精品解析：江西省抚州市临川第三中学2025届高三（实验部）上学期1月模拟考试数学试题

2024—2025学年高三年级1月模拟考试（实验部） 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据真数大于0表示集合，解一元二次不等式化简集合，利用集合的基本运算确定答案. 【详解】由得，，故， 由得，或，故或， ∴，∴. 故选：A. 2. 若复数为实数，则复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘法运算及虚部概念即可求解； 【详解】， ， 则复数的虚部为2． 故选：B． 3. 已知平面向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件求得，再由平面向量的夹角公式即可求解. 【详解】由，， ． 故选：D． 4. 设函数满足，当时，，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式和特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】因为函数满足，当时，， 所以 ， 故选：C 5. 已知，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件的并事件的概率加法公式，条件概率公式，独立事件的概率公式即可求解. 【详解】, 即，解得. 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式和和差角公式化简等式求得的值，从而知道的值，然后得到的值. 【详解】，， ，可得， ，． 故选：A． 7. 已知过抛物线的焦点作斜率1的直线交于两点，，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】设交点坐标，写出直线方程，联立方程组得到一元二次方程，由韦达定理得到和与的关系，然后借助向量的数量积建立方程，解得的值，最后由交点弦长公式求得. 【详解】设， 由题意知的方程为， 联立得， ，， ， 由，得， 即， ，解得 ． 故选：C． 8. 在直四棱柱中，底面为菱形且，，若平面过点且与平行，点在平面内且满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得出轨迹为椭圆，再应用正弦定理得出，最后结合圆的性质得出最小值即可. 【详解】在直四棱柱中，底面为菱形且，所以， 又因为，所以， 因为，且， 所以点在以的一边为旋转轴，为底面半径的圆锥的侧面上， 因为平面过点且与平行，点在平面上，所以点的轨迹为平面与圆锥的侧面的交线，其轨迹为椭圆，易知， 延长交圆锥侧面于另一点，由正弦定理，， 解得椭圆的长轴长为，设点在平面的射影为，点在上且， 所以点为椭圆的中心，椭圆的短轴长为过点与圆锥底面平行的平面所截的圆面的一条弦， 设该圆的半径为，则，圆心到短轴的距离为， 故短轴长，所以． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于下列命题，说法正确的是（ ） A. 若为奇函数，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题，则命题的否定为 D. 已知数据，则这组数据的分位数是78 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由奇函数的概念可判断，对于B，由得到或，可判断，对于C，由特称命题的否定为全称命题即可判断，对于D，由百分位数的概念求解即可判断； 【详解】若是奇函数且在处有定义，则，A错误； 由得，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件，B正确； 命题，则命题的否定为，C正确； 将数据从小到大排序为72，75，75，78，79，85，86，87，87，90，这组数据的分位数是第4个数与第5个数的平均数，即，D错误． 故选：BC． 10. 已知双曲线的左，右焦点分别是，其中的一条渐近线方程为，过的直线交于两点，则（ ） A. 的离心率为 B. 若，则的周长为 C. 若的斜率为1，则的面积为 D. 若为的右支上两点，则直线的斜率 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由焦距、渐近线方程即可求解，对于B，通过两点在一支上或两支上即可判断，对于C，联立直线、双曲线方程，结合韦达定理及面积公式即可判断，对于D，借助渐近线斜率即可判断. 【详解】因为的一条渐近线方程为，所以，由题知，，故A正确； 当为的右支上两点时，由双曲线的定义得的周长为， 当分别为的左，右两支上两点时，的周长为，故B错误； 由题意的方程为，与联立得，所以， 所以，故C正确； 因为为的右支上两点，所以或，故D正确． 故选：ACD． 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且的图象关于点对称，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 的图象关于点对称 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据求导即可求解A，根据奇偶性的定义即可求解B，利用假设法得矛盾求解C，根据对称性可得，进而可得，从而可得求解D. 【详解】由，可得，则， 令，得，A正确． 令，则，故为偶函数，B正确． 假设的图象关于点对称，则，则，即关于直线对称，又不是常函数，这与的图象关于点对称矛盾，假设不成立，C不正确． 因为的图象关于点对称，所以，令，则， 则（C为常数），则， 从而，即， 由，得，D错误． 故选：AB． 【点睛】关键点点睛：根据对称得，进而可得，求导可得，从而得. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某中学高一有学生人，其中男生人，现采用分层抽样的方法从中抽取人，对他们的身高进行了统计．若男生身高的平均数和方差分别为和，女生身高的平均数和方差分别为和，据此可以估计该校高一年级学生的平均身高是__________，总体方差为__________．（答案保留一位小数） 【答案】 ①. 165.2 ②. 51.5 【解析】 【分析】利用男、女生身高的平均数计算总体身高的平均数，利用方差的定义推导出总体方差公式，代入数据可得结果. 【详解】由题意得，高一男生人，女生人，男、女生人数比为：，所以样本中男生23人，女生27人． 记男生身高为，平均数为，方差为， 女生身高为，平均数为，方差为， 记总体平均数为，方差为， 则， 根据方差的定义，总体方差为： 由可得， 同理可得：， 所以 . 故答案为：165.2，51.5. 13. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与曲线C的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，表示其他边长，利用双曲线定义可得，在和中分别利用余弦定理可得的关系，即可求出双曲线的离心率. 【详解】 如图，设，则， 由双曲线定义得，，， ∴，故. 在中，， 在中，， ∵， ∴，故，即， ∴曲线C的离心率． 故答案为：. 14. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】证明函数为偶函数，利用导数判断函数在上的单调性，结合函数性质将条件转化为恒成立，结合二次函数性质列不等式求的范围. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以为偶函数， 又当时，，， 所以， 所以在上单调递增， 所以不等式对任意恒成立， 转化为，即， 所以且在上恒成立， ①若在上恒成立，则，解得； ②若在上恒成立，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，内角的对边分别为，，过点作，交线段于点，且． （1）求的大小； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解即可； （2）利用正弦定理和三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为，，所以，解得， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 由第（1）问可知， 又因为，所以， 所以在中由正弦定理， 解得， 又因为，所以， 所以的面积． 16. 树人中学高一年级围棋队有运动员3名，其中种子选手2名；高二年级围棋队有运动员5名，其中种子选手3名，现从这8名运动员中随机选择4人去阳光中学参加校际友谊赛． （1）设为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个年级”，求事件发生的概率； （2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列及均值． 【答案】（1） （2）分布列： 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可； （2）由题意随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，利用古典概型的概率公式求出对应的概率即可求出分布列，进而求均值即可. 【小问1详解】 由己知得基本事件的个数为：， 事件包含的基本事件个数为 故事件发生的概率. 【小问2详解】 由题意随机变量的所有可能取值为1，2，3，4， ， ， 随机变量的分布列为 1 2 3 4 . 17. 如图1，在平行四边形中，，将沿直线翻折成如图2所示的四棱锥，使得． （1）证明：平面平面； （2）在的延长线上取一点，使得，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：且四边形为平行四边形，， ，由平行四边形性质得． 取的中点，连接，则，且且， 为二面角的平面角， 又， 平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据二面角的定义得出二面角的平面角，结合勾股定理计算即可证明； （2）应用空间向量法分别计算平面及平面的法向量，即可求出二面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 由令得， 设平面的一个法向量为， 则令得． 设平面与平面所成的夹角为， 则， 平面与平面的夹角的余弦值为． 【点睛】 18. 已知为坐标原点，椭圆的短轴长为2，左，右焦点分别为，为上一动点，且当轴时，． （1）求的标准方程； （2）延长交于点，若直线的斜率为，线段的中点为，过作的垂线，直线与相交于点．证明：点在定直线上； （3）过点且与相切的直线交椭圆于两点，射线交于点，探究的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明如下： 设的中点为，直线的方程为， 联立方程组化简得， 可得，代入直线的方程得． 点的坐标为直线的方程为． 由题意直线的方程为． 联立解得即， 点在定直线上． （3）是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）由短轴和焦半径得到椭圆的的值，从而得到椭圆方程； （2）设的中点坐标和直线的方程，联立直线与椭圆方程得到一元二次方程，由韦达定理得到中点的横坐标，代入直线方程得到中点纵坐标，从而求得直线方程，在联立两直线方程求得交点坐标即可； （3）首先分类讨论切线斜率不存在、切线斜率为0，和切线斜率存在且不为0.斜率存在且不为0时，设出直线方程，联立切线和椭圆的方程整理得到一个关于的一元二次方程，由相切得到参数的关系，得到点的坐标.然后得到直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程求得交点的横坐标与点横坐标的关系，找到的关系.设交点坐标，联立切线方程和椭圆得到一元二次方程，由韦达定理求得的值，由坐标系中三角形面积公式求得，从而求得. 【小问1详解】 的短轴长为，又轴， ， 的标准方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当直线的斜率不存在时，， 由对称性不妨令，则， 此时， 由题可得， 故； ②当直线的斜率为0时，， 由对称性不妨令，则， 此时， 由题可得， 故； ③当直线的斜率存在且不为0时，设． 联立， 得，① ， ，则直线的方程为， ， 由题可得，位于轴两侧，故．即， 设，将直线代入椭圆的方程， 可得， 则有， 所以，将①代入得， 由直线与轴交于， 则． 故． 综上，的面积为定值． 【点睛】思路点睛，直线与椭圆交点问题，首先需要讨论直线的斜率不存在或者斜率为0两种特殊情况，然后再讨论斜率存在且不为0的情况.然后分别求出对应情况时三角形的面积即可. 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在使得，则称与为“契合函数”． （1）判断函数和是否为“契合函数”； （2）若函数和不为“契合西数”，求的取值范围； （3）若函数和在区间上为“契合函数”，求的取值范围． 【答案】（1）与为“契合函数” （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用“契合函数”的定义直接求解即可； （2）构造函数，由于与不为“契合函数，则可将原问题转化为在上无零点，结合导数知识以及参变分离的思想分在上恒成立与若在上恒成立两种情况进行讨论即可求得a的取值范围； （3）令，结合“契合函数”的定义，将原问题转化为在上存在零点，利用导数知识即可求得m的取值范围. 【小问1详解】 根据定义，若与为“契合函数”，则在公共定义域内有解． 又， 所以，即，解得， 所以与为“契合函数”． 【小问2详解】 令， 因为与不为“契合函数，又为上的连续函数， 所以在上无零点，即恒为负或恒为正． 若在上恒成立，取，则，即， 又当时，， 令，所以， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，与假设矛盾， 所以不存在使得在上恒成立． 若在上恒成立，即， 令，所以， 又在上单调递减，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即的取值范围是． 【小问3详解】 令，则， 因为与在上为“契合函数”，所以在上存在零点， 即在上存在零点．又因为， 当且时，因为，所以，所以在上单调递增，则， 此时在上不存在零点，不满足题意； 当时，当时，，所以， 当时，令，则， 所以在上单调递增，且，故在上存在唯一零点，设为，使得， 所以当时，；当时，； 又当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上存在唯一极小值点， 因为，所以，又因为，所以在上存在唯一零点， 所以函数与在上为“契合函数”． 综上，的取值范围是． 【点睛】对于函数新定义问题，重要的是读懂定义.不等式恒成立求参数的问题，一般情况下会优先考虑参变分离，参变分离无法求解时才会考虑含参讨论的方法，最重要的是熟记导数的方法研究函数单调性，最值等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年高三年级1月模拟考试（实验部） 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数为实数，则复数的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 已知平面向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 设函数满足，当时，，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 0 5. 已知，，，则（ ）． A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知过抛物线的焦点作斜率1的直线交于两点，，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 8. 在直四棱柱中，底面为菱形且，，若平面过点且与平行，点在平面内且满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于下列命题，说法正确的是（ ） A. 若为奇函数，则 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 命题，则命题的否定为 D. 已知数据，则这组数据的分位数是78 10. 已知双曲线的左，右焦点分别是，其中的一条渐近线方程为，过的直线交于两点，则（ ） A. 的离心率为 B. 若，则的周长为 C. 若的斜率为1，则的面积为 D. 若为的右支上两点，则直线的斜率 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，且的图象关于点对称，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 的图象关于点对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某中学高一有学生人，其中男生人，现采用分层抽样的方法从中抽取人，对他们的身高进行了统计．若男生身高的平均数和方差分别为和，女生身高的平均数和方差分别为和，据此可以估计该校高一年级学生的平均身高是__________，总体方差为__________．（答案保留一位小数） 13. 已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与曲线C的左右两支分别交于点，且，则曲线C的离心率为__________． 14. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，内角的对边分别为，，过点作，交线段于点，且． （1）求的大小； （2）求的面积． 16. 树人中学高一年级围棋队有运动员3名，其中种子选手2名；高二年级围棋队有运动员5名，其中种子选手3名，现从这8名运动员中随机选择4人去阳光中学参加校际友谊赛． （1）设为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个年级”，求事件发生的概率； （2）设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列及均值． 17. 如图1，在平行四边形中，，将沿直线翻折成如图2所示的四棱锥，使得． （1）证明：平面平面； （2）在的延长线上取一点，使得，求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知为坐标原点，椭圆的短轴长为2，左，右焦点分别为，为上一动点，且当轴时，． （1）求的标准方程； （2）延长交于点，若直线的斜率为，线段的中点为，过作的垂线，直线与相交于点．证明：点在定直线上； （3）过点且与相切的直线交椭圆于两点，射线交于点，探究的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 定义：若函数与在公共定义域内存在使得，则称与为“契合函数”． （1）判断函数和是否为“契合函数”； （2）若函数和不为“契合西数”，求的取值范围； （3）若函数和在区间上为“契合函数”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $