精品解析：2025年山东省聊城市冠县中考一模数学试题

二〇二五年初中生学业水平模拟考试（一） 数学试题 说明： 1．试题由选择题和非选择题两部分组成，共6页．选择题36分，非选择题84分，共120分．考试时间为120分钟． 2．将自己的姓名、准考证号、班级、考场（座位号）填涂到答题卡指定位置．选择题选出答案，要用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须用橡皮擦干净，再改涂其它答案．非选择题答案直接写在答题卡相应位置，考试结束，只交答题卡． 3．答题必须用黑色签字笔． 4．不允许使用计算器． 愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷． 一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分）． 1. 下列各数表示的点到原点距离最远的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 日常生活中，如果平均每人每天节约粮食，那么全国每年大约能节约多少千克粮食？（全国人口约人，1年按365天计算，结果用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 4. 桌面上有一个由若干个立方体摆放出来的几何造型，从左面看如图1，从正面看如图2，则桌面上的立方体的个数最少和最多分别为（ ） A. 6个、18个 B. 6个、20个 C. 12个、20个 D. 12个、22个 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图， 是 的弦，交 于点 ，点是 上一点，连接 ， ．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 1202年前数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，偶数的个数为（ ） A. 676 B. 675 C. 674 D. 1350 10. 某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ） A. 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱 二、填空题（每小题3分，满分18分．） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 12. 等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长是______． 13. 为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图、与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽 的长是____米．（ 取3.14，计算结果精确到0.1） 14. 在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 第所用的时间最长 B. 第的平均速度最大 C. 第和第的平均速度相同 D. 前的平均速度大于最后的平均速度 15. 直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是______． 16. 数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是______（填上一个数字即可）． 三、解答题（满分72分） 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 18. 如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交 ， 于点E，F． （1）求证：； （2）当时，，分别连接 ， ，求此时四边形的周长． 19. 小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 20. 为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下： ①操作规范性： ②书写准确性： 小青：1 1 2 2 2 3 1 3 2 1 小海：1 2 2 3 3 3 2 1 2 1 操作规范性和书写准确性的得分统计表： 项目 统计量 学生 操作规范性 书写准确性 平均数 方差 平均数 中位数 小青 4 1.8 a 小海 4 b 2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的 ________，比较和的大小________； （2）计算表格中b的值； （3）综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由； （4）为了取得更好的成绩，你认为在实验过程中还应该注意哪些方面？ 21. 综合与实践 在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究． 动手操作：第一步，任意画出一个四边形．第二步，取四边形四条边的中点．第三步，顺次连接四个中点，得到一个新的四边形．（叫做中点四边形）根据以上操作，老师展示了四位同学的四个图形，并共同进行了探究，请你根据这四位同学作出的图形解决下列问题． （1）通过作图、测量，猜想：中点四边形的形状与原四边形对角线的数量关系和位置关系有关．请你根据图形填写下表． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 图形 不相等、不垂直 平行四边形 图① 图② 图③ 图④ （2）请你根据图④写出已知、求证、证明． 22. 如图， 为等腰三角形， 是底边 的中点，腰 与半圆 相切于点，底边 与半圆 交于 ， 两点． （1）求证： 与半圆 相切； （2）连接 ．若，，求的值． 23. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段和 的长度： （2）求底座的底面的面积． 24. 如图，抛物线与直线相交于两点，与 轴相交于另一点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）点 是直线 上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点 作直线轴于点，交直线 于点 ，当时，求 点坐标； （3）抛物线上是否存在点 使的面积等于 面积的一半？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二五年初中生学业水平模拟考试（一） 数学试题 说明： 1．试题由选择题和非选择题两部分组成，共6页．选择题36分，非选择题84分，共120分．考试时间为120分钟． 2．将自己的姓名、准考证号、班级、考场（座位号）填涂到答题卡指定位置．选择题选出答案，要用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须用橡皮擦干净，再改涂其它答案．非选择题答案直接写在答题卡相应位置，考试结束，只交答题卡． 3．答题必须用黑色签字笔． 4．不允许使用计算器． 愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷． 一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分）． 1. 下列各数表示的点到原点距离最远的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了两点间距离公式，牢记两点间距离公式成为解题的关键． 先根据两点间距离公式求得各点到原点的距离，然后比较即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴表示的点到原点距离最远的是． 故选A． 2. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 日常生活中，如果平均每人每天节约粮食，那么全国每年大约能节约多少千克粮食？（全国人口约人，1年按365天计算，结果用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，有理数的乘法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中， 为整数，要正确确定的值以及 的值是解决此题的关键．先根据题意计算，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：∵平均每人每天节约粮食，全国人口约人，1年按365天计算， ∴全国每年大约能节约粮食， 故选：A． 4. 桌面上有一个由若干个立方体摆放出来的几何造型，从左面看如图1，从正面看如图2，则桌面上的立方体的个数最少和最多分别为（ ） A. 6个、18个 B. 6个、20个 C. 12个、20个 D. 12个、22个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 利用左视图以及主视图可以得出这个几何体最少的块数以及最多的块数即可解答． 【详解】解：如图所示： 小立方体的个数最少是（个）；最多是（个）小立方体． 故选：B． 5. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 无解 【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 故选：A． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了积的乘方、单项式乘法、合并同类项、整式加减运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据积的乘方、单项式乘法、合并同类项、整式加减运算逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项正确，符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 7. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至少一辆车向右转的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是运用树状图求概率，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答本题的关键． 运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可． 【详解】解：列树状图如图所示， 共有9种情况，至少一辆车向右转有5种， ∴至少一辆车向右转的概率是， 故选：D． 8. 如图， 是 的弦，交 于点 ，点是 上一点，连接 ， ．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，利用圆周角定理求出，根据等腰三角形的三线合一性质求出，等边对等角然后结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 9. 1202年前数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，……，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，偶数的个数为（ ） A. 676 B. 675 C. 674 D. 1350 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，根据题意发现这列数按奇数，奇数，偶数循环出现是解题的关键． 根据所给各数，发现这列数按“奇数，奇数，偶数”循环出现，据此求解即可． 【详解】解：由题知：这列数按“奇数，奇数，偶数”循环出现， 又∵， ∴这一列数的前2025个数中，偶数的个数为675． 故选：B． 10. 某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ） A. 8箱 B. 9箱 C. 10箱 D. 11箱 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，设用 个大箱， 个小箱，利用每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝，建立方程，求出方程的正整数解可得答案． 【详解】解：设用 个大箱， 个小箱， ∴， ∴， ∴方程的正整数解为： 或， ∴所装的箱数最多为箱； 故选C． 二、填空题（每小题3分，满分18分．） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查代数式有意义，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 12. 等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长是______． 【答案】17 【解析】 【分析】先解一元二次方程得到等腰三角形的底和腰为3和7，再分两种情况当腰为3底为7时，当腰为7底为3时，利用三角形三边关系进行判断，从而即可得到答案． 【详解】解：， ， 或， ，， 等腰三角形的底和腰是方程的两根， 等腰三角形的底和腰为3和7， 当腰为3底为7时，，不满足三角形三边关系，不符合题意； 当腰为7底为3时，，满足三角形三边关系，此时周长为， 综上所述，这个三角形的周长是17， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． 13. 为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路．如图、与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽 的长是____米．（取3.14，计算结果精确到0.1） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式，解一元一次方程等知识，利用弧长公式并结合题意可得出，进而得出，然后解方程并按要求取近似数即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∵公路弯道外侧边线比内侧边线多36米， ∴， ∴，即 解得， 故答案为：． 14. 在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（ ） A. 第所用的时间最长 B. 第的平均速度最大 C. 第和第的平均速度相同 D. 前的平均速度大于最后的平均速度 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查从图像中获取信息，理解题意是解题的关键．根据配速的定义依次进行判断即可． 【详解】解：“配速”是每行进所用的时间，故从图中可知，第所用的时间最长，故选项A不符合题意； 平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程时间，由图可知，配速最小，故第所用时间最短，故第的平均速度最大，故选项B不符合题意； 第所用的时间与第所用的时间一致，故第的和第的平均速度相同，故选项C不符合题意； 由于前的时间大于最后的时间，故前的平均速度小于最后的平均速度，故选项D符合题意； 故选D． 15. 直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可求得与坐标轴的交点A和点B，可得，结合旋转得到，则，求得，即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示∶ 设与y轴的交点为点B， 令 ，得；令 ，即 ， ∴， ， ∴，， 即 ∵直线绕点A逆时针旋转，得到直线， ∴，， ∴， 则点， 设直线的解析式为，则 ，解得， 那么，直线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直线的旋转、解直角三角形以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是找到旋转后对应的直角边长． 16. 数学活动课上，甲组同学给乙组同学出示了一个探究问题：把数字1至8分别填入如图的八个圆圈内，使得任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1．经过探究后，乙组的小高同学填出了图中两个中心圆圈的数字a、b，你认为a可以是______（填上一个数字即可）． 【答案】1##8 【解析】 【分析】本题考查了数字规律，理解题意是解题的关键．由于两个中心圆圈有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，否则不满足任意两个有线段相连的圆圈内的数字之差的绝对值不等于1，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入，故中心圆圈只能是1或者8． 【详解】解： 两个中心圆圈分别有6根连线，数字1至8，共有8个数字，若2，3，4，5，6，7，其中任何一个数字填在中心位置，那么与其相邻的2个数字均不能出现在与中心圆圈相连的6个圆圈中，故只剩下5个数字可选，不满足6个空的圆圈需要填入． 位于两个中心圆圈的数字a、b，只可能是1或者8． 故答案为：1（或8）． 三、解答题（满分72分） 17. （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中 【答案】（1）8；（2）；． 【解析】 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数的混合运算、负整数次幂、立方根、分式的化简求值等知识点，灵活运用相关运算法则和方法成为解题的关键． （1）先运用负整数次幂、立方根、绝对值、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可； （2）先运用分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当时，原式． 18. 如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交 ， 于点E，F． （1）求证：； （2）当时，，分别连接 ，，求此时四边形的周长． 【答案】（1） 证明：∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是对角线的交点， ∴， 在△和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形和菱形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）由题目中的中，O为对角线的中点，可以得出，，结合，可以证得两个三角形全等，进而得出结论；  （2）由（1）中得到的结论可以得到，结合得出四边形是平行四边形，进而利用证明出四边形为菱形，根据即可求出菱形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 19. 小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图像，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点C坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数、锐角三角函数： （1）设反比例函数表达式为，将点A的坐标代入表达式求出k值即可； （2）设点C的坐标为，则，，根据平行线的性质得，进而根据求出m的值即可． 【小问1详解】 解：由图可知点A的坐标为， 设反比例函数表达式为， 将代入，得：，解得， 因此反比例函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图，作轴于点E，轴于点D， 由图可得，， 设点C的坐标为，则，， ， 矩形直尺对边平行， ， ， ，即， 解得或， 点C在第二象限， ，， 点C坐标为． 20. 为了解学生物理实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理描述如下： ①操作规范性： ②书写准确性： 小青：1 1 2 2 2 3 1 3 2 1 小海：1 2 2 3 3 3 2 1 2 1 操作规范性和书写准确性的得分统计表： 项目 统计量 学生 操作规范性 书写准确性 平均数 方差 平均数 中位数 小青 4 1.8 a 小海 4 b 2 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的 ________，比较和的大小________； （2）计算表格中b的值； （3）综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由； （4）为了取得更好的成绩，你认为在实验过程中还应该注意哪些方面？ 【答案】（1）2， （2） （3）解：从操作规范性来分析，小青和小海的平均分相同，但小海的方差小于小青的方差， 所以小海在物理实验操作中发挥稳定； （4） 熟悉实验方案和操作流程；或注意仔细观察实验现象和结果；或平衡心态，沉着应对． 【解析】 【分析】本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，也考查了平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析． （1）根据中位数的求法求解即可，根据折线图，观察波动大小，即可判断方差的大小； （2）利用加权平均数的求法即可求解； （3）从平均分和方差进行判断即可； （4）合理即可． 【小问1详解】 解：小青书写准确性从小到大重新排列为1，1，1，1，2，2，2，2，3，3， 中位数为， 观察折线图，知小青得分的比小海的波动大，则， 故答案为：2，； 【小问2详解】 解：小海书写准确性的平均数为（分）； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 21. 综合与实践 在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究． 动手操作：第一步，任意画出一个四边形．第二步，取四边形四条边的中点．第三步，顺次连接四个中点，得到一个新的四边形．（叫做中点四边形）根据以上操作，老师展示了四位同学的四个图形，并共同进行了探究，请你根据这四位同学作出的图形解决下列问题． （1）通过作图、测量，猜想：中点四边形的形状与原四边形对角线的数量关系和位置关系有关．请你根据图形填写下表． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 图形 不相等、不垂直 平行四边形 图① 图② 图③ 图④ （2）请你根据图④写出已知、求证、证明． 【答案】（1） 填表如下： 原四边形对角线关系 中点四边形形状 图形 不相等、不垂直 平行四边形 图① 不相等、垂直 矩形 图② 相等、不垂直 菱形 图③ 相等、垂直 正方形 图④ （2）解：已知：四边形 ，，分别为边的中点，连， 求证：四边形为正方形． 证明：如图， ∵分别为边的中点， ∴，，，，，， ∴，，， ∴四边形 为平行四边形， ∵， ∴，， ∴为正方形． 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊四边形的判定和性质，新定义，中位线定理等知识点，熟练掌握中位线定理是解决此题的关键． （1）通过作图、测量即可得到解； （2）根据正方形的判定和性质，中位线定理证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图， 为等腰三角形， 是底边 的中点，腰 与半圆 相切于点，底边 与半圆 交于 ， 两点． （1）求证： 与半圆 相切； （2）连接 ．若，，求的值． 【答案】（1） 证明：连接 、，作交 于 ，如图 为等腰三角形， 是底边 的中点 ， 平分 与半圆 相切于点 由 是半圆 的切线 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接 、，作交 于 ，根据等腰三角形三线合一可知，， 平分，结合 与半圆 相切于点，可推出，得证； （2）由题意可得出，根据，在中利用勾股定理可求得的长度，从而得到 的长度，最后根据即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ， ， 又 ， 在中，， ， 解得： 23. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形 ，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为4米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，．，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段和 的长度： （2）求底座的底面 的面积． 【答案】（1）7米；3米 （2）18平方米 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据题意得，即可确定长度，再由得出米，即可求解； （2）过点A作于点M，继续利用正切函数确定米，即可求解面积． 【小问1详解】 解：∵，的长为4米，， ∴， ∴米； ∵， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 过点A作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， ∴底座的底面 的面积为：平方米． 24. 如图，抛物线与直线相交于两点，与 轴相交于另一点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）点 是直线 上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点 作直线轴于点，交直线 于点 ，当时，求 点坐标； （3）抛物线上是否存在点 使的面积等于 面积的一半？若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2） 的坐标为 （3） 的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）设，则，，由，可得，解出 的值可得 的坐标为； （3）过 作轴交直线 于，求出，知，故，设，则，可得，，根据的面积等于 面积的一半，有，可得，即或，解出 的值可得答案． 【小问1详解】 解：把代入得：， ， 把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设，则，， ， ， 解得或（此时 不在直线 上方，舍去）； 的坐标为； 【小问3详解】 解：抛物线上存在点 ，使的面积等于 面积的一半，理由如下： 过 作轴交直线 于，过点B作，延长交x轴于点F，如图： 在中，令 得， 解得或， ，， ， ， ， 设，则， ， ∵ ， 的面积等于 面积的一半， ， ， 或， 解得或， 的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $