， 则其位于第二象限. 故选：B. 3. 若向量 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算向量的夹角余弦值，可判断A;计算向量的数量积，可判断B;根据向量共线的坐标表示，可判断C;计算的模，判断D. 【详解】向量, 故 ，故A错误； ，故B错误； 由可得， ，故C错误； ，故，故D正确， 故选：D 4. 在中，点为BC边上一点，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，过点P作PD∥AB，交AC于点D，作交AB于点，然后结合平面向量的线性运算及平面向量基本定理，即可得到结果． 【详解】如图，过点P作PD∥AB，交AC于点D，作交AB于点E， ∵，∴， ∴，∴， ∴， ∴ 故选：C． 5. 已知，为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（ ） A. 2 B. C. -2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线定理求解. 【详解】因为与平行，所以存在实数使， 所以，由，解得. 故选：C. 6. 在复数范围内方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题设得，即可求复数解. 【详解】由题设. 故选：C 7. 若中，，则此三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数和与差的正弦公式，即可判断三角形的形状. 【详解】中，， 已知等式变形得， ， 即， 整理得，即， 或（不合题意，舍去）． ，， 则此三角形形状为直角三角形． 故选：A 8. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为（ ） A. B. 80 C. 160 D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用正弦定理求出的值，再利用余弦定理求解即可. 【详解】如图所示： 在△中，，，， ，由正弦定理，得，解得， 在△中，，， ， ，则， 在△中，由余弦定理，得 ，解得， 即,两点间的距离为， 故选：． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，（是虚数单位），则以下命题正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. ，是方程的两个根 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的四则运算法则求出，根据复数的基本概念逐项判断即可． 【详解】由题意，. 对于A，，故A正确； 对于B，的虚部为，故B错误； 对于C，复数的共轭复数，故C正确； 对于D，将代入方程可得，， 同理，将代入方程可得，， 所以，，是方程的两个根，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知是平面内的一个基底，则下列也是平面内一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量是否共线即可结合选项判断. 【详解】对于A，由于，故共线，不能成为基底， 对于B，不共线，可以作为基底， 对于C，由于，所以共线，故不可以作为基底， 对于D，不共线，可以作为基底， 故选：BD 11. 如图，已知梯形中，，，点，分别为线段，上的动点，，点为线段中点，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 若为的外心，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据梯形的中位线即可判断A；利用平面向量夹角的坐标表示和几何意义计算即可判断BC；如图，根据三角形全等的判断方法证明，进而证明、为正三角形，结合外心的定义即可判断D. 【详解】A：当时，分别是的中点， 则，所以，故A正确； B：连接，则为正三角形，得， 建立如图平面直角坐标系， 则， 所以， 有， ， 所以，故B正确； C：由选项B知，， 所以， 所以，故C错误； D：在上取，使得，连接，， 则， 所以，得， 又，所以， 即，则为正三角形，得， 同理可得为正三角形，得，所以， 即为的外心，所以，即，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：解答选项D的关键是在上取，利用三角形全等的判断方法证明、为正三角形，得到即为所求. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量、的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为_______．（用向量坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】结合投影向量的公式，即可求解． 【详解】因为，所以， 因为平面向量、的夹角为，且， 则在方向上的投影向量为. 故答案为：. 13. 若的面积为，则边长AB的长度等于______ 【答案】 2 【解析】 【分析】由三角形面积公式求得，判断为正三角形，从而可得结果. 【详解】， ， 所以，又因为，， 所以，为正三角形，， 故答案为2. 【点睛】本题主要考查三角形面积公式的应用，以及正三角形的性质，属于基础题. 14. 设，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的定义设的代数式，利用复数的加减运算结合模长计算可得到参数间的关系，再利用基本不等式可求得最值. 【详解】设，因为，即， 所以，则，解得 所以，当且仅当，即时等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 实数取什么值时，复数是下列数？ （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数. 【答案】（1）或; （2）且； （3）. 【解析】 【分析】根据复数的概念分别列等式求解即可. 【小问1详解】 当复数是实数时，，解得或； 【小问2详解】 当复数是虚数时，，解得且； 【小问3详解】 当复数是纯虚数时，则，解得. 16. 已知，，且与的夹角. （1）求； （2）若与平行，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量模长计算公式，结合向量数量积计算公式，计算即可； （2）利用向量共线定理求解. 【小问1详解】 由题意，， 所以 【小问2详解】 因为与平行，所以存在实数使得， 则有，解得 所以， 17. 已知复数z与均为纯虚数． （1）求z； （2）若是关于x的方程的一个根，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，化简，根据其为纯虚数可得，即可求得答案； （2）利用（1）的结论可得为方程的一个根，代入化简结合复数相等，可列出方程组，求得答案. 【小问1详解】 设，则由题意得， 由为纯虚数，得 解得 ， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知为方程的一个根， ∴， 整理得， ∴，得. 18. 的内角的对边分别为，已知 （1）求； （2）若点在上，且满足，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换，结合三角形内角的取值范围、特殊角的三角函数值求解即可； （2）利用向量的线性运算、余弦定理、基本不等式、三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， ， ， ， ， ， ， ， . 【小问2详解】 ， ， ， 又， ， ， ，当且仅当时，等号成立， 的面积， 即面积的最大值为. 19. 如图，在中，已知，BC边上的中点为M，AC边上的中点为N，AM，BN相交于点P． （1）求； （2）求的余弦值； （3）过点P作直线交边AB，BC于点E，F，求该直线将分成的上下两部分图形的面积之比的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）建立平面直角坐标系，利用向量的夹角的坐标运算求解； （3）设出线段的比例关系，用向量共线的条件转化，消去变量求范围即可. 【小问1详解】 在中，， 由余弦定理得， 解得，（负值舍去） 故； 【小问2详解】 以为坐标原点建立平面直角坐标系，得，设， 由两点距离公式得，， 解得，（负根舍去）， 所以，又BC边上的中点为M，AC边上的中点为N，则，， 所以， 则； 【小问3详解】 由已知得为的重心，则，设， 则，又点在直线上， 所以，即，又， 所以， 所以，， 所以，， 所以， 所以上下两部分图形的面积之比， 因为， 所以，即上下两部分图形的面积之比的取值范围为. 【点睛】关键点点晴:本题解题关键是将已知向量合理转化，然后表示出的关系，将面积比表示为一元函数，进而得到所要求的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖州市南太湖双语学校2024-2025学年第二学期第一次月考 高一数学试卷 命题人：王佳爽 审题人：高兴发 班级_____ 姓名_____ 考试时间：120分钟 满分：150分 考生须知： 1.本卷共4页，答题前在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；考试结束后，只需上交答题纸. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知平面向量，，若，则k＝（ ） A. B. 6 C. D. －6 2. 已知复数，则在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若向量 ，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，点为BC边上一点，且，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 已知，为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（ ） A. 2 B. C. -2 D. 6. 在复数范围内方程的解为（ ） A. B. C. D. 7. 若中，，则此三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为（ ） A. B. 80 C. 160 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，（是虚数单位），则以下命题正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. D. ，是方程的两个根 10. 已知是平面内的一个基底，则下列也是平面内一个基底的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知梯形中，，，点，分别为线段，上的动点，，点为线段中点，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 若为的外心，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量、的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为_______．（用向量坐标表示） 13. 若的面积为，则边长AB的长度等于______ 14. 设，且，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 实数取什么值时，复数是下列数？ （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数. 16. 已知，，且与的夹角. （1）求； （2）若与平行，求的值. 17. 已知复数z与均为纯虚数． （1）求z； （2）若是关于x的方程的一个根，求实数的值． 18. 的内角的对边分别为，已知 （1）求； （2）若点在上，且满足，求面积的最大值. 19. 如图，在中，已知，BC边上的中点为M，AC边上的中点为N，AM，BN相交于点P． （1）求； （2）求的余弦值； （3）过点P作直线交边AB，BC于点E，F，求该直线将分成的上下两部分图形的面积之比的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $