2024-2025学年青岛市黄岛区九年级数学自主招生考试模拟试题

2024-2025学年青岛市黄岛区 九年级数学自主招生考试模拟试题 一、单选题 1．已知x为实数，且，那么的值为（   ） A．1 B．-3或1 C．3 D．-1或3 2．下表是某校合唱团成员的年龄分布 年龄/岁 频数 对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（   ） A．平均数、中位数 B．众数、中位数 C．平均数、方差 D．中位数、方差 3．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：“a※b”＝，则1※2+2※3+3※4+…+2017※2018的值为（　　） A． B． C． D．﹣ 4．反比例函数的图像上有一点A（，）， 点O为坐标原点，将直线OA绕点A逆时针旋转，交双曲线于点B，则点B的坐标为（    ） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 5．已知两地相距300千米，甲骑摩托车从地出发匀速驶向地，当甲行驶1后，乙骑自行车以 的速度从地出发匀速驶向地.甲到达地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙.在此过程中，甲、乙两人之间的距离（）与甲行驶时间之间的函数关系如图所示.下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点的纵坐标为240；③线段所在直线的解析式为；④当时，甲、乙两人之间相距60千米.其中说法正确的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 6．如图（1），一只圆形平盘被同心圆划成M，N，S三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在M，N，S三个区域的豆子数的比．多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动．如图（2）将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分．我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．设，，则的值等于 . 8．如图，是等边三角形，是的外心，外接圆半径为，分别以，，为圆心，，，为半径作弧交的三边于点，，，，，，则阴影部分的面积为 ． 9. 桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面任意一边的黑点，则B球一次反弹后击中A球的概率是（　　） 10．如图，在中，，点E为上的动点，点F为边的中点，点D为内一动点，且满足，则的最小值是 ． 11．如图，在矩形中，的角平分线交于点，，交于点，以，为边，作矩形，与相交于点．若，，则 ． 12．如图，在矩形中，，，点是边上一动点，关于的对称点为，过点作于点，连接，若为等腰直角三角形则的长为 ．    二、解答题 13． 已知，是关于的方程的两个不等实数根． (1)求实数的取值范围： (2)已知等腰的一边长为，若、恰好是另外两边长，求这个三角形另外两边的长． 14．如图，O是的外接圆，是的直径，点D是延长线上一点，过点D作，分别交的延长线于点E、F，若点E恰是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 15．为推进城乡教育均衡发展，我市某公益组织决定向某偏远乡镇学校的教育事业提供大力支持．他们精心准备了一批书籍和实验器材，共计360套，其中书籍的数量比实验器材多了120套，以更好地满足学生的阅读需求． (1)求这批物资中书籍和实验器材各有多少套？ (2)为了将这些书籍和实验器材安全、高效地运送到目的地，该公益组织计划同时租用甲、乙两种型号的货车共8辆．每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套．请问他们有哪几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，已知甲种型号的货车每辆需付运费1000元，而乙种型号的货车每辆需付运费900元．请你帮助该组织推荐一种能使运费最少的租车方案，并求最少运费是多少元？ 16．综合与探究 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线．        (1)求抛物线的解析式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若线段上有一点Q，则的最小值为 ． (4)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请写出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】设，方程变形后，求出y的值，再检验即可确定所求式子的值． 【详解】解：设，方程变形为， 去分母得：，即， 分解因式得：， 解得：或， 经检验与都为分式方程的解， 则的值为-3或1， 故选：B． 【点睛】本题考查了换元法解分式方程，当分式方程比较复杂时，可采用整体思想换元，使方程简化，注意检验． 2．B 【分析】本题考查众数的概念，中位数的概念，熟练掌握相关知识是解题的关键； 由频数分布表可知后两组的频数和为，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第、个数据的平均数，可得答案． 【详解】解：由表可知，年龄为岁与年龄为岁的频数和为， 则总人数为：， 故该组数据的众数为岁，中位数为：（岁）， 即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数， 故选：B 3．D 【详解】分析：根据新定义的运算法则，直接带入数值计算即可. 详解：由新定义可得： 1※2＋2※3＋3※4＋…＋2017※2018 = =-（1-+++…+） =-（1-） =-. 故选D. 点睛：此题主要考查了新定义下的分式的代入求值，根据⊕的运算定义代入数据求值即可.属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过新运算的定义利用新运算解决问题是关键． 4．D 【分析】过点A作轴于点C，过点B作于点D，可证明 ，得到，用待定系数法求得反比例函数解析式，设出B（，），分别表示出BD、AD， 代入计算可得答案． 【详解】如图，过点A作轴于点C，过点B作于点D 由题意得 反比例函数的图像上有一点A（，） ， 设B（，） 化简得 解得 （舍去） （，） 故选：D． 【点睛】本题属于反比例函数与几何的综合题目，考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等，准确的作出辅助线是解题的关键． 5．D 【分析】①根据题意,两人距离y为时间x的函数,由图象可知两人起始距离为300km,甲走4小时时两车相遇,由此即可求得甲的速度为每小时60km；进一步求出甲到B地的时间为5小时,甲原路返回直到追上乙时,比乙多走300km,列方程解答即可；②当甲行驶1小时时,两人的距离等于300km减去甲1小时走的路程,即可得到P的纵坐标；③从两人相遇到甲到达B时用1小时,M的横坐标为5,此时两人距离等于两人一小时走的路程和,即可求出M的纵坐标,由Q,M的坐标即可求出线段QM所在直线的解析式；④分别计算当x=,,时,甲、乙两人之间距离即可． 【详解】解：①(300−20×3)÷4=60(km/h)， 300÷60=5(小时)， 设甲最终追上乙时乙行驶了a小时,由题意得：60(a+1)−300=20a， 解得：a=6，故①错误； ②300−60×1=240(km)，所以P的纵坐标为240，②正确； ③20+60=80(km)，所以M坐标为(5,80)，又因为Q的坐标为(4,0)， 设线段QM所在直线的解析式y=kx+b， 解得：， 所以y=80x−320③错误; ④x=时,300−60×−20×(−1)=60(km)； x=时,(20+60)×(−4)=60(km)； x=时,20×(−1)−(60×−300)=60(km),④正确; 综上所述：②④正确. 故答案为D． 【点睛】本题考查了同学们从图像中获取信息解决问题的能力及数形结合的思想,关键是从图像中获取到正确的信息,并能应用信息解决问题． 6．A 【分析】本题考查几何概率，掌握几何概率就是求几何图形的面积比是解题的关键，设小圆的半径为r，则大圆的半径为，设，根据勾股定理求出，然后解出M部分面积与整个圆面积的比即为概率． 【详解】解：如图，设小圆的半径为r，则大圆的半径为，设， ， ∴， 解得：，， ∴M部分面积与整个圆面积的比：， ∴等于， 故选A． 【详解】试题解析：由图可知可以瞄准的点有2个． ． ∴B球一次反弹后击中A球的概率是. 7． 【详解】试题分析：由可判断，再构造，最后把整体代入化简即可. ∵ ∴ ∵ ∴ ∴. 考点：代数式求值 点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，学生要特别慎重，尽量不在计算上失分. 8． 【分析】 本题主要考查三角形外心的定义、等边三角形的性质、正多边形的中心角的定义、勾股定理、扇形的面积公式等知识，连接、、，则，由等边三角形的性质得，，则，延长交于点，则，所以，则，，所以，即可由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】 解：连接、、，则， 是等边三角形， ，， ， 平分， 延长交于点，则， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 9. 【详解】试题解析：由图可知可以瞄准的点有2个． ． ∴B球一次反弹后击中A球的概率是. 10．/ 【分析】本题考查最短路线问题，理解轴对称的性质，分析点D的运动轨迹是解题关键．以为底边，在异于点C的另一侧作等腰，使，则点D在上运动，然后作点F关于的对称点，连接，利用轴对称的性质及勾股定理求解． 【详解】解：在中，， ， ， ， 以为底边，在异于点C的另一侧作等腰，使，则点D在上运动， ， 作于点H， ， ， 作点F关于的对称点，连接， 当点O、D、E、四点共线时，有最小值， 点F为边的中点，， ， 在中，， 的最小值为， 故答案为：． 11． 【分析】 本题主要考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，推导出结合矩形推导出四边形为正方形，然后利用推导出 进而得到，代入数据得到，再根据正方形的性质即可求出，熟练掌握正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及应用是解题的关键． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ， 在中，， 在和中， ， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵ ∴， ， ∴， ， ， ， 故答案为：． 12． 【分析】 作于点，由为等腰直角三角形，可证明四边形是正方形，则，即可在中根据勾股定理得，得，则，可证明、、三点在同一直线上，则，所以，得． 【详解】解：作于点，则，    ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴由折叠得，， ∵于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、、三点在同一直线上， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 13．(1) (2)， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与判别式之间的关系，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，解一元一次不等式，解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与判别式之间的关系是解题的关键． （1）由根的判别式即可得出答案； （2）由题意得出方程的一个根为，将代入求出的值，再根据三角形三边之间的关系进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：； （2）解：由题意可知：， 只能取或，即是方程的一个根， 将代入得：， 解得：或， 当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，能构成一个等腰三角形； 当时，方程的另一个根为，此时三角形三边分别为，，，不能构成一个三角形； 综上所述，这个三角形另外两边的长分别为，． 14．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，可得，从而可得，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，然后利用等腰三角形的性质可得，最后利用平角定义求出，即可解答； （2）连接，根据已知可得，从而可得，然后证明是等边三角形，可得，根据，可得，从而可得，即可得是等边三角形，最后利用的面积减去扇形的面积进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵点E是的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， 从而， ∴， 即． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， 由（1）知：， ∵， ， ∴． ∴， ∴． ∵，E是的中点， ∴， ∴． ∴． 由得是等边三角形，从而． 在中，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 15．(1)240套；120套 (2)4种；方案见解析 (3)租甲种型号的车1辆，乙种型号的车7辆；7300元 【分析】本题主要考查了利用二元一次方程组和一元一次不等式组解决实际问题，找到题目中的等量关系和不等关系是解题的关键． （1）设书籍和实验器材分别为x、y套，根据“书籍和实验器材，共计360套，其中书籍的数量比实验器材多了120套”列方程组求解即可； （2）设安排甲型号的货车a辆，则安排乙型号的货车辆，根据“每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套”列不等式组求解即可； （3）分别计算出（2）中各方案的费用，然后比较即可． 【详解】（1）解：设书籍和实验器材分别为x、y套． 根据题意得：， 解得：， 故书籍和实验器材分别为240套，120套． （2）解：设安排甲型号的货车a辆，则安排乙型号的货车辆． 根据题意得： 解得：， 又∵a取整数， ∴，2，3，4 ，6，5，4， ∴共有4种方案，如下： 方案一：甲1辆，乙7辆； 方案二：甲2辆，乙6辆； 方案三：甲3辆，乙5辆； 方案四：甲4辆，乙4辆； （3）解：方案一所需运费：（元）， 方案二所需运费：（元）， 方案三所需运费：（元）， 方案四所需运费：（元）， 故推荐选择方案一，租甲种型号的车1辆，乙种型号的车7辆时，所付运费最少，最少运费是7300元． 16．(1) (2)四边形面积S的最大值为12.5， (3) (4)存在， P点的坐标为 【分析】（1）先求得A、C、B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进而求得结果． （2）作于F，交于E，根据点D和点E坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，即可解答． （3）过点C作轴，连接交y轴于点Q，当时， 的和最小值，，，设， 得，即可解答． （4）根据菱形的性质可得，进而求得点P的坐标． 【详解】（1）当时，， ∴ 当时，， ∴， ∴ ∵对称轴为直线， ∴ 设抛物线表达式： ∴ 解得， ∴抛物线的表达式为： （2）作于F，交于E，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 当时，， ∴ （3）过点C作轴，连接交y轴于点Q，    当时， 的和最小值， 设，， ∴， ∴， 即， 设， ∴， 解得，， ∴， ∴ （4）存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， 理由如下：设， ∵以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，菱形的性质，熟练运用数形结合的数学思想是解题的关键． 答案第8页，共17页 答案第7页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$