精品解析：浙江省湖州市南太湖双语学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

湖州市南太湖双语学校2024-2025学年第二学期3月月考 高二数学试题卷 命题人：高鹏 审题人：高兴发 班级_____姓名_____ 考试时间：120分钟 满分：150分 考生须知： 1.本卷共4页，答题前在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；考试结束后，只需上交答题纸. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 2. 的展开式中第四项是（ ） A. -20 B. 20 C. -160 D. 160 3. 函数的图象在点处的切线方程是 A. B. C. D. 4. 某学校安排了A，B，C，D共4场线上讲座，其中讲座B和C必须相邻，则不同的安排方法种数是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 5. 函数大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有（ ） A. 4种 B. 6种 C. 21种 D. 35种 7. 已知函数，若在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A B. C. D. 8. 已知，则=（ ） A. 9 B. 10 C. 18 D. 19 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列说法中正确的有（ ） A. 函数的极大值为，极小值为 B. 当时，函数的最大值为，最小值为 C. 函数的单调减区间为 D. 曲线在点处切线方程为 11. 2024年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动.小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（ ） A. 小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条 B. 小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条 C. 若图中H处修路不通，则小明到老年公寓选择的最短路径条数为15条 D. 若小明要去图中H处取参加活动的必需物资，则小明到老年公寓选择的最短路径条数为25条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________.（用数字作答） 13. 设函数，则的单调递增区间为_________． 14. 六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有________种排法． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式，的展开式中常数项为. （1）求值； （2）求展开式中系数最大的项. 16. 已知某广场准备从7人中（其中男4人，女3人）选择4人参加活动. （1）若至少有一名女生，共有多少种选法?（结果用数字作答） （2）若7人中甲乙丙三人不能同时参加该活动，则不同的选择方法有多少种?（结果用数字作答） 17. 已知函数. （1）当时，求曲线的经过点的切线方程； （2）讨论的单调区间. 18. 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内. （1）共有多少种不同的放法? （2）每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有多少种? （3）将4个不同的球换成无编号的相同的球，恰有一个空盒的放法有多少种? 19. 已知函数． （1）当时，求极值； （2）若对恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖州市南太湖双语学校2024-2025学年第二学期3月月考 高二数学试题卷 命题人：高鹏 审题人：高兴发 班级_____姓名_____ 考试时间：120分钟 满分：150分 考生须知： 1.本卷共4页，答题前在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 2.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；考试结束后，只需上交答题纸. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 函数的导数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求导公式可求答案. 【详解】因为，所以选项D正确. 故选：D. 2. 的展开式中第四项是（ ） A. -20 B. 20 C. -160 D. 160 【答案】C 【解析】 【分析】根据通项公式计算. 【详解】由题意得展开式第四项为. 故选：C. 3. 函数图象在点处的切线方程是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由函数知，，所以，在点处的切线方程是，化简得． 考点：1、导数的运算；2、导数的几何意义． 4. 某学校安排了A，B，C，D共4场线上讲座，其中讲座B和C必须相邻，则不同的安排方法种数是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据相邻排列，先排再将他们与作全排，即可得. 【详解】先安排有种排法，再把作为整体与作全排列有种排法， 所以共有种. 故选：C 5. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导分析函数单调性,并根据函数的正负判断即可. 【详解】由题意可知， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减，且当时，. 故选：A. 6. 把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有（ ） A. 4种 B. 6种 C. 21种 D. 35种 【答案】B 【解析】 【分析】元素相同问题用隔板法. 【详解】利用隔板法：由题可知使每个小朋友都能分到小球的分法有种. 故选：. 7. 已知函数，若在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意转化为，令，利用导数求出可得答案． 【详解】依题意，， 因为函数在上单调递减， 所以，则， 令，则， 令，则，故当时，， 当时，，故在上单调递增，在上单调递减， 故，故，则， 故实数a的取值范围为． 故选：A. 8. 已知，则=（ ） A. 9 B. 10 C. 18 D. 19 【答案】D 【解析】 【分析】先将等式两边同时乘以，再将两边同时求导后，令可得. 【详解】由得， 分别对两边进行求导得 ， 令，得， 得， 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由通项公式与赋值法逐项判断即可. 【详解】对于A：令，可得：，故A错误； 对于B：因为的通项公式为， 故，A正确； 对于C：令可得： 故C正确； 对于C：因为， 所以为的展开式中各项系数的和， 即， 故D错误； 故选：BC 10. 已知函数，下列说法中正确的有（ ） A. 函数的极大值为，极小值为 B. 当时，函数的最大值为，最小值为 C. 函数的单调减区间为 D. 曲线在点处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数研究函数的极值、最值、单调性，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程，根据计算结果可得答案. 【详解】因为 所以， 由，得或，由，得， 所以函数在上递增，在上递减，在上递增，故选项正确， 所以当时，取得极大值， 时，取得极小值，故选项正确， 当时，为单调递增函数，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，故选项不正确， 因为，所以曲线在点处的切线方程为，即，故选项正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值、最值、单调区间，考查了导数的几何意义，属于基础题. 11. 2024年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动.小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（ ） A. 小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条 B. 小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条 C. 若图中H处修路不通，则小明到老年公寓选择的最短路径条数为15条 D. 若小明要去图中H处取参加活动的必需物资，则小明到老年公寓选择的最短路径条数为25条 【答案】BC 【解析】 【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数，并确定向上或向右各走的步数，则最短路径的走法有，结合各个选项的要求分别求解. 【详解】由图可知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动， 对于A，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即共走3步，其中1步向上，所以最短路径的条数为条，所以A错误， 对于B，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即共走7步，其中3步向上，最短路径的条数为条，所以B正确， 对于C，若图中H处修路不通，则小明第一步只能向上，则需要再向上2格，向右4格，即共走6步，其中2步向上，最短路径的条数为条，小明到老年公寓选择的最短路径条数为15条，所以C正确， 对于D，小明要去图中H处取参加活动的必需物资，先去H则小明到老年公寓需要再向上3格，向右3格，即共走6步，其中3步向上，最短路径的条数为条，所以D错误； 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ________.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】由排列数、组合数计算公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 13. 设函数，则的单调递增区间为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据，则单调递增，求解的范围即为的单调递增区间． 【详解】，则 令，则 ∴的单调递增区间为 故答案为：． 14. 六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则共有________种排法． 【答案】90 【解析】 【分析】根据有限制的排列问题求解即可. 【详解】由于六个身高不同的人排成二排三列，每一列后面的那个人比他（她）前面的那个人高，则排法有种． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知二项式，的展开式中常数项为. （1）求的值； （2）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1） （2）第3项 【解析】 【分析】（1）由二项式展开式的通项公式，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分别求得展开式中奇数项的系数，然后比较大小，即可得到结果. 【小问1详解】 二项式展开式的通项公式为， 令，则，所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，即展开式的通项公式为， 则其展开式中的奇数项系数为正数，偶数项系数为负数， 则第1项的系数为， 第3项的系数为， 第5项的系数为， 第7项的系数为， 所以展开式中系数最大的项是第3项. 16. 已知某广场准备从7人中（其中男4人，女3人）选择4人参加活动. （1）若至少有一名女生，共有多少种选法?（结果用数字作答） （2）若7人中甲乙丙三人不能同时参加该活动，则不同的选择方法有多少种?（结果用数字作答） 【答案】（1）34种； （2）31种. 【解析】 【分析】（1）（2）分别求出所选4人没有女生、甲乙丙同时参加活动情况数，再由7人中任选4人的方法数，应用间接法求对应选法数. 【小问1详解】 若所选4人没有女生，只有1种选法，而7人中任选4人有种选法， 所以至少有一名女生，共有34种选法； 【小问2详解】 若甲乙丙同时参加活动，则只需在其它4人任选1人有种选法， 而7人中任选4人有种选法， 故甲乙丙三人不能同时参加该活动，不同的选择方法有31种. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线的经过点的切线方程； （2）讨论的单调区间. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求切线斜率，再用点斜式求切线方程即可； （2）利用求导，再因式分解，结合定义域和分类讨论思想即可判断单调区间. 【小问1详解】 当时，，则， 设切点横坐标为，则，， 所以在点处的切线方程为：， 由于该切线经过点，则， 即， 所以该切线方程为; 【小问2详解】 由求导得： ， 因为定义域，所以令，得， 当时，有，， 又有，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时， ， 所以在区间上单调递增； 综上：当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增 18. 现有4个编号为1，2，3，4的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内. （1）共有多少种不同的放法? （2）每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有多少种? （3）将4个不同的球换成无编号的相同的球，恰有一个空盒的放法有多少种? 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用分步计数原理，即可求解； （2）先选出两个球，放入编号相同的盒子，在把其他的2个球放入盒子，即可求解； （3）根据题意，转化为有4个盒子每个盒子放1个球，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，4个编号为1，2，3，4的球和5个编号为1，2，3，4，5的盒子， 把球全部放入盒子内，共有中不同的放法. 【小问2详解】 解：每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同， 不同的放法有中不同的方法； 小问3详解】 解：将4个不同的球换成无编号的相同的球，恰有一个空盒， 即有4个盒子每个盒子放1个球，共有种放法. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若对恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）的极大值为，极小值为；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用导数求解函数的极值即可. （2）首先利用导数求出函数的最小值，从而得到，再解不等式即可. 【详解】（1）当时，， ， 令，解得或． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以的极大值为，极小值为． （2）． 令，即，解得或． 因为，所以当x变化，，的变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，有，，， 所以，从而． 又函数在处取得极小值， 所以为函数在R上的最小值． 因为不等式对恒成立， 所以，解得． 所以a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$