精品解析：江西省丰城中学2024-2025学年高一下学期第一次段考（3月）数学试题

丰城中学2024-2025学年下学期高一第一次段考试题 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当取偶数时，确定角的终边所在的象限；当取奇数时，确定角的终边所在的象限，再根据选项即可确定结果． 【详解】集合中， 当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限； 当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限. 所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示. 故选：B. 2. 为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（ ） A. 按性别分层随机抽样 B. 按学段分层随机抽样 C. 抽签法 D. 随机数表法 【答案】B 【解析】 【分析】由分层抽样的概念即可判断； 【详解】因为男、女生的阅读时间差异不大，而小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，故应按照学段分层随机抽样． 故选：B． 3. 已知x，，x＋2y＝1，则的最小值（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】因为x，，x＋2y＝1， 则 ， 当且仅当，即时取等. 故选：B. 4. 函数在区间内的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由直接求解在内的零点即可. 【详解】由，得， 解得， 由，得， 因为，所以， 所以区间内的零点个数为4. 故选：C 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数和对数函数的单调性，放缩求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即， 综上， 故选：C 6. 命题p：x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，命题q：指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）为减函数，则P是q的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】命题p：∀x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，解命题p：①当a≠0时，△＝4a2﹣4a＝4a（a﹣1）＜0，且a>0， ∴解得：0＜a＜1， ②当a＝0时，不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立， ∴不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，有：0≤a＜1； 命题q：指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）为减函数，则0＜a＜1； 所以当0≤a＜1；推不出0＜a＜1；当0＜a＜1；能推出0≤a＜1； 故P是q的必要不充分条件． 故选B． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了二次型函数恒成立的问题，考查了指数函数的单调性，属于基础题． 7. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数最小正周期为 B. 定义域为 C. 函数图象所有对称中心为， D. 函数的单调递增区间为， 【答案】D 【解析】 【分析】利用周期公式计算可得A错误，由正切函数定义域可判断B错误，根据对称中心方程可得C错误，再由正切函数单调性计算可得D正确. 【详解】对于A，由可得，所以函数最小正周期为，即A错误； 对于B，由正切函数定义域可得，解得； 可得的定义域为，即B错误； 对于C，利用对称中心方程可得，解得, 因此函数图象所有对称中心为，，可知C错误； 对于D，根据正切函数单调性可得， 解得， 所以函数的单调递增区间为，可得D正确. 故选：D 8. 已知“不小于的最小的整数”所确定的函数通常记为，例如：，则方程的正实数根的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为与的图象交点问题，再利用新定义作出图像即可得解. 【详解】要求方程的正实数根，即求与的图像在轴右侧的交点个数， 因为，作出与的大致图象，如图， 观察图象，可知与的图象有共2个交点， 所以方程的正实数根的个数是2个. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数具有奇偶性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用奇偶性定义来逐项分析即可. 【详解】选项A，函数的定义域为关于原点对称， 又， 所以， 所以为偶函数； 选项B，函数的定义域为关于原点对称， 又， 所以， 所以为偶函数； 选项C，函数的定义域为关于原点对称， 又， 所以， 所以为奇函数； 选项D，函数的定义域为关于原点对称， 又， 所以， 所以为非奇非偶函数； 故选：ABC. 10. 已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 点是函数图像的一个对称中心 D. 将函数图像上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图像向左平移个单位长度，可得到的图像 【答案】AC 【解析】 【分析】先求出，对四个选项一一验证： 对于A：利用周期公式验证； 对于B：直接代入法判断单调性验证； 对于C：代入法验证； 对于D：利用图像变换验证. 【详解】因为图像相邻两条对称轴之间的距离为，所以函数的最小正周期为，所以，所以，因为直线是其中一条对称轴，所以，所以，因为，所以，，所以； 对于A，由上可知，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，若，则，所以不单调，故B错误； 对于C，当时，，所以点是函数图像的一个对称中心，故C正确； 对于D：将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图像，再向左平移个单位长度，得到，故D错误. 故选：AC 11. 函数的定义域为，在区间上单调递增，且满足，函数为奇函数，下列结论正确的是（ ）（注） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】结合已知条件，得到函数的对称中心，对称轴，以及周期；然后由周期性和单调性可得A错误；由对称性和单调性可得B正确；由对称性和对数函数的运算可得C错误；由函数的单调性结合对数函数的运算和三角函数的单调性可得D正确； 【详解】为奇函数，则关于点中心对称，则， 又因为，令则，则故则关于直线轴对称. 又因为，故，则的周期为8. 对于A：则，又因为在区间上单调递增，则故A错误； 对于B：关于点中心对称，则，而在上也单调递增，故，则，故B正确； 对于C：上也单调递增，故C错误； 对于D：则 而在上也单调递增，则，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够利用已知得到函数的对称轴，对称中心. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面上不共线的四点，若，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算得到，即可得解. 【详解】由，得，即， 所以， 所以，即， 故答案为： 13. 已知 ，则____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式，即可求出答案. 【详解】因为， 所以 . 故答案为：. 14. 设函数，若，则实数a＝_____． 【答案】或 【解析】 【分析】由分段函数解析式可得在定义域内恒成立，由题意可得，分和两种情况，运算求解. 详解】当时，则； 当时，则； 综上所述：在定义域内恒成立， 令，则，解得，即， 当时，则，解得； 当时，则，解得或（舍去）； 综上所述：或. 故答案为：或. 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求时的对应解析式，即可得； （2）根据函数的定义域及单调性得，即可求参数范围. 【小问1详解】 函数是定义在上的奇函数，当时，， 任取，则，所以， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，， 综上，； 【小问2详解】 当时，，所以在上单调递增； 因为函数是定义在上的奇函数，所以函数在上单调递增， 所以可化： 即，解得：，即实数的取值范围是. 16. 设扇形的圆心角为，半径为，弧长为． （1）已知一扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； （2）若扇形周长为，将扇形的面积表示为半径的函数，并写出定义域. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由扇形的周长、面积公式进行计算可得结果； （2）由扇形的周长得出弧长与半径之间的关系，进而表达出扇形的面积的函数，根据扇形圆心角的范围求解出定义域. 【小问1详解】 由题意得，解得 舍去，或，故扇形圆心角为. 【小问2详解】 由已知得，，则， 又，得， 因为，所以， 所以，即 ，  所以，. 17. 已知，是平面内一对不共线的向量，且，，． （1）若与共线，求实数的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先求出，，依题意存在唯一的实数，使得，即可得到方程组，解得即可； （2）用作为基底，根据向量相等，得到方程组，解得即可； 【小问1详解】 解：因为，， 所以，. 因为与共线，所以存在唯一的实数，使得， ，即，解得. 【小问2详解】 解：因为，，，且， 所以， 所以，解得，， 所以. 18. 已知函数，，最小值为；的一个对称中心且在单调递减； （1）求函数的解析式，并求的单调递增区间； （2）将的图象，先向右平移个单位长度，再将所得点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得图象，令，若，总，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），单调递增区间，； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据函数的性质求参数值，得到函数解析式为，应用整体法及正弦函数的性质求单调增区间； （2）根据图象平移得，进而得到的最大值为3，进一步将问题化为恒成立，结合对勾函数的性质求右侧最小值，即可得范围. 【小问1详解】 由题意知，则. 函数的一个对称中心，则，得， ，所以的可能取值为、. 若，则，当时， 此时，函数在区间上单调递增，不合乎题意； 若，则，当时， 此时，函数在区间上单调递减，合乎题意； 所以，； 令，，解得，， 所以，的单调增区间为，； 【小问2详解】 由（1）可知， 将的图象先向右平移个单位长度，得， 再将所得点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得图象， 所以，，所以， 由于，所以， 因为，所以，则， 由，可得， 所以，能成立， 由，根据对勾函数的性质，当时上式右侧取得最小值为， 所以. 19. 设，. （1）判断的奇偶性，并证明； （2）推理并写出的单调区间； （3）当时，函数的图象恒在函数的上方，求的取值范围. 【答案】（1）奇函数，证明见解析； （2）增区间是，减区间是； （3）. 【解析】 分析】（1）根据解析式求定义域，再由奇偶性定义证明判断奇偶性； （2）利用单调性定义判断的单调性，结合指数函数、二次函数的性质判断的区间单调性，最后由复合函数的单调性判断的单调区间； （3）问题化为在上恒成立，求出右侧的值域，即可得范围. 【小问1详解】 时，显然恒成立； 时，， 所以的定义域是， 又，即， 所以是奇函数. 【小问2详解】 增区间是，减区间是，证明如下： 任取，且，则， 易知在上单调递增，且，则， 所以，即，所以在上单调递减， ， 当，即时，单调递增，由复合函数的单调性知递增； 当，即时，单调递减，由复合函数的单调性知递减， 所以的增区间是，减区间是. 【小问3详解】 令，则，即在上恒成立， 令，设，对称轴为， 所以在上单调递减，从而， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 丰城中学2024-2025学年下学期高一第一次段考试题 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（ ） A. B. C. D. 2. 为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（ ） A. 按性别分层随机抽样 B. 按学段分层随机抽样 C. 抽签法 D. 随机数表法 3. 已知x，，x＋2y＝1，则的最小值（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 4. 函数在区间内的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 命题p：x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，命题q：指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）为减函数，则P是q的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数最小正周期为 B. 定义域为 C. 函数图象所有对称中心， D. 函数的单调递增区间为， 8. 已知“不小于的最小的整数”所确定的函数通常记为，例如：，则方程的正实数根的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数具有奇偶性是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，且直线是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 点是函数图像的一个对称中心 D. 将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图像向左平移个单位长度，可得到的图像 11. 函数的定义域为，在区间上单调递增，且满足，函数为奇函数，下列结论正确的是（ ）（注） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面上不共线的四点，若，则______ 13. 已知 ，则____. 14. 设函数，若，则实数a＝_____． 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 16. 设扇形的圆心角为，半径为，弧长为． （1）已知一扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； （2）若扇形周长为，将扇形的面积表示为半径的函数，并写出定义域. 17. 已知，是平面内一对不共线的向量，且，，． （1）若与共线，求实数的值； （2）若，求的值． 18. 已知函数，，最小值为；的一个对称中心且在单调递减； （1）求函数解析式，并求的单调递增区间； （2）将的图象，先向右平移个单位长度，再将所得点横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得图象，令，若，总，使得成立，求实数的取值范围. 19 设，. （1）判断的奇偶性，并证明； （2）推理并写出单调区间； （3）当时，函数的图象恒在函数的上方，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$