精品解析：上海市上海交通大学附属闵行实验学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

闵行实验学校高一月考数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 角的终边上有一点，则________. 2. 若，则______． 3. 写出与终边相同的角的集合是________. 4. 在中，若，，则________. 5. 已知角是第四象限角，，则___________. 6. 知，且，则________. 7. 若，则______. 8. 对于，若存在，满足，则称为“类三角形”，则“类三角形”一定满足有一个内角为定值，为________. 9. 已知点A的坐标为，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至 ，则点的坐标为_________________． 10. 已知，，则___________. 11. 如果锐角满足，则的值是___________． 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 12. （ ） A. B. C. D. 1 13. 若终边不在坐标轴上，且，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14. 已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（ ） A. B. C. D. 15. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 16. 在，已知，. （1）求B； （2）若为的平分线，的面积为14，求. 17. 已知是一元二次方程的两个根，且． （1）求的值； （2）求的值． 18. 意大利著名画家达芬奇曾提出一个引人深思的数学问题：倘若将项链的两端牢牢固定，并让它在重力的牵引下自然垂落，那么这条项链所勾勒出的曲线形态究竟怎样?这便是闻名遐迩的“悬链线问题”．1691年，莱布尼茨和伯努利推导出悬链线的方程为，其中c为参数.当时就是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为，悬链线方程在海洋、河流、道路工程等多个领域有着广泛的应用，它的应用不仅能提高工程结构的安全性和稳定性，也能增强整个工程项目的经济性和实用性． （1）求证：； （2）求函数的最小值； （3）求证：对，． 19. 设次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由，可得切比雪夫多项式，由，可得切比雪夫多项式. （1）若切比雪夫多项式，求实数，，，的值； （2）对于正整数时，是否有成立？ （3）已知函数在区间（-1，1）上有3个不同的零点，分别记为，，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 闵行实验学校高一月考数学试卷 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1. 角的终边上有一点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数定义求解． 【详解】由题意， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正弦函数定义，属于基础题． 2. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式化简即得. 【详解】依题意，. 故答案为： 3. 写出与终边相同的角的集合是________. 【答案】； 【解析】 【分析】根据终边相同角的表示方法即可得解． 【详解】终边相同角相差的整数倍， 因此与终边相同的角的集合是． 故答案为：. 4. 在中，若，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形角的范围及已知条件求出、，再根据结合两角和的正弦公式即可得解. 【详解】因为、， 所以由得且， 所以，且由得， 故. 故答案为：. 5. 已知角是第四象限角，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的基本关系式求得，结合正弦的倍角公式，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为角是第四象限角，所以，可得， 所以. 故答案为：. 6. 知，且，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，再结合两角和的余弦公式，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因为，所以， 则. 故答案为：. 7. 若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式，即可求解. 【详解】 则. 故答案为： 8. 对于，若存在，满足，则称为“类三角形”，则“类三角形”一定满足有一个内角为定值，为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由于因为，得， 分为锐角三角形，是钝角三角形，不妨设钝角为，两种情况，根据诱导公式解决即可. 【详解】因为，所以， 所以为锐角三角形， 若也是锐角三角形，由，得， 三式相加，得（与三角形内角和定理矛盾），所以假设不成立， 所以是钝角三角形，不妨设钝角为， 则，得， 三式相加得 又因为， 所以． 故答案为： 9. 已知点A的坐标为，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至 ，则点的坐标为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】设出点的坐标，终边经过点A的角为，结合三角函数定义求出，的正弦、余弦值，再借助和、差角的正余公式即可计算作答. 【详解】设，显然，，则有， 依题意，终边经过点的角为，则有， 于是得，解得， ，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 10. 已知，，则___________. 【答案】-7 【解析】 【分析】根据，，利用两角和与差的余弦公式展开，再两式相加 、相减分别得到、，然后利用商数关系求解. 【详解】因为，， 所以， 两式相加得：， 两式相减得：， 所以， 故答案为：-7 【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数的应用以及同角三角函数的基本关系式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11. 如果锐角满足，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换底公式 ，转化为，以及 ，得到，那么，其中用到了 . 【详解】解：锐角满足， 锐角满足， ，即， ， ，， 是锐角，，， ， 综上所述，结论是：． 故答案为： 二、选择题（本大题共4题，满分20分） 12. （ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式把大角化小角，再利用正弦的两角和公式，即可求值. 【详解】 ． 故选：B. 13. 若终边不在坐标轴上，且，则在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系及任意角三角函数判断象限即可. 【详解】因为, 所以 所以终边不在坐标轴上 所以在第三象限. 故选：C. 14. 已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的单调性结合不等式求出，再由同角的三角函数和二倍角的正弦计算即可； 【详解】由题意可得，解得，又，所以，所以， ，所以， 所以， 所以，即， 因为，，所以， 所以，所以. 故选：A. 15. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过把拆解成与的关系式可求得的值，根据同角三角函数的基本关系求出的值，利用两角和、差的正弦公式可得结果. 【详解】∵，∴， ∴， ∵，∴，故， ∴， ∴ . 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 16. 在，已知，. （1）求B； （2）若为的平分线，的面积为14，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的关系求出，再利用两角差的正切公式结合即可求解. （2）由（1）的结论以及三角形中求出角C的正弦，再利用正弦定理与 三角形面积公式求出b边和c边，再用等面积法转化即可求解. 【小问1详解】 在中，，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 所以， 所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 由，所以， 所以. 记中角A、B、C所对的边为a、b、c， 由正弦定理可得，所以， 所以， 解得（负值舍去），所以. 又由，得， 所以由，得， 所以，解得. 17. 已知是一元二次方程的两个根，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得到，再利用两角差的正切公式求解； （2）利用两角和的正切公式求解. 【小问1详解】 解方程得． 因为， 所以， 则． 【小问2详解】 ． 因为， 所以， 从而． 18. 意大利著名画家达芬奇曾提出一个引人深思的数学问题：倘若将项链的两端牢牢固定，并让它在重力的牵引下自然垂落，那么这条项链所勾勒出的曲线形态究竟怎样?这便是闻名遐迩的“悬链线问题”．1691年，莱布尼茨和伯努利推导出悬链线的方程为，其中c为参数.当时就是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为，悬链线方程在海洋、河流、道路工程等多个领域有着广泛的应用，它的应用不仅能提高工程结构的安全性和稳定性，也能增强整个工程项目的经济性和实用性． （1）求证：； （2）求函数的最小值； （3）求证：对，． 【答案】（1）因为. 所以：. （2） （3）当时，，. 对， 因为，所以为偶函数； 设，则， 因为，所以，，所以， 所以，即在上单调递增. 所以当时，. 对，类似的方法可得：为奇函数，在上单调递增. 所以当时，. 所以； 当时，. 设. 所以， 所以. 即. 综上可得：对，. 【解析】 【分析】（1）代入双曲余弦和双曲正弦函数的解析式，化简即可. （2）求函数解析式，利用换元法结合基本不等式可求函数的最小值. （3）当时，研究的符号，判断它们的大小，当时，构造函数，利用函数的单调性进行判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 . 设，则，当且仅当时取“”. 则，在上单调递增. 所以. 所以函数的最小值为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：在第三问中，关键是要分析双曲余弦函数和双曲正弦函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质比较大小. 19. 设次多项式，若其满足，则称这些多项式为切比雪夫多项式.例如：由，可得切比雪夫多项式，由，可得切比雪夫多项式. （1）若切比雪夫多项式，求实数，，，的值； （2）对于正整数时，是否有成立？ （3）已知函数在区间（-1，1）上有3个不同的零点，分别记为，，，证明：. 【答案】（1） （2）成立 （3）证明：函数在区间上有3个不同的零点， 即方程在区间上有3个不同的实根， 令，由（1）知， 而，则或或， 于是， 则， 而， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用展开计算，根据切比雪夫多项式可求得； （2）要证原等式成立，只需证明成立即可，利用两角和与差的余弦公式可证结论成立； （3）由已知可得方程在区间上有3个不同的实根，令，结合（1）可是，可得，计算可得结论. 【小问1详解】 依题意， ， 因此，即， 则； 【小问2详解】 成立. 只需考虑和差化积式， 首先有如下两个式子： ， ， 两式相加得，， 将替换为，所以对于正整数时，； 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：第三问由方程的特点，联系切比雪夫多项式，把函数零点问题转化为三角函数求角的问题求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $