吉林省四平市实验中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题

数学试题 第 页 （共 4页）1 四平市实验中学 2024-2025学年下学期第一次月考 高一年级 数学 命题人：刘沥丹 审题人：王微 本试卷共 4页。考试结束后，将答题卡交回。 注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 考生信息条形码粘贴区。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答 案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知向量    1, 3, 2a m b    ， ，且 ( )a b b    ，则 m=（ ） A. −8 B. −6 C. 6 D. 8 2.设 1 2,e e   是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ） A. 1 22e e   和 1 2e e   B. 1 23e e   和 2 12 6e e   C. 1 23e e   和 2 13e e   D. 1e  和 1 2e e   3.在 Rt ABC 中，斜边 BC长为 2，O是平面 ABC外一点，点 P满足 1 ( ) 2 OP OA AB AC       ， 则 | |AP  等于（ ） A．2 B．1 C． 12 D．4 4.已知 5AB a b     ， 2 8BC a b      ， 3( )CD a b     ，则（ ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 5.设 xR ，向量    3, , 1, 1a x b    且 a b  ，则 cos ,a b a      （ ） A． 10 10 B． 3 10 10 C． 9 10 10 D． 10 6. 在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，     2sin sin sinB C B C A    ．则 △ABC的形状为( ) 数学试题 第 页 （共 4页）2 A. 等边三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 7.在 ABCV 中， AD为 BC边上的中线，且 2AE ED uuur uuur ，则 BE   （ ） A． 2 1 3 3 AB AC    B． 2 1 3 3 AB AC   C． 1 2 3 3 AB AC    D． 1 2 3 3 AB AC   8.已知点 P是边长为 2的菱形 ABCD内的一点(包含边界)，且 120BAD  ，AP AB   的取值 范围是（ ） A．[ 2,4] B． ( 2, 4) C． [ 2,2] D． ( 2,2) 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9.已知平行四边形的三个顶点      3,0 , 2, 2 , 5,2A B C  ，则第四个顶点D的坐标可能是（ ） A．  10,0 B．  0,4 C．  6, 4  D．  6, 1 10.由下列条件解三角形问题中，对解的情况描述正确的是（ ） A． 20, 11, 30a b A   ，有两解 B． 2, 2, 30c b B   ，有两解 C． 8, 16, 30a b A   ，有两解 D． 23, 34, 41b c A   ，有一解 11.已知两个向量 1e  和 2e  满足 1 2e   ， 2 1e   ， 1e  与 2e  的夹角为 3  ，若向量 1 22 7te e   与 向量 1 2e te   的夹角为钝角，则实数 t可能的取值为（ ） A. 6 B. 14 2  C. 1 2  D. 4 5  三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12.已知 2a   ，且 2a b     ，则向量 b  在向量 a  上的投影向量为 ． 13.已知 ABCV 的角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c，若 π1, 2, 4 a b c A    ，则 sin sin B C ． 数学试题 第 页 （共 4页）3 14.如图，在△ABC中，N为线段 AC上靠近 A点的三等分点，若 1 1 10 10 AP m AB BC          ， 则m  ． 四、解答题：本大题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知向量 (1,0), (3, 2)a b   ． (1)求向量 3 , 4 2a b a b     的坐标； (2)求 a + b  向量的模． 16.（15分）在 ABC 中，内角 , ,A B C所对的边分别为 a，b，c，已知已知 2 2 2a b c bc   . (1)求角A的大小； (2)若 2b  ， 3c  ，求 a的值； (3)若 2a bc ，判断 ABC 的形状． 17.（15分）已知 � = 2， � = 1， � − 3� ⋅ � + � = 3. (1)求 � + � 的值； (2)求� 与� − 2� 的夹角. 数学试题 第 页 （共 4页）4 18．（17分） ABC 的内角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c，已知  3 sin sin 4 sin sinb C c B a B C  . (1)求角A； (2)若 7a  ，且 ABC 的面积为 3 2 ，求 ABC 的周长. 19.（17分）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛 B与小岛A、小岛C 相距都为5nmile，与小岛D相距为3 5 nmile . BAD 为钝角，且 3sin 5 A  . (1)求小岛A与小岛D之间的距离； (2)求四个小岛所形成的四边形的面积. 四平市实验中学 2024-2025学年下学期第一次月考 高一年级 数学 1.【答案】D 【详解】∵ (1, ), (3, 2), (4, 2)a m b a b m          ，又 ( )a b b    ， ∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得 m＝8． 故选 D． 2.【答案】B 由于 1 2,e e   是平面内的一个基底，故 21,ee   不共线， 1 2 1 2 12 2 2 e e e e              和 1 2e e   不共线，故 A能构成基底，  2 1 1 22 32 6e e e e       和 1 23e e   共线，故 B不能构成基底， 1 2 1 2 13 3 3 e e e e           和 2 13e e   不共线，故 C能构成基底， 根据向量的加减法法则可知 1e  和 1 2e e   不共线，故 D能构成基底. 3. 4.B 【解析】 2 8 3( ) 5BD BC CD a b a b a b AB                    ，又∵ BD  与 AB  有公共点 B， ∴A，B，D 三点共线．故选：B. 5. 6.【答案】C 【详解】由 A B C    知，  sin sinA B C  ， ∴     2sin sin sinB C B C A    ＝  2sin B C ， 0 B C    ，  sin 0B C  ，    sin sinB C B C    ， ∴cos sin 0B C  ， ∵在△ABC 中， sin 0C  ， ∴ cos 0B  ， ∵0 B   ，∴ 2 B  ， 即△ABC 为直角三角形． 故选：C． 7.【答案】A 【详解】如图所示： ∵ AD为 BC边上的中线 ∴ 1 2 BD BC   ， 1 1 2 2 AD AB AC     ∵ 2AE ED uuur uuur ∴ 1 3 DE AD    ∴    1 1 1 1 2 12 3 2 6 3 3BE BD DE BC AD AC AB AB AC AB AC                      8.【答案】A 【详解】如图，建立平面直角坐标系，则 (0 0) (2 0) (1 3) ( 1 3)A B C D ，, ，, ， , ， . 设 ( , )P x y ，则 1 2x   ，故 ( , ) ( 2[2 4]2 0)AP AB x y x        ， ， ， 即 AP AB   的取值范围是[ 2 4] ， . 故选：A 9.【答案】ABC 【详解】根据题意，  5, 2AB    ，  8,2AC   ，  3,4BC   ， 要使四个点能构成平行四边形，则只需满足 AB CD    或 AC BD    或 AD BC    ， 经过验证可得  10,0 ，  0,4 ，  6, 4  满足，  6, 1 不满足. 故选：ABC. 10.【答案】BD 【详解】对 A：由 20 11 知， a b ，所以三角形有一解，A错误； 对 B：由 2sin30 1 2 2    ，即 sinc B b c  ，所以三角形有两解，B正确； 对 C：由16sin30 8  ，即 sina b A ，故三角形为直角三角形，有一解，C错误； 对 D： 23, 34, 41b c A   ， 由余弦定理得 2 2 2 cosa b c bc A   ，a唯一，已知两边及其夹角知三角形有一解，D正确. 故选：BD． 11.【解析】AD 因为 1 2e   ， 2 1e   ， 1e  与 2e  的夹角为 3  ， 所以 1 2 2 1 cos 13 e e        ， 因为向量 1 22 7te e   与向量 1 2e te   的夹角为钝角， 所以    1 2 1 22 7 0te e e te        ，且不能共线， 所以      2 22 21 2 1 2 1 1 2 22 7 2 2 7 7 2 15 7 0te e e te t e t e e t e t t                    ，解 得 17 2 t    ， 当向量 1 22 7te e   与向量 1 2e te   共线时，有  1 2 1 22 7te e e te       ，即 2 7 t t      ， 解得 14 2 t   ， 所以实数 t的取值范围 14 14 17, , 2 2 2                    ， 所以实数 t可能的取值为 A，D. 12.向量b  在向量 a  上的投影向量为： 2 2 2 a b a a a a a              13.【详解】因为 π1, 2, 4 a b c A    ， 由正弦定理 sin sin sin a b c A B C    得 1 2 sin sin2 2 B C   ， 所以 sin sin 2B C  . 14.【答案】 7 10 /0.7 【解析】  1 1 1 1 110 10 10 10 10AP m AB BC m AB AC AB mAB AC                            ． 因为 N 为线段 AC 上靠近 A 点的三等分点，所以 3 10 AP mAB AN     ． 又 B，P，N 三点共线，所以 3 1 10 m  ， 7 10 m  ． 故答案为： 7 10 15.【解析】（1）依题意，向量 (1,0), (3, 2)a b   ，      3 1,0 9,6 10,6a b     ，      4 2 4,0 6, 4 2, 4a b       . （2）由于  4, 2a b   ， 所以 2 24 2 2 5a b     . 16.【详解】（1）在 ABC 中，由 2 2 2a b c bc   及余弦定理得 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc     ， 而0 πA  ， 所以 π 3 A  . （2）由 2b  ， 3c  及 2 2 2a b c bc   ，得 2 2 22 3 2 3 7a      ， 所以 7a  . （3）由 2 2 2a b c bc   及 2a bc ，得  2 0b c  ，则b c ，由（1）知 π3A  ， 所以 ABC 为正三角形. 17. 18. 19.【详解】（1）因为 3sin 5 A  ，且角A为钝角，所以 23 4cos 1 ( ) 5 5 A      . 在 ABD△ 中，由余弦定理得， 2 2 22 cosAD AB AD AB A BD     ， 所以 2 2 245 2 5 ( ) (3 5) 5 AD AD      ，即 2 8 20 0AD AD   ， 解得 2AD  或 10AD   （舍）， 所以小岛A与小岛D之间的距离为 2 nmile . （2）∵A， B，C，D四点共圆，∴角A与角C互补， ∴ 3sin 5 C  ，   4cos cos 180 cos 5 C A A     ， 在 BDC 中，由余弦定理得： 2 2 22 cosCD CB CD CB C BD     ， ∴  22 2 45 2 5 3 55CD CD     ， ∴ 2 8 20 0CD CD   . 解得 2CD   （舍）或 10CD  . ∴ ABC BCDABCDS S S △ △四边形 1 1sin sin 2 2 AB AD A CB CD C      1 3 1 35 2 5 10 3 15 18 2 5 2 5            . ∴四个小岛所形成的四边形的面积为 18平方 n mile .